山东省菏泽市单县蔡堂镇中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省菏泽市单县蔡堂镇中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.方程表示的曲线是A．双曲线

B.椭圆

C.

双曲线一部分

D.椭圆一部分参考答案：答案：D2.已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（

）A、11

B、10

C、9

D、8参考答案：B3.一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为、、、、参考答案：A画出正三角形，以其每个顶点为圆心作半径为2的圆弧与正三角形相交，蚂蚁爬行的区域不能在3扇形内，故.故选.4.函数的图象为参考答案：A5.若一个变换所对应的矩阵是，则抛物线在这个变换下所得到的曲线的方程是

（

）

A．B．

C．

D．参考答案：D略6.函数的最大值与最小值之和为(

)

(A)(B)0(C)－1(D)参考答案：A当时，，，即，所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值，所以最大值和最小值之和为，选A.7.一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B作出满足题意的区域如下图，则由几何概型得，所求概率为.8.若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出复数z2，代入表达式利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，z2=﹣2﹣i，复数====﹣i．在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．9.若复数在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数A．－1 B．1 C． D．参考答案：C，所以，故选C.8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于A． B．

C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．参考答案：【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【分析】利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．【解答】解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b?=3??c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．12.复数z=(i为复数的虚数单位)的模等于

．参考答案：略13.已知在圆上存在相异两点关于直线对称，则实数的值为__________.参考答案：8略14.若，则的值为

参考答案：，，15.不等式的解集是

参考答案：原不等式等价为，即，所以不等式的解集为。16.设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则的值为

。参考答案：17.定义：数列：，数列：；数列：；则若的前n项的积为P，的前n项的和为Q，那么P+Q=参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（I）当时，求在最小值；（Ⅱ）若存在单调递减区间，求的取值范围；（Ⅲ）求证：（参考答案：（I），定义域为．

，

在上是增函数． 当时，；

………4分，解得．

综合①②③知：．

………9分（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．令，则有，

．，．

………15分(法二)当时，．，，即时命题成立．设当时，命题成立，即．时，．根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．

………15分

略19.（本小题满分12分）如图在四棱锥中底面为直角梯形，，，；底面，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的大小．

参考答案：解：（1）依题意可建立如图所示的空间直角坐标系．计算得………2分

故且，又、是平面内两条相交直线，∴平面．

………6分

（2）由（1）知，平面，故平面的法向量，而平面的一个法向量

………设二面角的平面角为，依题意得

………10分

而为锐角，故，既二面角的大小为．

………12分

略20.（12分）已知函数f（x）=ax（lnx﹣1）（a≠0）．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）当a＞0时，设函数g（x）=x3﹣f（x），函数h（x）=g′（x），①若h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；②证明：ln（1×2×3×…×n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．参考答案：【分析】（1）求出函数f（x）的导数，对a讨论，分a＞0，a＜0，由导数大于0，解得增区间；（2）①当a＞0时，求出g（x）的导数，由题意可得≥的最大值，求出右边函数的导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求a的范围；②由①可得＜，x∈N，可得2elnn＜n2，由累加法和对数的运算性质即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=ax（lnx﹣1）的导数为f′（x）=a（lnx﹣1）+a=alnx，当a＞0时，x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当a＜0时，0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有a＞0，f（x）的递增区间为（1，+∞）；a＜0时，f（x）的递增区间为（0，1）；（2）①当a＞0时，设函数g（x）=x3﹣f（x）=x3﹣ax（lnx﹣1），函数h（x）=g′（x）=x2﹣alnx，x＞0，h（x）≥0恒成立，即为≥的最大值，由y=的导数为，当x＞时，函数y递减；当0＜x＜时，函数y递增，即有x=取得最大值，则有≥，解得0＜a≤e；②证明：由①可得＜，x∈N，即有2elnn＜n2，可得2e（ln1+ln2+ln3+…+lnn）＜12+22+32+…+n2，则ln（1?2?3…n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，考查不等式的证明，注意运用已知不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．21.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在中，，斜边，是的中点．现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）参考答案：（1）在中，，即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积………………..4’故圆锥的全面积……………….6’（2）解法一：如图建立空间直角坐标系．则………………..8’设与所成角为则………………..10’异面直线与所成角为………………..12’解法二：过作交于，连