山东省潍坊市昌乐县城关中学2021年高三数学理月考试卷含解析

山东省潍坊市昌乐县城关中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数，则(

)．

A．

B．

C．1

D．参考答案：B略2.过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，，分别交轴于，两点，为坐标原点，则与的面积之比为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C设过P点的直线方程为：y=k（x﹣2）﹣1，代入x2=4y可得x2﹣4kx+8k+4=0，①令△=0可得16k2﹣4（8k+4）=0，解得k=1．∴PA，PB的方程分别为y=（1+）（x﹣2）﹣1，y=（1﹣）（x﹣2）﹣1，分别令y=0可得E（，0），F（1﹣，0），即|EF|=2．∴S△PEF=解方程①可得x=2k，∴A（2+2，3+2），B（2﹣2，3﹣2），∴直线AB方程为y=x+1，|AB|=8，原点O到直线AB的距离d=，∴S△OAB=，∴△PEF与△OAB的面积之比为．故答案为：C

3.程（t为参数）表示的曲线是（

）。A.一条直线

B.两条射线

C.一条线段

D.抛物线的一部分参考答案：B略4.狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f（x）=，则称f（x）为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f（x），给出下面4个命题：①对任意x∈R，都有f[f（x）]=1；②对任意x∈R，都有f（﹣x）+f（x）=0；③对任意x1∈R，都有x2∈Q，f（x1+x2）=f（x1）；④对任意a，b∈（﹣∞，0），都有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＞b}．其中所有真命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用；3T：函数的值．【分析】根据狄利克雷函数，分别讨论当x∈Q和x∈?RQ时，对应命题是否成立即可．【解答】解：①当x∈Q，则f（x）=1，f（1）=1，则[f（x）]=1，当x∈?RQ，则f（x）=0，f（0）=1，则[f（x）]=1，即对任意x∈R，都有f[f（x）]=1，故①正确，②当x∈Q，则﹣x∈Q，则f（﹣x）=1，f（x）=1，此时f（﹣x）=f（x），当x∈?RQ，则﹣x∈?RQ，则f（﹣x）=0，f（x）=0，此时f（﹣x）=f（x），即恒有f（﹣x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，故②错误，③当x1∈Q，有x2∈Q，则x1+x2∈Q，此时f（x1+x2）=f（x1）=1；当x1∈?RQ，有x2∈Q，则x1+x2∈?RQ，此时f（x1+x2）=f（x1）=0；综上恒有f（x1+x2）=f（x1）成立，故③正确，④∵f（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（﹣∞，0），都有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＞b}=R，故④正确，故正确的命题是①③④，故选：D5.函数的部分图象为参考答案：A6.已知函数的定义域是D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；

②；

③.则

，

.参考答案：略7.在极坐标系中，圆:上到直线：距离为1的点的个数为A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B直线的方程为，圆的方程为，圆心到直线的距离为1，故圆上有2个点到距离为1，选B.8.函数y=的图像（A）关于原点对称

（B）关于主线对称（C）关于轴对称

（D）关于直线对称参考答案：A9.复数z1=3+i,z2=1-i,则复数的虚部为

（

）

A.2

B.-2i

C.-2

D.2i参考答案：A，所以虚部为2，选A.10.抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（

）A．

B．C.

D．参考答案：D试题分析:抛物线的图象关于对称，与坐标轴的交点为，，，令圆心坐标为，可得，，∴，所以圆的轨迹方程为.故应选D.考点：圆的一般方程及运用.【易错点晴】本题以抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上为背景，考查的是圆的一般方程与标准方程的探求等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.解答本题时应充分依据题设条件,依据题设条件,求出其坐标轴的交点坐标，，，然后运用圆的一般方程和标准方程求得圆的方程,使问题获解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc，，，则b+c的取值范围是．参考答案：（，）【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】利用b2+c2﹣a2=bc，代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，再利用正弦定理求得b、c，利用两角和差的正弦公式化简b+c的解析式，结合正弦函数的定义域和值域，求得b+c的范围．【解答】解：△ABC中，∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=，B+C=．∵，∴∠B为钝角．∵，由正弦定理可得=1==，∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB+sinB=sinB+cosB=sin（B+），∵B∈（，），∴B+∈（，），∴sin（B+）∈（，），∴b+c的范围为，故答案为：（，）．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．12.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于

．参考答案：0.5【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据题意，由f（x+2）=﹣f（x）可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，即有f（37.5）=f（1.5），结合题意可得f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），结合函数的奇偶性可得f（0.5）=﹣f（﹣0.5），进而结合函数在0≤x≤1上的解析式可得f（0.5）的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，由于f（x+2）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，则有f（37.5）=f（1.5+4×9）=f（1.5），又由f（x+2）=﹣f（x），则有f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），又由函数为奇函数，则f（0.5）=﹣f（﹣0.5），又由当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（0.5）=0.5；则有f（37.5）=f（1.5）=﹣f（﹣0.5）=f（0.5）=0.5，故f（37.5）=0.5；故答案为：0.5．13.已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为________．参考答案：或14.已知函数在x＝－1时有极值0，则m＝______；n＝_______；参考答案：m＝2，n＝9。15.在中，角的对边分别为，若，，的面积，则边长为

．参考答案：5略16.已知锐角△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A2B2C2的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为

.

参考答案：17.（选修4-5：不等式选讲）函数的最大值等于

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各个，从中任取只，有放回地抽取次．求：①

只全是红球的概率；

②

只颜色全相同的概率；③只颜色不全相同的概率．参考答案：解析：①每次抽到红球的概率为②每次抽到红球或黄球③颜色不全相同是全相同的对立，19.已知，.（1）求的值；（2）求的值.参考答案：（1）.

（2）因为，所以，

所以

因为

所以

20.如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，其中D在线段OB上．连结EC，CD．（Ⅰ）证明：直线AB是圆O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=，圆O的半径为3，求OA的长．参考答案：【考点】相似三角形的性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连结OC，推导出OC⊥AB，由此能证明AB是圆O的切线．（Ⅱ）由题意先推导出△BCD∽△BEC，从而得到，由此能求出OA．【解答】证明：（Ⅰ）连结OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，又OC是圆O的半径，∴AB是圆O的切线．解：（Ⅱ）∵直线AB是圆O的切线，∴∠BCD=∠E，又∠CBD=∠EBC，∴△BCD∽△BEC，∴，又tan∠CED==，∴，设BD=x，则BC=2x，又BC2=BD?BE，∴（2x）2=x（x+6），即3x2﹣6x=0，解得x=2，即BD=2，∴OA=OB=OD+DB=3+2=5．【点评】本题考查直线是圆的切线的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．21.已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x（1）若函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）若a＞0，讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，求证：．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴可得，g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1；（2）g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3=，设t（x）=2ax2﹣3x+1，△=9﹣8a，①当0＜a＜时，设t（x）=0的两根为x1=，x2=，由g′（x）＞0可得x＞x2，或0＜x＜x1；由g′（x）＜0可得x＞x2，或＜x1＜x＜x2，即g（x）的单调增区间为（0，），（，+∞）；单调减区间为（，）；②当a≥时，2ax2﹣3x+1≥0恒成立，g′（x）≥0恒成立，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；（3）证明：依题意得k==，＜k＜?＜＜?x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则h′（x）=1﹣，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则m′（x）=1﹣，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数是解题的关键．22.已知命题，命题q:关于x的不等式在R上恒成立．（1）若为真命题，求实数m的取值范围