河南省开封市彪岗中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

河南省开封市彪岗中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，集合，则（

） A． B． C． D．参考答案：D2.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y(

) A．有最小值3，最大值9 B．有最小值9，无最大值 C．有最小值8，无最大值 D．有最小值3，最大值8参考答案：C考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．解答： 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．无最大值．由，解得，即A（2，4）．此时z的最小值为z=2×2+4=8，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4.已知全集U=N，集合，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略5.“”是“函数的最小正周期为”的

(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既非充分条件也不是必要条件参考答案：

A6.已知函数，则A.的最小正周期为

B.的最大值为2

C.在上单调递减

D.的图象关于直线对称参考答案：C7.设是函数图象上的点，则的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】A

∵P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．f′（x）=1-+=，

令f′（x）＞0，解得x＞1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．且f′（1）=0．∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=3．

故选：A．【思路点拨】P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．8.已知是R上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是A.12

B.10

C.6

D.5参考答案：B9.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（

）．A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：C【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值．【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，0，，，2，，，0，，则，2，，，0，，，0，，设平面的法向量为，，，则，，令可得，1，，故，．直线与平面所成角的正弦值为，，解得：．故选：．【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．10.在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说:“主要责任在乙”；乙说:“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说:“反正我没有责任”.四人中只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是（

）A．甲

B．乙

C.丙

D．丁参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线的某一切线与直线垂直，则切点坐标为_____________.参考答案：（1，2）略12.设，则的最小值是__________.参考答案：13.已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x1，y1)的切线方程为x1x＋y1y＝r2.类比上述性质，则经过椭圆上一点M(x1，y1)的切线方程为_____．参考答案：

14.已知向量，，则

.参考答案：15.直线的一个单位法向量为（填一个即可）．参考答案：或16.已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y=kx+1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是

．参考答案：17.已知恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）讨论f(x)的单调性；（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：参考答案：（1）时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数

（2）证明见解析【分析】（1）对求导，得到，根据的，对进行分类，分为，和；（2）令，先说明当时，不符合题意，再研究当时，利用导数得到最大值，根据有两个零点，得到，易得，再利用导数证明时，，从而确定范围为，再构造函数，利用导数得到在上单调递减，从而得以证明.【详解】（1）易知的定义域为，且，时，在上恒正，所以在上单调递增，时，对于，①当，即时，，在上是增函数；②当，即时，有两个正根，所以，，单调递增，，，单调递减综上，时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数

（2）令，方程有两个不相等的实根函数有两个零点，由定义域为且①当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；②当时，得，在上单调递增，在上单调递减要使有两个零点，则，由解得此时易知当时，，令，所以，时，在为增函数，在增函数，，所以，即所以函数在与各存在一个零点综上所述，.∴证明证明时，成立设，则易知在上递减，，在上单调递减，所以.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数求函数的极值、最值，函数与方程，零点存在定理，属于难题.19.（本小题满分12分）已知函数

（I）求的值域；

（II）试画出函数在区间[-1，5]上的图象。参考答案：略20.已知函数，，其中为自然对数的底数.（1）若，求曲线在点处的切线斜率；（2）证明：当时，函数有极小值，且极小值大于.参考答案：（1）解：依题意，，，故，即曲线在点处的切线斜率为；（2）证明：因为,所以在区间上是单调递增函数.因为，，所以，使得.

所以，；，，故在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上有极小值.因为，所以.设，，则，所以，即在上单调递减，所以，即，故当时，函数有极小值，且极小值大于m.21.（本题满分13分）已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；参考答案：（本题满分13分）解析：（1）设椭圆方程为，

由题意可得，方程为；

，设则点在曲线上，则

从而，得，则点的坐标为；