2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第16讲 动点产生的面积问题(含详解)

第16讲动点产生的面积问题

运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的儿

何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系.解题的关键是分清几

何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何

元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课

的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题.

模块一：面积计算的问题

知识精讲

本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割

补”的思想构造较简单的图形进行求解.

例题解析

例1.(2018•上海八年级期中)一次函数y=+m的图像经过点尸(-2,3),且与x轴、

＞轴分别交于点A、8,求△AQB的面积.

例2.(2020•上海市静安区实验中学八年级期中)一次函数y=(m-2)廿匕付的图像

》随x增大而减小，且经过点41,6).

求(1)mn的值；

(2)求该直线与坐标轴围成的三角形的面积及坐标原点到直线的距离.

例3.（2019•上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）在直角坐标平面内，。为原点，点

A的坐标为（1,。），点。的坐标为（。,4）,直线。/〃x轴.点5与点A关于原点对称，直

线y=x+6（〃为常数）经过点3,且与直线CM相交于点。.

（1）求力的值和点。的坐标；

（2）在x轴上有一点。，使的面积为8,求。点的坐标；

（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P,使得APO。为等腰三角形，若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

例4.(2020•上海市位育实验学校八年级月考)如图，直线八的解析式为V=-3x+3,

且八与x轴交于点D,直线/2经过点A,B,两条直线交于点C,在直线％上存在一点P，使

得4ADP的面积是4ADC面积的2倍，那么点P的坐标为

例5.(2020•上海市南汇第四中学八年级月考)如图，直线L:y=-；x+3与x轴、＞

轴分别交于A、B两点，在》轴上有一点。(0,9),动点M从A点以每秒2个单位的速度

(2)求VCOM的面积S与M的移动时间f(秒)之间的函数关系式；

(3)当f何值时△COM丝△AOB,并求此时“点的坐标.

(4)当f何值时VCOM的面积是AAOB一半，并求此时M点的坐标.

例6.(2019•上海嘉定区•上外附中八年级月考)如图，已知一次函数y=kx+3的图形经

过点A(1,m),与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且NAB0=45°,设点D的坐标为

(3,0)

(1)求m的值；

(2)联结CD、AD,求4ACD的面积；

(3)设点E为x轴上一动点，当NADC=/ECD时，求点E的坐标.

例7..(2019•上海市市西初级中学八年级期中)如图，在平面直角坐标系中，点

A(-6,0),8(T,3),边AB上有一点P(机,2),点。，。分别在边Q4,OB上，联结

CD,CD!/AB,联结PC,PD，BC.

(1)求直线A8的解析式及点P的坐标;

(2当时，求出点。的坐标；

(3)在(2)的条件下，点/?在射线BC上，SMHO^SARIiO,请直接写出点R的坐标.

例8.（2020•上海嘉定区•八年级期末）在平面直角坐标系x0y中，已知一次函数

4

丫=一一无+匕的图像与》轴、y轴分别相交于点A、B,且与两坐标轴所围成的三角形的

3

面积为6.

（1）直接写出点A与点B的坐标（用含8的代数式表示）；

（2）求b的值;

4

（3）如果一次函数y=—+8的图像经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2,m）,

其中机＞0,试用含机的代数式表示△ABC的面积.

例9.（2020•上海金山区•八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数

y="仪。0）的图像经过点A（l,g）,点B的坐标为（2,6）.

（1）求Z的值：

（2）求△。山的面积；

（3）若点C（不与点A重合）在此正比例函数（左。0）图像上，且点。的横坐标为

a,求AABC的面积.（用a的代数式表示）

3

例10.(2019•上海市西延安中学八年级期中)已知一次函数y=--x+6的图象与坐标轴交

于A、B点(如图)，AE平分NBAO,交x轴于点E.

(1)求点B的坐标；

(2)求直线AE的表达式；

(3)过点B作BFJ_AE,垂足为F,连接0F,试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积.

例11.如图，已知直线/：y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点8、C,将直线y=x向上平移

1个单位长度得到直线用，点。是直线PA与y轴的交点，求四边形P3W的面积.

例12.如图，已知直线48：y=x+2与直线"：y=gx交于点4与直线如：y=3x交于

例13.如图，已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于48两点，直线/经过原

点，与线段4?交于点。，把△力如的面积分为2：1两部分，求直线/的解析式.

例14.如图，已知，在矩形力腼中，AB=IO,於12,四边形夕浏的三个顶点反

F、〃分别在矩形4a®边4?、BC,加上，AE=2.

(1)如图1,当四边形3为正方形时，求△67U的面积；

(2)如图2,当四边形济皿为菱形，且ma时，求△(；尸C的面积.(用含。的代数式表

示)

例15.如图1,正方形4%力的边长为2,点/(0,1)和点〃在y轴正半轴上，点8、。在第

一象限，一次函数y=Ax+2的图像/交/久切分别于氏F.

(1)若△戚与△应尸的面积比为1：2,求力的值;

(2)联结跖当花平分/物时，求才的值.

例16.如图，在平面直角坐标系中，函数尸2x+12的图像分别交x轴、y轴于4、6两

点，过点力的直线交y轴正半轴于点北且点材为线段如的中点.

(1)求直线4"的表达式；

(2)试在直线44/上找一点只使得见.=心“的请求出点夕的坐标；

(3)若点〃为坐标平面内任意一点，是否存在点//,使以/、B、M、〃为顶点的四边

形

是等腰梯形?若存在，请直接写出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

例17.如图1,已知直角坐标平面内点/(2,0),一是函数尸x(x>0)图像上一点，PQL

4。交y轴正半轴于点Q.

(1)试证明：AP=PQ；

(2)设点尸的横坐标为a,点0的纵坐标为b,那么6关于a的函数关系式是—

(3)当丛的=-力,小时，求点夕的坐标.

3

模块二：与面积相关的函数解析式

知识精讲

本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这

个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大.

例题解析

例1.如图，矩形力中，/1,4分2,M是5的中点，点〃在矩形的边上

沿Af3f运动,试写出△?!掰的面积y与点夕经过的路程x之间的函数关系，

写出定义域，并画出函数图像.

DM

例2.如图，在梯形中，AD//BC,AB=CAAD=5cm,BC=11an,点、P从点、D出发沿DA

边以每秒lc/»的速度移动，点。从点6出发沿式'边以每秒2c必的速度移动（当点尸到达点

4时，点尸与点。同时停止移动），假设点户移动的时间为x（秒），四边形的少的面积为

y{CHI'）.

（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）在移动的过程中，求四边形少的面积与四边形。物的面积相等时x的值；

（3）在移动过程中，是否存在x使得加=力8若存在，求出所有的x的值；若不存

在,

请说明理由.

例3.已知：如图1,在线段4■的同侧作正方形力及力和正方形戚G（班V46）,连结£G并

延长交"于点M作协U/18,垂足为爪朗V交劭于尸.设正方形/以力的边长为1.

（1）证明：XCMG乌IXNBP；

（2）设班'=x,四边形1侬V的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）如果按照题设方法作出的四边形滋娘是菱形，求原的长.

ANB

例4.己知：在梯形侬力中，AD//BC,/6=90°,/8=8C=4,点£在边加上，CE=CD.

(1)如图1,当/及力为锐角时，设4?=%△口!应的面积为必求y与x之间

的函数解析式，并写出函数的定义域；

(2)当加5时，求△侬的面积.

例5.如图1,四边形的比是矩形，点/、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点〃是线段比1

上的动点(与端点8、C不重合)，过点〃作直线》=-'彳+〃?交折线。16于点£

2

(1)当点创合为四中点时，求必的值；

(2)当点6在线段的上，记应的面积为y,求y与0的函数关系式并写出定义域；

(3)当点£在线段的上时，若矩形的a1关于直线场的对称图形为四边形。4台6,

试判断四边形U46G与矩形的%的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部

分的面积；若改变，写出重叠部分面积S关于0的函数关系式.

例6.如图1,在正方形/皮力中，点/在边上(点£与点48不重合)，过点£■作用，

DE,R7与边8C相交于点E与边力的延长线相交于点G.

(1)当£是18中点时，求证力(7=班

(2)当£在边48上移动时，观察班'、AG.4E•之间具有怎样的数量关系?并证明你所

得

到的结论；

(1)联结肮如果正方形的边长为2,设4«=x,△%的面积为y,求y与x之间

的函数解析式，并写出函数的定义域.

例7.如图1,梯形/腼中，AD//BC,ZJ9=90°,49=18,8c=21.点户从点/出发沿

以每秒1个单位的速度向点〃匀速运动，点。从点C沿⑵以每秒2个单位的速度向点E匀

速运动.点只。同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t秒.

(1)当四=10时，设小B、Q、尸四点构成的图形的面积为S,求S关于2的函数关系式，

并写出定义域：

(2)设昆户为48、缪的中点，求四边形/W是平行四边形时力的值.

例8.如图1,在菱形力物中，N5=45°,48=4.左右作平行移动的正方形瓦诩的两个

顶点尺G始终在边回上.当点G到边6c中点时，点6恰好在边四上.

(1)如图1,求正方形如笫的边长；

(2)设点8与点厂的距离为x,在正方形乃叩作平行移动的过程中，正方形必Q/与菱形

/版重叠部分的面积为必求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)联结欲HC,当是等腰三角形时，求郎的长.

例9.如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，四边形。是矩形，4(0,4),0(5,

0),点〃是y轴正半轴上一点，将四边形物比沿着过点〃的直线翻折，使得点0落在线段

18上的点£1处.过点£■作y轴的平行线与x轴交于点儿折痕与直线EV交于点M联结

DE、OM.设OD=t,MN=s.

(1)试判断四边形瓦MV的形状，并证明；

(2)当点〃在线段如上时，求s关于，的函数解析式，并写出函数的定义域；

(3)用含力的代数式表示四边形加M与矩形的肥重叠部分的面积.

B

—»>

Ov

例10.已知：如图1,梯形4%》中，AD//BC,N4=90°,ZC=45°,45=49=4.£•是直

线加上一点，联结圾过点£作牙工缈交直线缪于点尸.联结册

（1）若点V是线段四上一点（与点4〃不重合），（如图1所示）

①求证：BE=EF；

②没DE=x,△婀的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域；

（2）直线］〃上是否存在一点E,使△戚是△/应1面积的3倍，若存在，直接写出必的长，

若不存在，请说明理由.

例11.如图，已知正方形力腼的边长为3,菱形砒7/的三个顶点反G、〃分别在正方形的

边18、CD、的上，AH=\,联结〃

(1)当〃G=1时，求证菱形以创为正方形；

(2)费,DG=x,的面积为y,写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

(3)当及?=&6时，求/肱的度数.

3

例12.已知：如图，四边形力■的四个顶点坐标分别为0(0,0),1(8,0),5(4,4),

C(0,4),直线/：y=x+勿保持与四边形fl48c的边交于点M、加(M在折线40C上，/¥在

折线/6C上).设四边形28C在/右下方部分的面积为S,在/左上方部分的面积为$,

记5=6—£(520).

(1)求的大小；

(2)当以/V重合时，求/的解析式；

(3)当后0时，线段16上是否存在点儿使得S=0?若存在，求加的值；若不存在，请

说明理由;

(4)求S与必的函数关系式.

例13.在边长为4的正方形485中，点。是对角线4。的中点，户是对角线上一动点，过

氤P作PELCD于点、F,作砌_如交直线切于点色设序=x,S^cE=y.

(1)求证：DAEF；

(2)当点尸在线段4。上时，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；(3)点夕在

运动过程中能否使笫为等腰三角形?如果能，请直接写出身的长；如果不能，请简单说

明理由.

随堂检测

L如图，直线y=-±x+4与y轴交于点4,与直线y=3x+3交于点8,且直线y=±x+±

355-55

与*轴交于点G求△力比的面积.

2.已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于1点和6点，另一条直线丫=依+优女*0)经过

点。(1,0),且把△力仍分成两部分.若△/如被分成的两部分面积比为1：5,求A和方

的值.

3.直线y=-(x+6与坐标轴分别交与点4、6两点，点只0同时从。点出发，同时到达4

点，运动停止.点0沿线段以运动，速度为每秒1个单位长度，点一沿0-8fA运

动.

(1)直接写出4、8两点的坐标；

(2)设点。的运动时间为f秒，△质的面积为S,求出S与f之间的函数关系；

(3)当5=竺时，求出点〃的坐标，并直接写出以点。、P、0为顶点的平行四

5

边形的第四个顶点"的坐标.

4.如图，已知：过点1(8,0)、B(0,8百)两点的直线与直线>=氐交于点G平行

于y轴的直线，从原点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停

止；/分别交线段6C、8于点〃、E,以龙为边向左侧作等边△废汽，设△庞尸与△以力重

叠部分的面积为S(平方单位)，直线/的运动时间为t(秒).

(1)写出点C的坐标和t的取值范围；

(2)求s与/的函数关系式.

第16讲动点产生的面积问题

运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的儿

何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系.解题的关键是分清几

何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何

元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课

的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题.

模块一：面积计算的问题

知识精讲

本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割

补”的思想构造较简单的图形进行求解.

例题解析

例1.(2018•上海八年级期中)一次函数y=+m的图像经过点尸(-2,3),且与x轴、

＞轴分别交于点A、3,求△AO8的面积.

【答案】-

4

【详解】先将点。坐标代入函数解析式，可求出加值，再根据函数解析式求出/、6两点坐

标即可求出AAOB的面积.

解：将尸(―2,3)代入y=-2x+m得，

m=-1,

/.y=-2x-l.

当y=0时，x=-g,

・••点力坐标为(——,0),

2

当冗=0时，y=-l,

・•・点夕坐标为(0,-1),

/.OA=—,0B=1.

2

SACR—~,OA-OB=—x—xl.

-A°B2224

例2.（2020•上海市静安区实验中学八年级期中）一次函数＞=（〃?-2）/匕吁2+〃的图像

＞随x增大而减小，且经过点A（l,6）.

求（1）mn的值；

（2）求该直线与坐标轴围成的三角形的面积及坐标原点到直线的距离.

27

【答案】（1）加=-9;（2）该宜线与坐标轴围成的三角形的面积为一，坐标原点到直

2

线的距离为2厢.

10

【分析】（1）由一次函数的定义和性质列出方程和不等式求出m的值，代入A点坐标，可

求出n值；

（2）山解析式可得》轴截距与X轴截距，然后根据三角形面积公式求解；利用勾股定理求

出直线与坐标轴围成的三角形的斜边长，然后用等积法求解.

【详解】解：（1）•••y=（x-2）x""2"，-2+”是一次函数

nr—2m—2=1

即（加一3）（，〃+1）=0

解得班=3；㈣=-1.

又y随％增大而减小

m-2＜0

即机＜2

m--\

一次函数解析式为：y=-3x+〃

代入点A（l,6）得6=-3+〃

n=9

mn--9

（2）由（1）得：y=-3x+9

丁轴截距：b=9

b9

x轴截距：一7=--=3

k-3

，该直线与坐标轴围成的三角形的面积；5=-.&.-1=-x3x9=^

2k22

该直线与坐标轴围成的三角形的斜边长：+匕2=V32+92=3M

设坐标原点到直线的距离为/l.

WS=-x3V10x/7=—

22

h=—Vio

10

••・坐标原点到直线的距离为2屈.

10

【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，熟

练掌握待定系数法是解本题的关键.

例3.（2019•上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）在直角坐标平面内，。为原点，点

A的坐标为（1,。），点。的坐标为（。,4）,直线。/〃x轴.点5与点A关于原点对称，直

线y=x+6（〃为常数）经过点3,且与直线CM相交于点。.

（1）求6的值和点。的坐标；

（2）在％轴上有一点。，使的面积为8,求。点的坐标；

（3）在％轴的正半轴上是否存在一点P,使得APOO为等腰三角形，若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)b=l,0(3,4)；(2)0(3,0)或&(-5,0).(3)存在.耳(5,0)或£(6,0)或

25

仁).

【分析】（1）先求出点B的坐标，由直线过点B,把点B的坐标代入解析式，可求得b的

值；点D在直线CM上，其纵坐标为4,利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；

(2)过点。作轴，根据三角形面积公式求出BQ的长，可得Q点坐标；

(3)aPOD为等腰三角形，有三种情况：OP=OD,PD=OD,PD=PO,故需分情况

讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点。的距离即司一；

【详解】

解：(1)•••8与A(l,0)关于原点对称

5(-1,0)

•••y=x+b过点8

—14-Z?=0

b=\

y=x+l

当y=4时，x+l=4

x=3

0(3,4)

.・b=l,0(3,4).

(2)过点。作轴，垂足为£,则。E=4OE是在边BQ上的高.

S&J3QD=5BQ•DE=8

BQ=4

在x轴上存在两个。点满足条件.

即：9(3,0)或0(-5,0).

(3)存在.

0D=\IOC2+CD2=>/42+32=5

①当。尸=8时

；OP=OD=5,0(0,0)

6(5,0)

②当PO=OD时

•/PD=OD,DE±x

•••DE是OP边得中线

OE=PE

vDEA.X,OD=5,DE=4

OE=3

OP=6

£(6,0)

③当PD=PO时

设P(a,0)

•••PD=PO

：.PD=a

•••在RtAPED中,PD=a,PE=a-3,DE=4

ci~=(a—3)~+4"

25

解得：a=—.

6

25

,0)

6

25

综上所述:耳(5,0)或g(6,0)或居(3,0).

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，•次函数图像上点的坐标特征以及等腰三

角形的判定和性质，注意分情况讨论是解决本题的关键.

例4.（2020•上海市位育实验学校八年级月考）如图，直线/i的解析式为y=-3x+3,

且人与x轴交于点D,直线八经过点A,B,两条直线交于点C,在直线人上存在一点P，使

得4ADP的面积是4ADC面积的2倍，那么点P的坐标为

y

h\h

X(4,0)X

3

2

【答案】（8,6）或（0,-6）

【分析】已知L的解析式，令y=0求出D点坐标，设k的解析式为y=kx+b,由图联立

方程组求出k,b的值，联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S^wc,△ADP与△

ADC底边都是AD,根据AADP的面积是aADC面积的2倍，可得点P的坐标.

【详解】由丫=~^+3,令y=0,得-3x+3=0,

x=1,

AD(1,0)；

设直线L的解析表达式为y=kx+b,

3

由图象知:x=4,y=0；x=3,y=—,代入表达式y=kx+b,

2

4k+b=0

3

3k+b=--

2

,3

k=-

2,

b=-6

3

直线L的解析表达式为y=-x-6

2;

y=-3x+3

由，尸*6

x=2

解得《

y=-?>

AC(2,T),

VAD=3,

19

SAABC―—X3X-3=一,

22

VAADP与△ADC底边都是AD,AADP的面积是4ADC面积的2倍，

/.△ADC高就是点C到直线AD的距离的2倍，

即C纵坐标的绝对值=6,则P到AD距离=6,

...点P纵坐标是±6,

3

Vy=—x-6,y=6,

2

3

A-x-6=6,

2

解得x=8,

.-.P.(8,6).

3

"."y—-x-6,y=6

2

.3。八

..-x-6--6,

2

解得x=0,

.\P，(0,-6)

综上所述,Pi(8,6)或R(0,-6).

故填：(8,6)或(0,-6).

【点睛】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的

坐标得出解析式是解题关键.

例5.(2020•上海市南汇第四中学八年级月考)如图，直线L：y=—；x+3与x轴、＞

轴分别交于A、B两点，在V轴上有一点C(0,9),动点M从4点以每秒2个单位的速度

沿x轴向左移动.

(1)求A、B两点的坐标

(2)求VCOM的面积S与A7的移动时间f(秒)之间的函数关系式；

(3)当f何值时△COM也△AO8,并求此时“点的坐标.

(4)当/何值时VCQ0的面积是AAOB一半，并求此时〃点的坐标.

Q1

-9r+y(O<Z<4.5)

【答案】(1)A(9,0)；(2)B(0,3)；(2)S=<(3)当t=3,M(3,

嗔(，>4.5)

。)，当t=6,M(-3,。)；⑷当t寺，当(-I，。)

【分析】(1)对于L：y=-gx+3,令x=0可求出B点坐标，令y=0可求出A点坐标;

(2)分点M在原点左侧和右侧两种情况，根据三角形的面积公式解答即可；

(3)分点M在原点左侧和右侧两种情况，根据全等三角形的性质列式求出t的值，进而可

求出点M的坐标；

(4)根据三角形的面积公式列式求出0M的长，进而分点M在原点左侧和右侧两种情况，

可求出t的值及点M的坐标.

【详解】解：⑴当x=0时,y=3,

；.B(0,3).

当y=0时，0=--x+3,x=9,

3

AA(9,0)；

(2)9+2=4.5秒,

当点M在原点右侧时，即0WtW4.5时，由题意得，0M=9-2t,

|1Q1

：.S^-OMOC=-(9-2t)x9-9t+—.

22V'2

当点M在原点左侧时，即t>4.5时，由题意得，0M=2t-9,

11Q1

：.S=-OM-OC=-(2t-9}x99t--,

22V'2

Q1

-9/+y(O<r<4.5)

9?-y(r>4.5)

(3)当点M在原点右侧时，即0WtW4.5时,

AOM-OB,

A9-2t=3,

t=3,

/.0M=9-6=3,

AM(3,0)；

当点M在原点左侧时，即t>4.5时,

■:^COM^AAOB,

.\OM=OB,

.,.2t-9=3,

；.t=6,

；.0M=12-9=3,

AM(-3,0)；

综上可知，当t=3,M(3,0),当t=6,M(-3,0)；

1127

(4)SAAOB=—OA-OB=-x9x3=—,

222

11127

：.-OMOC=-OMx9=-x—

2222

3

2

当点M在原点右侧时,

3

9-21--,

2

.t_15

••I-,

4

3

此时M(一,0)；

2

当点M在原点左侧时,

3

2t-9=—,

2

.t_21

“了，

3

此时M(一一，0),

2

综上可知，当t=，，M(—,0)；当1=下，M(,0).

4242

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，全等三角形的性质，以及

分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.

例6.(2019•上海嘉定区•上外附中八年级月考)如图，已知一次函数y=kx+3的图形经

过点A(1,in),与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且NAB0=45°,设点D的坐标为

(3,0)

(1)求m的值；

(2)联结CD、AD,求4ACD的面积；

(3)设点E为x轴上一动点，当NADC=/ECD时，求点E的坐标.

3

【答案】(1)m=4；(2)S/。=3；(3)点E的坐标为(5,0)或(6,0).

【分析】(1)求出点B坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可解决问题；

(2)根据=SJBD-SRCD进行计算即可；

(3)分点E在点D左侧和点E在点D右侧两种情况，分别求出直线CEi和直线CE?的解析

式即可得到对应的点E的坐标.

【详解】解：(1)•••一次函数y=kx+3的图象与x轴、y轴分别相交于B、C两点，Z

AB0=45°,

.*.0B=0C=3,

AB(-3,0),

将B(-3,0)代入y=kx+3得：0=-3k+3,

解得：k=l,

工直线BC的解析式为：y=x+3,

当x=l时，y=x+3=4,

，m=4；

(2)VB(-3,0),C(0,3),D(3,0),A(1,4),

ABD=6,

sACO=S-S=，仓K4--^3=3；

t^ArKBisDu△zBjcCzDy22

(3)如图所示，当点E在点D左侧时，

'.'ZADC=ZEICD,

AAD/ZCEi,

设直线AD的解析式为:y=kix+b(k#0),

(4=%+8

代入A(L4),D⑶。)得:二.解得:]k[=—2

b=6

工直线AD的解析式为：y=-2x+6,

故设直线CEi的解析式为：y=-2x+c,

代入C(0,3)得：c=3,

・・・直线CEi的解析式为：y=-2x+3,

3

当y=0时，解得：尢=一,

2

3

.'.E)(-,0)；

2

当点E在点D右侧时，AD与CEz交于点F,

VZADC=ZE2CD,

・・・FC=FD,

V0B=0D=3,ZAB0=45°,

AZCDB=45°,

AZACD=45°+45°=90°,即NACF+NFCD=90°,

VZCAF+ZFDC=90°,

.'.ZACF=ZCAF,

.\FC=FA,

・・・F为线段AD的中点,

••.点F的坐标为(2,2),

设直线CE?的解析式为：y=k2x+3,

代入F(2,2)得：2=2月+3,解得：&=一g，

直线C&的解析式为：y=—(x+3,

当y=0时，解得：x=6,

,•.E2(6,0),

3

综上所述，点E的坐标为(一，0)或(6,0).

2

【点睛】本题是一次函数与儿何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，-次函数的图

象和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算以及等腰三角形的判定和性质等知

识，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键.

例7..(2019•上海市市西初级中学八年级期中)如图，在平面直角坐标系中，点

4—6,0),8(-4,3),边A3上有一点P(m,2),点。，。分别在边Q4,OB上，联结

CD,CD//AB,联结PC,PD，BC.

(1)求直线AB的解析式及点P的坐标;

(2当CQ=8Q时，求出点。的坐标;

(3)在(2)的条件下，点R在射线上，SMB0=S&RBO,请直接写出点R的坐标.

314

【答案】(1)直线AB解析式为y=-x+9,P点坐标为(-一，2)(2)C点坐标为(-2,

23

0)(3)R(2,-6).

【分析】(1)由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式，再把P点坐

标代入直线解析式可求得P点坐标；

(2)由条件可证明△BPQ四△0)€),可证得四边形BDCP为平行四边形，由B、P的坐标可求

得BP的长，则可求得CD的长，利用平行线分线段成比例可求得0C的长，则可求得C的坐

标；

(3)由条件可知AR〃B0,故可先求出直线OB,BC的解析式，再根据直线平行求出AR的

解析式，联立直线AR、BC即可求出R点坐标.

【详解】(1)设直线AB解析式为y=kx+b,

\-4k+b=3k=-

把A、B两点坐标代入可得《〃，八，解得<2,

-6k+b=Q

b=9

3

直线AB解析式为y=-x+9,

2

,/P(九2)在直线AB上,

3-14

.'.2——m+9,解得m=---,

23

14

.•.P点坐标为(-一，2)；

3

(2)CD//AB.

.,.ZPBQ=ZDCQ,

在和aDCQ中

ZPBQ=NDCQ

<CQ=BQ

NPQB=ZDQC

.'.△PBQ^ADCQ(ASA),

ABP=CD,

・・・四边形BDCP为平行四边形，

14

・・・8(-4,3),(■—,2),

3

.\CD=BP=J(-4+y)2+(3-2)2=--,

VA(-6,0),

•••OA=6,AB=J(-4+6,+(3-0)2=岳,

；CD〃AB,

.'.△COD^AAOB

y/l3

•COCD

upco,解得co=2,

■AO~AB

6-V13

；.C点坐标为(-2,0)；

(3),•=S\RBO，

二点A和点R至IJBO的距离相等,

.,.BO//AR,

3

设直线BO的解析式为尸nx,把8(-4,3)代入得3=-如，解得n=—-x

4

3

・,・宜线BO的解析式为y二-一x,

4

3

・・・设直线AR的解析式为y=--x+e,

4

3

把A(-6,0)代入得0=--X(-6)+e

9

解得e=--

2

39

..•直线AR的解析式为y=--x--,

42

设直线BC解析式为y=px+q,

把C、B两点坐标代入可得《-^〜k+b,-3八，解得＜

一2人+8=0

b=-3

3

［线AB解析式为y=­x-3,

2

联立

y=--x-3

I2

x=2

解得《,

y=-6

AR（2,-6）.

【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、勾股

定理、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，解

题的关键是熟知待定系数法求111函数解析式.

例8.（2020•上海嘉定区•八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数

4

y=-的图像与x轴、），轴分别相交于点A、B,且与两坐标轴所围成的三角形的

面积为6.

（1）直接写出点A与点3的坐标（用含匕的代数式表示）；

（2）求2的值;

4

（3）如果一次函数y=—+8的图像经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2,m）,

其中机＞0,试用含机的代数式表示△ABC的面积.

33

【答案】⑴A(-^O)；8(0,b)(2)±4(3)-m+10

4

【分析】(1)由一次函数y=-gx+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,令y二。求

Hlx,得到A点坐标；令x=0,求出y,得到B点坐标；

4

(2)根据一次函数y=-］无+人的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为6列出方程,

即可求出b的值；

4

(3)根据一次函数y=--x+b的图象经过第二、三、四象限，得出b=-4,确定A(-3,

33

0),B(0,-4).利用待定系数法求出直线AC的解析式，再求出D(0,—m),那么BD二g

m+4,再根据SAABC^S△ABI)+SADBCf即可求解.

4

【详解】解：(1)•・•一次函数支--x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,

3

433

・••当y=0时，x+b=O,解得x=-b,则A(—b,0),

344

当x=0时,y=b,则B(0,b)；

故A(-b,O)；B(O,b)；

4

ii3

(2)-S^OB=-OA.OB=---h-\b\^6

b2=16»

h=±4；

(3)・・•函数图像经过二、三、四象限,

b=Y,

4)

；・y=­X—4.

3

.・・4—3,0),5(0,-4).

设直线AC的解析式为y=&+r,

0=—3k+1

将A、C坐标代入得＜

m=2k+t

解得《

3

设直线AC与y轴交于点D，则r＞（O,-/n）.

3

...BD^-m+4

5

133

•••^BC=--（-/n+4）.（3+2）=-/«+10.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数的性质，利

用待定系数法求一次函数的解析式.

例9.（2020•上海金山区•八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数

y=履（％W0）的图像经过点A（l,'，点B的坐标为（2,6）.

（1）求女的值；

（2）求△。钻的面积；

（3）若点C（不与点A重合）在此正比例函数丁=日（攵。0）图像上，且点C的横坐标为

a,求A4BC的面积.（用。的代数式表示）

【答案】⑴％=；：⑵SAOAB=1；(3)=54-5或SAABC=5。

【分析】（1）利用待定系数法求在的值;

（2）求直线仍的解析式，从而求得〃点坐标，然后利用三角形面积公式求解；

（3）过点C做宙Ly轴，一交AE于点、E,求得直线用的解析式，从而求得瓦点坐标，然后

利用三角形面积公式求解

【详解】解：⑴将4（1」）代入正比例函数>=履（左。0）中得：k=-

（2）设直线协的解析式为丁=如，将川2,6）代入，得：

2m=6,解得：m-3

，直线如的解析式为：y=3x

过点/I作4ax轴，交仍于点〃

^AOAB=2X2A。=~

（3）由题意可得：C点坐标为

过点C做血y轴，交四于点6

设直线四的解析式为y=《x+b,将41,；）,川2,6）代入，得:

,1[,11

L+b=-k、=—

«12,解得：\'2

2k]+b=6h=-5

...直线4f的解析式为：>=日》一5

£点坐标为（百〃）

I，一w

：.EC-

11111

111010