概率论与数理统计：第一章 随机事件及其概率

第一章随机事件及其概率

第一节随机事件第二节随机事件的概率第四节条件概率第五节事件的独立性第三节古典概型与几何概率第六节伯努利概型第一节随机事件一、随机试验二、样本空间三、随机事件四、事件的关系与运算一、随机试验1试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果.2

进行试验之前不能确定哪一个结果会出现.

其中，可以在相同的条件下重复进行的随机试验称为可重复的随机试验，否则称为不可重复的随机试验

随机试验的所有可能结果组成的集合。

二、样本空间THTHTHHHTTTHTHHHTT1次0次2次在某一批产品中任选一件，检验其是否合格记录某大超市一天内进入的顾客人数

在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命

观察某地明天的天气是雨天还是非雨天

三、随机事件在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命.规定电视机的寿命超过10000小时时为合格品

满足这一条件的样本点组成的一个子集

称为随机试验的一个随机事件

基本事件：随机试验有两个基本事件和

随机试验有三个基本事件、和样本空间的两个特殊子集

它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件

它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生称之为不可能事件

由一个样本点组成的单点集

四、事件间的关系与运算研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件

研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定

事件的包含事件的相等事件的和事件的积事件的差互斥（互不相容）互逆（对立）运算规律事件的包含事件的相等事件的和,或记为A+B.事件的积事件的差例：掷一颗骰子，设事件A为“点数为偶数”，事件B为“点数小于6”，则互斥互逆（对立事件）运算规律4、对偶律

注：这些运算规律可以推广到任意可数多个事件上去

1、交换律2、结合律3、分配律例1设，，是随机事件，则事件{与发生，不发生}可以表示成{，，至少有两个发生}可以表示成{，，恰好发生两个}可以表示成{，，中有不多于一个事件发生}可以表示成例2某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，每个水源都足以供应城市的用水，设事件于是“城市断水”这一事件可表示为“城市能正常供水”这一事件可表示为甲乙12城市3第二节随机事件的概率一、频率与概率二、概率的公理化定义三、概率的性质一、频率与概率概率定义1.3实践表明，进行相同次数的重复试验，事件发生的频率未必相同，即频率与具体的试验有关，不能作为事件发生可能性大小的一般度量。频率可以作为事件发生可能性大小的近似估计。抛硬币实验试验者德摩根蒲丰K．皮尔逊K．皮尔逊维尼罗曼诺夫斯基20484040120002400030000806401061204860191201214994403120.51810.50690.50160.5005049980.4999当常常会不一样不同时，得到的)(Afnn这表明频率具有一定的随机波动性对于可重复进行的试验，当试验次数逐渐增大时，事件的频率都逐渐稳定于某个常数，且摆动的幅度一般随着试验次数的增加而减小，呈现出“稳定性”。 因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频率的稳定值。我们称这一定义为概率的统计定义。这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性。频率具有如下性质

1非负性2规范性3可加性 设E是随机试验，W是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(•)满足下列条件：二、概率的公理化定义1非负性2规范性3可列可加性概率的这种严格定义是苏联数学家柯尔莫格洛夫在1933年给出的。柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov,1903－1987),20世纪世界上为数极少的几个最有影响的数学家之一,Wolf奖得主(1980年)。他的研究几乎遍及数学的所有领域(概率论、算法信息论、拓扑学、经典力学、流体力学、计算复杂性理论等)做出过许多开创性的贡献。最为人所道的是对概率论公理化所作出的贡献。概率的公理化定义揭示了概率的数学本质：即概率是随机事件的满足三条公理的实值函数。三、概率的性质性质1性质2（有限可加性）性质3性质4性质5性质6（加法公式）

性质5证明：证明性质5证明性质6性质6（加法公式）证明：因为且故由性质2和性质3得：性质6可以推广到多个事件的情形。例如例1设、为两事件，且设，求解而所以于是例2设证明证例3设、为两事件，且满足解第三节古典概型与几何概型一、古典概型二、几何概型一、古典概型（等可能概型）1

试验的样本空间只含有有限个元素，即

2

试验中每个基本事件发生的可能性相同，即

具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型

按古典定义计算的概率称为古典概率。计算古典概率的关键是求出样本空间和事件所含的样本点的个数，通常需要用到排列组合知识。THTHHHTT例1将一枚硬币抛二次（2）解（1）THTHHHTT例2袋内有5个白球和3个黑球，从中任取2球，求下列事件概率解（1）（2）例3一批产品共100件，95件正品和5件次品。从中每次取1件连取2次，求至少取到1件正品的概率。解（1）（2）例4设袋中有只4白球和2只黑球，现从袋中无放回地依次取出4只球（即第一次取一球不放回袋中，第二次再从剩余的球中再取一球，此种抽取方式称为无放回抽样）。试求（1）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；

（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率

解记(1)（3）类似于（1），可求得（2）例5将个球随机地放入个盒子中去，设盒子的容量不限，试求（1）指定n个盒子各有一只球的概率；（2）恰好个盒子中各有一球的概率

解将个球放入个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入个盒子中的任一个盒子，故共有种不同的方法。个盒子可以有种不同的选法。对选定的个

盒子，每个盒子各有一个球的放法有种。由乘

法原理，共有种放法，因此所求概率为

(1)指定n个盒子中各有一球，共有

种不同的方法，因此所求的概率为例6

（女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成。做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了。问该女士的说法是否可信？

10次试验一共有个等可能的结果

解假设该女士的说法不可信，即纯粹是靠运气猜对的。在此假设下，每次试验的两个可能结果为：奶＋茶或茶＋奶且它们是等可能的，因此是一个古典概型问题。若记则只包含了个样本点中一个样本点，故例7某班有50名学生，求至少有两人生日相同的概率。解设A为“50名学生的生日互不相同”，每个人的生日均可能是365天中的任一天，样本空间有个样本点。50名学生生日互不相同共有

种可能情况。故至少2人生日相同的概率为例8在整数1,2,…,1000中随机取1个数，求此数既不能被3整除又不能被4整除的概率。解设A为“能被3整除”，B为“能被4整除”，则AB表示“能被12整除”。因为于是故所求概率为例9袋内有个白球，个黑球，无放回地每次从中任取1球，求第次取到白球的概率。解将个球视为互不相同，依次取出排成一列，共有种排法。考虑第个位置为白球的排列，共有种排法。设为“第次取到白球”，则所求概率为

此结果说明概率的值与m和n有关，而与k无关。此例与依次抽奖属同一模型。二、几何概型古典概型是关于试验的结果为有限且每个结果出现的可能性相同的概率模型。一个直接的推广是：保留等可能性，而允许试验的所有可能结果为直线上的一条线段，平面上的一片区域或空间中的一个立体等具有无限多个结果（样本点）的情形，称具有这种性质的试验模型为几何概型。若在一个面积为的区域中等可能地任意投点，这里“等可能”的含义是：点落入中任何区域的可能性的大小与区域的面积成正比，而与其位置和形状无关。由知

从而－－几何概率

记事件则有概率的几何定义设几何概型的样本空间为一有界区域，其测度为；事件A为样本空间的子区域，其测度为，则事件A的概率为以9点为0时刻，记甲乙到达时刻为，则样本空间,面积为

例10甲乙两人相约上午9点到10点之间在某地会面，并约定先到者等候另一个人15分钟，过时即离去。求两人能够会面的概率。记A为“两人能会面”，则解第四节条件概率一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率例1

一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）由题意，样本空间为(1)表示事件“其中有一个是女孩”，表示事件“两个都是女孩”，则有 由于事件已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件包含的基本事件只占其中的一种，所以有解在这个例子中，若不知道事件已经发生的信息，那么事件发生的概率为

其原因在于事件的发生改变了样本空间，使它由原来的缩减为，而是在新的样本空间中由古典概率的计算公式而得到的

这里(2)关系式（2）不仅对上述特例成立，对一般的古典概型和几何概型问题，也可以证明它是成立的

上例中计算P(B|A)的方法并不普遍适用．如果回到原来的样本空间W中考虑，显然有从而即例2将一枚硬币连掷2次，计算下列概率。有反面出现的概率；

在已知有正面出现的条件下，求有反面出现的概率。解：(1)连掷两次共有4个样本点：(正,正)，(正,反)，(反,正)，(反,反)。有正面出现的概率为。(2)已知有正面出现，连掷2次有3个样本点(正,正)，(正,反)，(反,正)此时有反面出现的概率为第(2)个问题，是求在事件A发生的条件(或前提)下事件B的概率。这种类型的概率称为条件概率。(1.7)可以验证，条件概率P(•|A)满足概率公理化定义中的三条公理

定义1.5事件A发生的条件下事件B发生的条件概率根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算条件概率P(B|A)（1）在缩减后WA的样本空间中计算；（2）在原来的样本空间W中，直接由定义计算1非负性2规范性3可列可加性例3一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球。（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。解（1）可以在缩减的样本空间WA1上计算。因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取球时，所有可取的球只有9只。WA1中所含的基本事件数为9，其中黑球只剩下2个。所以

记（2）由于第二次取球发生在第一次取球之后，故WA2的结构并不直观。因此，直接在W中用定义计算P(A1

|A2)更方便些

因为所以

例4

人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？

解记因此要求显然因为从而

可知该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643。在平均意义下，该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡。二、乘法公式定理1（乘法公式）则由归纳法可得：则由可得例5

一袋中有a个白球和b个红球。现依次不放回地从袋中取两球。试求两次均取到白球的概率。解记要求显然因此例6

已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品。为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品。求采购员拒绝购买这批产品的概率解则从而

设由乘法定理于是由题意，有例7设一批产品的合格率为96%，合格品中一等品率为75%。现任取1件该产品，求取到一等品的概率。解：设事件A为“取到合格品”，B为“取到一等品”，则注意到，则所求概率为例8袋内有m个白球和n个黑球。每次任取1球，观察颜色后放回，并再放入k个与其同色的球。连续取球4次，求第1、2次取白球，且第3、4次取到黑球的概率。解：设事件Ai为“第i次取到白球”，为“第i次取到黑球”，i=1,2,3,4。所求概率为三、全概率公式下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立全概率的计算公式。先引入一个例子例9某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12。两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为2:3。(1)在仓库中随机地取一件成品，求它是次品的概率(2)在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品，问该此次品分别是由第1、2车间生产的概率为多少？从而（7）于是（8）解(1)记（6）因为（2）问题归结为计算和

由条件概率的定义及乘法公式，有(9)(10)定义1.6定理1.1（全概率公式）则例12假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存折利率的变化。经分析，该时期内利率下调的概率为60％，利率不变的概率为40％。根据经验，在利率下调时某支股票上涨的概率为80％，在利率不变时，这支股票上涨的概率为40％。求这支股票上涨的概率。解故由全概率公式

全概率公式是通过分析导致事件发生的各种原因，综合计算事件的概率。现在考虑相反的问题：在事件已发生的情况下，分析事件发生由各种原因导致的可能性，为此需要分别计算事件发生由每种原因导致的概率。四、贝叶斯公式定理1.2（贝叶斯（Bayes）公式）

与全概率公式刚好相反，贝叶斯公式主要用于当观察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事件发生的各种原因、情况或途径的可能性大小。例13由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%。一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1%的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳