2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第12讲梯形及中位线(含详解)

第12讲梯形及中位线

本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求

解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线.中位线主要包括两个

方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用.

模块一：梯形及等腰梯形

知识精讲

一、梯形及梯形的有关概念

（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底.

腰：不平行的两边叫做腰.

高：梯形两底之间的距离叫做高.

（2）特殊梯形

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

特殊梯形\

、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形？

交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形.

【等腰梯形性质】

等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等.

等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等.

另外：等腰梯形是轴对称图形；

【等腰梯形判定】

等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.

等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形.

例题解析

例1.（2019•上海八年级课时练习）如图，梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=30°,ZBCD=

60°,AD=2,AC平分/BCD,则BC长为（）.

C.4V3D.3V3

例2.（2018•上海市清流中学八年级月考）若等腰梯形两底角为30°,腰长为8,高和上

底相等，则梯形中位线长为（）

A.873B.10C.473+4D.166

例3.（2018•上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰

梯形的锐角为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

例4.（2018•上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是

（）

A.等腰梯形的两底平行且相等

B.等腰梯形的两条对角线相等

C.等腰梯形在同一底上的两个角相等

D.等腰梯形是轴对称图形

例5.（2017・上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（）

A.梯形B.等腰梯形C.平行四边形D.等腰梯形或平行四边形

例6.（2019•上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（）

例7.（2020•上海杨浦区•八年级期末）已知在梯形ABCD中，AD//BC,

AB=AD=DC=4,ACLAB,那么梯形ABCD的周长等于.

例8.（2020•上海嘉定区•八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5。加，其中一条底

边的长为6cm,那么该梯形的另一条底边的长是cm.

例9.（2018•上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB//

CD，AD=AB,BD-LBC,则NC=

例10.(2019•上海上外附中八年级期中)在梯形ABC。中，AB//CD,对角线

AC±BD,AC=6,BD=8,则梯形ABC。的面积为.

例11.(2020•上海浦东新区•八年级月考)如图，在梯形力腼中，AD//BC,BC=\2,AB

=DC=8,NB=60°.

(1)求梯形的中位线长.

例12.(2020•上海浦东新区•八年级期末)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,点E、F

分别是AB、AC的中点，CELBF于点0.

(1)求证：四边形EBCF是等腰梯形；

(2)EF=1,求四边形EBCF的面积.

A

A例13.如图，已知梯形中，比t是下底，NA吐60°,BD平分■NABC,且BD1CD,若梯

形周长是30顺，求此梯形的面积.

O

例14.如图，直角梯形力版中，/月=90°,AD//BC,力庆5,/介45°,切的垂直平分线交

4。于点、E,交物的延长线于点用求跖的长.

例15.如图，在梯形/腼中，AD//BC,AB-AD-DC,/斤60°,

(1)求证：ABVACx

(2)若屐6,求梯形4?(笫的面积.

例16.如图，在梯形被力中，AD//BC,CA平■分匕BCD,DE//AC,交式1的延长线于点£,Z

例17.如图，在等腰三角形/I8C中，点久后分别是两腰式上的点，联结应、切相交

于点0,Z1=Z2.

求证：梯形败r是等腰梯形.

A

12

B

例18.如图，梯形。16C中，。为直角坐标系的原点，尔B、。的坐标分别为（14,0）、

（14,3）、（4,3）.点只0同时从原点出发，分别作匀速运动，点一沿力以每秒1个

单位向终点4运动，点0沿8、纺以每秒2个单位向终点8运动.当这两点中有一点到达

自己的终点时;另一点也停止运动.

（1）设从出发起运动了x秒，当x等于多少时，四边形aRC为平行四边形？

（2）四边形少数能否成为等腰梯形?说明理由.

例19.如图，等腰梯形花圃165的底边4〃靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该

花圃的腰4?的长为x米.（1）请求出底边回的长（用含x的代数式表示）；（2）若N

胡介60°,该花圃的面积为S米2,求S与x之间的函数关系式，指出自变量x的取值范

围，并求当伞686时x的值.

例20.己知，一次函数y=-1x+4的图像与入轴，y轴，分别交于力、8两点，梯形力阪1

4

（。是原点）的边力B5,（1）求点。的坐标；（2）如果一个一次函数y="+b（4、力为常

数，且4W0）的图像经过从。两点，求这个一次函数的解析式.

例21.如图，直角梯形/町中，AB//CD,N4=90°,AB=6,AD=4,D（=3,动点尸从点4出

发，沿/-0+。」8方向移动，动点。从点/出发，在边上移动.设点—移动的路程为

x,线段40的长度为外线段切平分梯形/颔的周长.

（1）求y与x的函数关系式，并求出这个函数的定义域；

（2）当户不在勿边上时，线段区能否平分梯形题的面积?若能，求出此时x的值：若

不能，请说明理由.

模块二：辅助线

知识精讲

解决梯形问题常用的方法

①作高法：使两腰在两个直角三角形中；

②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添

辅助线的方式，构造直角三角形；

③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；

④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成

三角形；

⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂

直

的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的

高

等.

例题解析

例1.如图，已知在梯形中，AD//BC,AB=AD=CD=\3,AEA.BC,垂足为

E,AE=\2,则8C边的长等于（）

A.20B.21C.22D.23

AD

例2.已知梯形A8CD中，ADHBC,N8=70,NC=40,AD=2,BC=10.求Z)C的

长.

例3.如图，梯形A8CD中，ABUCD,ZA+/B=90,AB=b,CD=a,E、/分

别为A3、CD的中点，则所的长等于()

.b+a„b+a八b-ab-a

•/z.C/•1n).

例4.已知：如图，在梯形力宓9中，AD//BC,AB=AC,/胡090°,BD=BC,即交AC于0.求

证：CO-CD.

例5.在等腰梯形力及空中，AD//BC,AB=DC,对角线”1与被相交于点。，NBO060°,

AC=\Qcm,求梯形的高a'的长.

例6.如图，在梯形48G9中，AD//BC(BC>AD),Z£>=90°,BC=CD=\2,

ZABE=45°,若力后10,则C序.

模块三：中位线

知识精讲

三角形中位线的定义和性质：

1.定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；

2.三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.

3.梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.

【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位

线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三

角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线

定理的特例了.

例题解析

例1(1)顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；

(2)顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是；

(3)顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是；

(4)顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是；

(5)顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；

(6)顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是：

(7)顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；

(8)顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；

(9)顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是.

例2.（2019•上海浦东新区•八年级期中）如图，^ABC中，点D、E分别在AB、AC边

上，AD=BD,AE=EC,BC=6,贝UDE=()

A.4B.3C.2D.5

例3.（2018•上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是

（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

例4.（2019•上海上外附中）梯形两条对角线互相垂直，且长度分别为4，6,则梯形的

中位线长为

例5.（2019•上海上外附中）如图，四边形ABCD中，E，尸分别为AD，8c中点，

且AB=6,C£>=8,则EF的长度”的范围是

例6.（2017•上海闵行区•八年级期末）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是

AB,BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是

'B

例7.（2018•上海宝山区•八年级期末）如图，将。4%/中，AD=8,点E,尸分别是龙,

⑺的中点，则旗为.

例8.（2017•上海徐汇区•八年级期末）如图，在△48C中，点〃,£分别是边力瓦比的

中点，若应'的长是6,则4e___.

例9.（2019•上海上外附中）如图，矩形ABCD中，AB=6,4）=8,点O为对角线

AC中点，点M为边AD中点，则四边形A80M的周长为

例10.（1）点£）、E、F分别是AABC三边的中点，△£>£尸的周长为10cm,则AABC的周

长为；

（2）“ABC三条中位线的长为3cm、4cm、5cm,则AMC的面积为.

例H.如图，在AABC中，点〃是边6c的中点，点£在AA3C内，四平分N84C,CEVAE

点尸在边46上，EF//BC.

(1)求证：四边形成!即是平行四边形；

(2)线段6?AB、4C之间有怎么样的数量关系？并证明.

例12.如图所示，在梯形/时中，ADIIBC,对角线AC_LB£＞交于点0,.肠#是梯形

的中位线，Z£)BC=30,求证：AOMN.

例13.如图所示，在正方形力腼中，对角线4GBD交于一点、0,4?平分/B4C,交8。于点

E,交。6于点区求证：CE-20F.

例14.如图1所示，己知劭、酸分别是AABC的外角平分线，过点4作AGA.

CE,垂足分别为尺G,连接R7,延长/尺AG,与直线比相交，易证

FG=^AB+BC+AC).

(1)若切、◎'分别是比的内角平分线(如图2)；

(2)以为比■的内角平分线，四为△相C的外角平分线(如图3),则在图2、图3两种

情况下，线段尸。与△力a'三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况

给予证明.

例15.如图，在四边形4?切中，AD=BC,E、尸分别是5、4?的中点，延长/〃、BC,分别交

所的延长线于点//、G；求证：ZAHF=NBGF.

■B

随堂检测

1.有两个角相等的梯形是（)

A.等腰梯形B.直角梯形C.一般梯形D.直角梯形或等腰梯形

2.卜列命题中，真命题是（）

4顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是矩形

笈顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形

C顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是等腰梯形

〃顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是直角梯形

3.己知梯形的两个对角分别是78°和120°,则另两个角分别是（）

A.78°或120°B.102°或60°C.120°或78°D.60°或120°

4.下列命题，错误命题的个数是（）

①若一个梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形；

②等腰梯形的两腰的延长线与经过两底中点的直线必交于一点；

③一组对边相等而另一组对边不相等的四边形是梯形；

④有两个内角是直角的四边形是直角梯形.

41个6.2个C3个4个

5.如图，在中，。、£分别是8C、AC的中点，且A£>_LA8,4）=4,

AB=6.求AC的长.

6.等腰梯形两底之差等于一腰长，求它的底角的度数.

7.如图，四边形ABC。中，4）不平行BC,现给出三个条件：®ZCAB=ZDBA,@AC=BD,

@AD=BC.请从上述三个条件中选择两个条件，使得本题添上这两个条件后能够推出

•8是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）.

8.如图，在四边形A3CZ）中，E、F、G、”分别是4?、BD、BC、AC上的中点,

AB=5,CD=1.求四边形EFG〃的周长.

第13讲梯形及中位线

本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求

解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线.中位线主要包括两个

方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用.

模块一：梯形及等腰梯形

知识精讲

一、梯形及梯形的有关概念

（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底.

腰：不平行的两边叫做腰.

高：梯形两底之间的距离叫做高.

（2）特殊梯形

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

特殊梯形\

、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形？

交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形.

【等腰梯形性质】

等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等.

等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等.

另外：等腰梯形是轴对称图形；

【等腰梯形判定】

等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.

等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形.

例题解析

例1.（2019•上海八年级课时练习）如图，梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=30°,ZBCD=

60°,AD=2,AC平分/BCD,则BC长为（）.

A.C.4V3D.3A/3

【答案】B

【分析】过点A作AE〃DC,可判断出4ABE是直角三角形，四边形ADCE是菱形，从而求出

CE、BE即可得出BC的长度.

【详解】过点A作AE〃DC,

VAD/7BC,

四边形ADCE是平行四边形,

又：AC平分NBCD,

.*.ZDAC=ZACE=ZDCA,

/.AD=CD,

四边形ADCE是菱形，

；.CE=AD=AE=2,

VAE/7CD,

.,.ZAEB=ZBCD=60°,

又：NB=30°,

ZBAE=90",

/.BE=2AE=4,

；.BC=BE+CE=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形，解题的关键

是掌握等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形.

例2.（2018•上海市清流中学八年级月考）若等腰梯形两底角为30°,腰长为8,高和上

底相等，则梯形中位线长为（）

A.80B.10C.473+4D.16百

【答案】C

【分析】分析题意画出图形，则DE=CD=CF,AD=8,ZA=30°,由DE_LAB,ZA=30°,

AD=8,即可得出DE=4,进而求出CD的长度;运用勾股定理得出AE和BF的长度,易证四

边形CDEF是平行四边形，得出EF的长度，进而得出AB+CD的长度，由梯形中位线的性

质，即可解答本题.

【详解】根据题意画出图形，则DE=CD=CF,AD=8,ZA=30°.

因为DE_LAB,ZA=30°,AD=8,

所以DE='AD=4,

2

所以CD=4,AE=Jm一。炉=4百，同理BF=4百.

因为DE_LAB,CF±AB,

所以DE〃CF.

因为CD〃EF,

所以四边形CDEF是平行四边形，

所以EF=CD=4.

因为CD=4cm,AB=AE+EF+FB=173+4+16=86M,

所以AB+CD=86+4+4=86+8,

所以梯形的中位线长为,

(AB+CD)=45/3M.

2

故选C.

【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于需结合梯形中位线的性质，勾股定理等

知识进行求解.

例3.（2018•上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰

梯形的锐角为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【分析】作梯形的两条高线，证明^ABE丝△DCF,则有BE=FC,然后判断aABE为等腰直角

三角形求解.

【详解】如图，作AELBC、DFJ_BC,四边形ABCD为等腰梯形,AD〃BC,BCYD=12,AE=6,

AD

BoEFC

・・•四边形ABCD为等腰梯形，

JAB=DC,NB=NC,

VAD/7BC,AE1BC,DF±BC,

AAEFD为矩形,

AAE=DF,AD=EF,

.二△ABE经△DCF,

ABE=FC,

/.BC-AD=BC-£F=2BE=12,

・・・BE=6,

VAE=6,

•••△ABE为等腰直角三角形，

.\ZB=ZC=45°.

故选B.

【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.

例4.（2018•上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是

（）

A.等腰梯形的两底平行且相等

B.等腰梯形的两条对角线相等

C.等腰梯形在同一底上的两个角相等

D.等腰梯形是轴对称图形

【答案】A

【分析】本题考查对等腰梯形性质的理解.等腰梯形的性质如下:等腰梯形两腰相等;等腰梯

形两底平行;等腰梯形的两条对角线相等;等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形是轴

对称图形.

【详解】由等腰梯形的性质可知,等腰梯形的对角线相等,其在同一底上的两个角相等,可知

B、C不符合题意；

同时等腰梯形关于两底中点的连线成轴对称,即可得到D不符合题意，

而等腰梯形两底平行但不相等，因此A符合题意.

故选A.

【点睛】此题考查等腰梯形性质，解题关键在于对性质的掌握.

例5.（2017・上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（）

A.梯形B.等腰梯形C.平行四边形D.等腰梯形或平行四边形

【答案】D

【解析】根据特殊四边形的性质，分析所给条件，选择正确答案.

解：A、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故A不

正确；

B、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故B不正确；

C、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故C不正确；

D、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故I）正确.

故选D.

“点睛”本题考查了平行四边形和等腰梯形的性质.考虑问题时应该全面考虑，不能漏掉任

何一种情况，要求培养严谨的态度.

例6.（2019•上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（）

【答案】错误

【分析】根据题设画出反例图形即可.

【详解】解：反例：如图，已知梯形ABC。，AD//BC,NC=N£>=90°,而梯形

ABCO不是等腰梯形.

故该命题是假命题，

故答案为：错误.

【点睛】本题考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性质，举出反例是解题的关健.

例7.（2020•上海杨浦区•八年级期末）已知在梯形ABCD中，AD//BC,

AB=AD^DC=4,AC±AB,那么梯形ABCD的周长等于.

【答案】20

【分析】根据等腰三角形的性质得到Nn4C=N£>C4,根据平行线的性质得到

ZDAC=ZACB，得到N0C4=NACB，根据直角三角形的性质列式求出

ZBCA=3O°,根据直角三角形的性质求出BC,根据梯形的周长公式计算，得到答案.

【详解】解：•.•AD=OC,

:.ZDAC=ZDCA,

-,-AD//BC,

ZDAC=ZACB,

:.ZDCA=ZACB,

•：AD//BC,AB=DC,

：.ZB=ABCD=2ZACB,

ACAB,

:.ZB+ZBCA=90°,BP3ZBC4=9O°,

.•.ZBC4=3O°,

..6C=2AB=8,

­.AB=AD=DC=4,BC=8,

梯形的周长=4+4+4+8=20,

故答案为：20.

【点睛】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握含30。

的直角三角形的性质是解题的关键.

例8.（2020•上海嘉定区•八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5c加，其中一条底

边的长为6c加，那么该梯形的另一条底边的长是cm.

【答案】4

【分析】根据梯形中位线定理解答即可.

【详解】解：设该梯形的另一条底边的长是xcm,根据题意得：g（x+6）=5,解得：

x=\,

即该梯形的另一条底边的长是4cm.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键.

例9.（2018•上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形A8CO中，AB//

CD,AD=AB，BD工BC，则/C=.

【答案】60°

（分析］利用平行线及AB//CD证明ZADB=ZABD=ZBDC,再证明

ZADC=/BCD,再利用直角三角形两锐角互余可得答案.

【详解】解：因为：AB//CD,所以：ZADB=ZABD,

因为：AD=AB-所以：/BDC=AABD,

所以；ZADB=ZABD=ZBDC,

因为：等腰梯形ABCO，

所以：ZADC=/BCD,

设：/BDC=x0,所以NBCD=2廿,

因为：BD工BC,

所以：x+2x=9（），解得：%=30,

所以：NC=60°.

故答案为：60°.

【点睛】本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握相关性质是

解题关键.

例10.（2019•上海上外附中八年级期中）在梯形A8QD中，AB//CD,对角线

AC±BD,AC=6,BD=8,则梯形ABCD的面积为.

【答案】24

【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积公式即可求得答案.

【详解】解：如图所示，梯形对角线垂直，则SAB8=g-AC-B0=gx6x8=24.

故答案是：24

【点睛】本题考查对角线互相垂直的四边形的面积公式；对角线垂直时，四边形可看成四

个直角三角形的面积之和，可得对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半.

例11.（2020•上海浦东新区•八年级月考）如图，在梯形力时中，AD//BC,的=12,AB

=DC=8.N8=60°.

（1）求梯形的中位线长.

【答案】（1）8（2）32^/3

【分析】（1）过力作/勿切交比于反则四边形被力是平行四边形，得"=阳AE=

DC,证出△/应'是等边三角形，得BE=AB=8,则/L9=AC=4,即可得出答案；

(2)作｛曰比于八则/物尸=90°-Z5=30°,由含30°角的直角三角形的性质得出

BF=^AB=\,AF=gS,由梯形面积公式即可得出答案.

【详解】解：(1)过4作小〃口交比1于£,

'：AD//BC,

，四边形4日6是平行四边形，

：.AD=EC,AE=DC,

"：AB^DC,

：.AB^AE,

VZ5=60°,

；.△/应是等边三角形，

:.BE=A48,

:.AgEC=BC-跖=12-8=4,

二梯形4及力的中位线长=一(A/BC)=一(4+12)=8；

22

(2)作"LL8C于下，

则/的尸=90°-ZJ?=30°,

：.BF=^AB=A,AF=6BF=A6

梯形46(力的面积BOX/1A=(4+12)X4V3=32^/3.

\D

，

BFEC

【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，梯形中位线的

性质，直角三角形30度角的性质.

例12.(2020•上海浦东新区•八年级期末)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,点E、F

分别是AB、AC的中点，CEJ_BF于点0.

(1)求证：四边形EBCF是等腰梯形；

(2)EF=1,求四边形EBCF的面积.

E

B

9

【答案】(1)见解析；(2)一.

4

【分析】(1)根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论；

(2)如图，延长BC至点G,使CG=EF,连接FG,根据平行四边形的性质得到FG=EC=BF,

根据全等三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论.

【详解】(1)I•点E、F分别是AB、AC的中点，

.•.EF//BC,BE=-AB--AC=CE,

22

...四边形EBCF是等腰梯形；

(2)如图，延长BC至点G,使CG=EF,连接FG,

VEF//BC,即EF//CG,且CG=EF,

四边形EFGC是平行四边形，

乂•••四边形EBCF是等腰梯形，

；.FG=EC=BF,

；EF=CG,FC=BE,

.,.△EFB^ACGF(SSS),

S四边形EBCF=S,

：GC=EF=1,且EF」BC,

2

；.BC=2,

；.BC=BC+CG=1+2=3.

VFG//EC,

AZGFB=ZB0C=90°,

13

；.FH=-BG=-,

22

139

X3X

一-

,•S四边形EBCF=S«BFG一2-2-4-

【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正

确的作出辅助线是解题的关键.

例13.如图，己知梯形四切中，8C是下底，NAB060°,BD平•分4ABC,良BDLCD,若梯

形周长是30c加，求此梯形的面积.

【难度】★★

【答案】27^cnr.

【解析】•:BD平-分4ABC,\NABD=NDBC=LNABO30。.

2

'：AD//BC,：./AD故4DBC40。,：.AB=AD

,：BDLCD,：.ZDCB=60°,：.ZABC=ZDCB,：.AI^CD.

'设AB=CD=AD=x,

Rt/\BCD中,,:NDB030",:.BC=2CD=2x,

.*.30=x+x+x+2x,解得：A=6.

作/反La；Rt/\ABE中,

:/力斤30°,.•.除3,A后3上.

：.S=-(AlhBOA527Gcnr.

2

【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用.

例14.如图，直角梯形被力中，/4=90°,AD//BC,A9=5,/少45°,"的垂直平分线交

助于点6,交物的延长线于点凡求跖的长.

【难度】★★

【答案】5

【解析】联结应

；£61垂直平分CD,

：.EOED,/£绥/介45°,:.NCED=9Q°,

VZJ=90°,AD//BC,.,.四边形劭比是矩形，

：.BC=AE.

设BOx=AE,：.ED^EC=AB=5~x

；/例=/面氏45°,...△/!£尸是等腰直角三角形，

：.AF^AE=x

B叫BA+A片5-x+产5.

【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整

体思想求出线段跖的长.

例15.如图，在梯形47切中，AD//BC,AB=AD=DC,/斤60°,

(3)求证：ABVAC-,

(4)若屐6,求梯形力腼的面积.

【难度】★★

【答案】(1)见解析；(2)27g.

【解析】（I）'：AB-CD,，/左/比定60°,NBA庆N店120°

,:AFDC,：.ADAC=ADCA=^°

:.NBAONBAD~NDAC=120°-30°=90°

：.BAA.AC；

(2)'：A^AD=DC,DC=6,:.。A!>AB=6

在直角三角形力犯中，•.•//1华30°,：.BO2AB=12

作/lELBC,贝IJ4后36，

【总结】本题主要考查含30°的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用.

例16.如图，在梯形力加力中，AD//BC,CA平■分乙BCD,DE//AC,交勿的延长线于点后Z

【难度】★★

【解析】：力「平分/8必

：.ZBCA=ZACD--ZDCB

2

'：DE//AC,：.Z^ZACB--ADCB

2

：N#2N£,：.4B=NDCB

•.•梯形中，AD//BC,

：.AB-CD

【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用.

例17.如图，在等腰三角形/8C中，点久£分别是两腰/C、■上的点，联结应、切相交

于点〃，Z1=Z2.

求证：梯形飒T是等腰梯形.

A

【难度】★★

【解析】：AB=AC,AADB(=AECB

在丛BCD与AECB中,N1=N2,B(=BC

:ZC隘MCB,：.BD-CE

,：AB-AC,：.AD=AE,：.NADE=ZAED-；(180°—ZA)=N4陷ZACB

，DE//BC,又BD与四不平行

...四边形劭£C是梯形，且劭=◎；.•.梯形做笫是等腰梯形

【总结】本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结.

例18.如图，梯形如叱中，。为直角坐标系的原点，尔B、C的坐标分别为(14,0)、

(14,3)、(4,3).点八。同时从原点出发，分别作匀速运动，点/处以每秒1个

单位向终点/运动，点0沿小、%以每秒2个单位向终点6运动.当这两点中有一点到达

自己的终点时，另一点也停止运动.

(1)设从出发起运动了x秒，当x等于多少时，四边形0铝C为平行四边形？

(2)四边形勿"C能否成为等腰梯形?说明理由.

【难度】★★

【答案】(1)尸5；(2)不能.

【解析】(1)由题可知：0(=5,陷10,0/1=14.

'：BC//OA

.•.当0点在比'上，且华。时，四边形0颦C是平行四边形

即2尸5=x,解得：x=5；

(2)作点「作加总于点E,过点。作QFLOP马点、F

'：AO//BC,:.C2QF

当小用4时，MOG恒△PQF,此时四边形O/RC为等腰梯形，

即OP=OE+CQrPF,：.x=4+（2尸5）+4,解得：尸-3（舍），

四边形OA2C不能成为等腰梯形.

【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合

运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用.

例19.如图，等腰梯形花圃480的底边/〃靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该

花圃的腰的长为x米.（1）请求出底边回的长（用含x的代数式表示）；（2）若N

BAD=60°,该花圃的面积为S米2,求S与x之间的函数关系式，指出自变量x的取值范

围，并求当我68G时x的值.

【难度】★★★

【答案】（1）除40-2x；（2）S=--x2+2O>/3x（0<x<20）,产4.

4

【解析】（1）等腰梯形力阳?中，AB^CAx,，於=40-丫-尸40-2国

（2）作应UBCFLAD

在以△/烈中，吐30。，：.A^-x.

2

„mA'.RFCL-瓜

In可理f|卜庐Ak-x,..Bh-Cb----.

22

・•・止给40一2筋・•・力加40r

.c(BC+AD)BE1....、瓜一3后二”耳…

・.S=------------=-(40-2%+40-x)----=-------+20\/3x(0<x<20),

2224

当S=686时，代入解析式，解得：尸4或x=竺(舍)

3

当9686时x的值为4.

【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义.

例20.已知，一次函数y=-1x+4的图像与x轴，y轴，分别交于48两点，梯形AOBC

4

(。是原点)的边/白5,(1)求点C的坐标；(2)如果一•个一次函数y=依+分(K6为常

数，且〃W0)的图像经过4、C两点，求这个一次函数的解析式.

【难度】★★★

464464

【答案】(1)2(13,4)或(19,4)或(16,5)；(2)产，》+上或y一上.

33-33

【解析】由题可知：A(16,0),B(0,4).

当如〃然时，点C坐标为(16,5),

当外〃40时，点C坐标为(13,4)或(19,4)；

(2)•.•一次函数的图像经过/、C两点，点坐标不能为(16,5),

当1(16,0),<7(13,4)时，利用待定系数法可得解析式为：y=--x+—；

33

当/(16,0),C(19,4)时，利用待定系数法可得解析式为：y=ix--.

33

【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强.

例21.如图，直角梯形力中，AB//CD,ZJ=90°,/户6,4M,DO3,动点一从点/出

发，沿方向移动，动点0从点4出发，在48边上移动.设点尸移动的路程为

x,线段的长度为y,线段用平分梯形/及力的周长.

(1)求y与x的函数关系式，并求出这个函数的定义域；

(2)当户不在外边上时，线段倒能否平分梯形/腼的面积?若能，求出此时x的值；若

不能，请说明理由.

【难度】★★★

【答案】⑴y=-x+9(3<x<9)；

(2)尸3时，々平分梯形面积.

【解析】(1)过点「作CEU8于点E,则OAE=3,。层4,

可得：除5,所以梯形4版的周长是18.

•••尸。平分梯形/质的周长，

尸9,*.*0<y<6,A3<x<9,

y=-x+9(3<x<9)；

(2)由题可知，梯形4%》的面积是18.

因为乃不在放上，所以3WxW7.

当3Wx<4时，尸在4?上，此时心中=!孙，

•••线段偌能平分梯形四，力的面积，则有3孙=9

可得方程组[f：解得：:或，=6(舍)；

[xy=18[y=6[y=3

当4WA<7时，点〃在切上，此时SA〃0='x4(x-4+y)

•.•线段PQ能平分梯形ABC!)的面积，则有lx4(x-4+y)=9

可得方程组卜)'=9,方程组无解，

[2x+2y=17

当户3时，线段图能平分梯形46四的面积.

【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同

情况讨论，利用数形结合的思想进行计算.

模块二：辅助线

知识精讲

解决梯形问题常用的方法

②作高法：使两腰在两个直角三角形中；

②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添

辅助线的方式，构造直角三角形；

③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；

④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成

三角形；

⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂

直

的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的

置问

等.

例题解析

例1.如图，已知在梯形A8CD中，AD〃BC,AB=AD=CD=13,AEVBC,垂足为

E,AE=12,则8c边的长等于()

A.20B.21C.22D.23

【难度】★★

【答案】D

【解析】AB=13,A£=12,：.BE=5.

梯形4BCO中，AD//BC,AB=CD.AE1BC,

：.BC=AD+2BE=\3+2x5=23,故选D.

【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用.

例2.已知梯形ABCD中，AD//BC,N8=70,NC=40,AD=2,3c=10.求。C的

长.

【难度】★★

【答案】切=8.

【解析】作应7/4?,则四边形/版是平行四边形.

：.AD-BE^2,陷/庐70°.

在△龙。中，N信40°,；./瓦?0180°-40°-70°=70°,C次小於法10-2=8.

【总结】本题考查辅助线——做一边的平行线，构造平行四边形.

例3.如图，梯形A8CD中，ABUCD,NA+NB=90,AB=b,CD=a,E、F分

别为A3、8的中点，则£尸的长等于（）

.b+a口b+a万b-ab-a

/j•D»C.〃n•

D,

----------j----------

【难度】★★

【答案】C

【解析】分别过点尸做尸6/“〃，FH//BC,分别交劭于点G,H

可得平行四边形DFGA与平行四边形FCBH

:.AG=F2CAB4、CD=La,：.GH=b-a

22

生90°,.,.可得直角△/•的，£■是由中点

：.EF--GH=-(b-a),故选C.

22

【总结】本题考查直角三角形中线性质与梯形辅助线的添加.

例4.已知：如图，在梯形力成力中，AD//BC,AB=AC,N幽华90°,BD=BC,BD交.AC于0.求

【难度】★★

【解析】作DELBC,'：AD//BC,:.A六DE.

,:BOBD,：.DE=-BD.

22

:.在Rt/XBDE中,N庞仁30。，：.ABCD-ABDC^Q

:.NDOONDBC+NAMT,：.Z.CDO=ACOD=1^,ACD=CO.

【总结】本题考查梯形的常用辅助线一做梯形的高，把梯形问题转化成三角形,矩形的问题,

然后根据已知条件和三角形性质解题.

例5.在等腰梯形中，AD//BC,AB-DC,对角线“'与仍相交于点0,Z5（26=60°,

4010c"求梯形的高座,的长.

【难度】★★

【答案】5也cm.

【解析】等腰梯形力质中，

-：0B=0C,NHG60°,可得等边△©,

■：A<=BD=10,二在直角aS宏中，BB--BD=5,

2

DE=5s/3cm.

【总结】本题考查梯形的相关计算，注意方法的运用.

例6.如图，在梯形4%中，AD//BC（BC>AD）,ZD=90°,BC=CD=12,

ZABE=45。，若力后10,则CB=.

【难度】★★★

【答案】4或6.

【解析】过点6作物的垂线交DA延长线于机M为垂足,

延长〃"至ijG,使得MG=CE,联结BG,

可得四边形式"/是正方形.

：.BG=BM,/e/8价90°,EOGM,:.丛BEg丛BMG,:.NMBG=/CBE

；/4陷45°,:.NCBE+NABlf=45°,：.NABM=45°,

:"A