2021-2022学年湖南省邵阳市洞口县二三五学校高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年湖南省邵阳市洞口县二三五学校高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是数列的前项和，则“数列为常数列”是“数列为等差数列”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2.函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值．【详解】对于函数且，令，求得，，可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，，则，故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．3.在△ABC中，=，则△ABC是（） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 参考答案：C【考点】三角函数中的恒等变换应用． 【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，进而化简整理求得sin2A=sin2B，进而推断出A=B或A+B=90°，进而可推断出三角形的形状． 【解答】解：由正弦定理可得= ∵= ∴=，求得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴A=B或2A+2B=180°，A+B=90° ∴三角形为等腰或直角三角形． 故选C 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形形状的判断．解题的关键是通过正弦定理把边转化为角的问题，利用三角函数的基础公式求得问题的解决． 4.（12）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C5.数列满足当（其中时，有则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，＝，＝，＝，定义f（P）=（,,）,若G是△ABC的重心，f（Q）＝（，，），则A．点Q在△GAB内 B．点Q在△GBC内C．点Q在△GCA内 D．点Q与点G重合参考答案：A7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位参考答案：A8.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x） C．y=x3 D．y=参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】对选项根据函数的奇偶性和单调性，一一加以判断，即可得到既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数．【解答】解：由于函数y=e﹣x是减函数，但不是奇函数，故不满足条件．由于函数y=ln（﹣x）不是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，故不满足条件．由于函数y=x3是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，故不满足条件．由于函数y=是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，故满足条件，故选D．10.已知函数f(x)=sin(2x+)(x∈R)，为了得到函数g(x)=cos2x的图象，只需将y=f(x)的图象A.向左平移个单位

B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位参考答案：A，故选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合若点（ｘ，ｙ）Ａ是点（ｘ，ｙ）Ｂ的必要条件，则ｒ的最大值是_________参考答案：略12.已知等比数列{an}的首项a1＝2037，公比q＝，记bn＝a1?a2……an，则bn达到最大值时，n的值为参考答案：11【解答】解：∵a1＝2037，公比q＝，∴an＝2037×，∵a11＞1，a12＜1∵bn＝a1?a2……an，则当n＝11时bn达到最大值．13.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是

参考答案：214.等比数列的各项均为正数，且，则__________．参考答案：10解：∵等比数列的各项均为正数，且，∴，∴，∴故答案为．15.已知函数，其中，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，函数在区间上的最大值为，最小值为，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）(x)＝3x2－6ax＝3x（x－2a），令(x)＝0，则＝0，x2＝2a，（1）当a＞0时，0＜2a，当x变化时，(x)，(x)的变化情况如下表：x（－，0）0（0，2a）2a

（2a，＋）(x)＋0－0＋(x)↗极大值↘极小值↗所以函数(x)在区间（－，0）和（2a，＋）内是增函数，在区间（0，2a）内是减函数．（2）当a＜0时，2a＜0，当x变化时，(x)，(x)的变化情况如下表：x（－，2a）2a

（2a，0）0（0，＋）(x)＋0－0＋(x)↗极大值↘极小值↗所以函数(x)在区间（－，2a）和（0，＋）内是增函数，在区间（2a，0）内是减函数．（Ⅱ）由及（Ⅰ），(x)在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，又(2)－(1)＝（8－12a＋b）－（1－3a＋b）＝7－9a＞0，∴M＝(2)，m＝(2a)＝8a3－12a3＋b＝b－4a3．∴M－m＝（8－12a＋b）－（b－4a3）＝4a3－12a＋8．设g(a)＝4a3－12a＋8，∴(a)＝12a2－12＝12（a＋1）（a－1）＜0（a[]）．∴g(a)在[]内是减函数．故g(a)max＝g()＝2＋＝，g(a)min＝g()＝－1＋4＝．∴≤M－m≤．

略16.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为__________．参考答案：17.一直曲线C的参数方程为（t为参数）C在点（1,1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为

。参考答案：sin（+）=三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合

（1）求集合和；

（2）求。参考答案：解：（1），

……………2分。

……………4分

（2）,

……………6分

。

……………8分

略19.已知常数项为0的函数的导函数为，其中a为常数.(1)当时，求的最大值；(2)若在区间(0,e]（e为自然对数的底数）上的最大值为－3，求a的值.参考答案：（1）因为当时，当时，，当时，，在上是增函数，在上是减函数，（2）①若，则在上是增函数，，不合题意，②若，则由，即，由，从而在上为增函数，在上为减函数，，令则，即为所求.

20.已知，(且)．（1）过作曲线的切线，求切线方程；（2）设在定义域上为减函数，且其导函数存在零点，求实数的值．参考答案：

(1)∵f(0)＝0，∴P(0,2)不在曲线y＝f(x)上，设切点为Q(x0，y0)，∵f′(x)＝2－x，∴k＝f′(x0)＝2－x0，且y0＝f(x0)＝2x0－，∴切线方程为y－2x0＋＝(2－x0)(x－x0)，即y＝(2－x0)x＋，

…………………3分∵(0,2)在切线上，代入可得x0＝±2，……………5分∴切线方程为y＝2或y＝4x＋2.…………………7分(2)h(x)＝2x－x2－logax在(0，＋∞)上递减，∴h′(x)＝2－x－≤0在(0，＋∞)上恒成立，

∵x>0，∴≥2x－x2在(0，＋∞)上恒成立．又2x－x2∈(－∞，1]，∴≥1，∴0<lna≤1，①…10分又∵h′(x)＝2－x－存在零点，即方程lna·x2－2lna·x＋1＝0有正根，∴Δ＝4ln2a－4lna≥0，∴lna≥1或lna<0，②…12分由①②知lna＝1，∴a＝e.

………………13分

21.已知函数，，函数的图像在点处的切线平行于轴．（1）求的值；（2）求函数的极小值；（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，（）证明：．参考答案：解：（1）依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得：∴（2）由（1）得∵函数的定义域为，令得或函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．故函数的极小值为（3）证法一：依题意得，要证，即证因，即证令（），即证（）令（）则∴在（1，+）上单调递减，∴

即，----------