平面向量综合检测解析

平面向量综合检测、解析及答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4D．12解析：|a＋2b|＝(a＋2b)2＝4＋4＋4＝23.答案：B2.已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是()ππA.6B.4ππC.3D.2解析：由a·(b－a)＝2得a·b＝2＋1＝3＝6×cos<a，b>，∴cos<a，1b>＝2，又<a，b>∈[0，π]，π∴<a，b>＝3.答案：C一质点遇到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．27B．25C．2D．6解析：由题意得F1＋F2＋F3＝0.答案：A(2009·福建福州模拟)把一颗骰子扔掷两次，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，则向量m与向量n不共线的概率为()15A.12B.12第1页共8页711C.12D.12解析：m与n共线的情况共有三种：m＝(1,2)，m＝(2,4)，m＝(3,6)，11故m与n不共线的概率P＝1－36＝12.答案：D5.已知向量a＝(λ2＋6和j＝(0,1)，若a·j＝－3，3，λ)，i＝(1,0)且向量a与i的夹角为θ，则cosθ的值为()33A．－2B.211C．－2D.2答案：Buuuruuuruuuruuur)6．四边形ABCD中，AB·BC＝0，且AB＝DC，则四边形ABCD是(A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形uuuruuuruuur解析：由AB＝可知为平行四边形，由AB·BC＝0知∠＝DCABCDABC90°，故ABCD为矩形．答案：B7．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝()1A．0B．－21C．－2D.2解析：由题意得a＋λb＝－k(b－2a)∴2k＝1,，＝－k1∴λ＝－2.答案：B设向量a，b知足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长组成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A．3B．4C．5D．6第2页共8页解析：三角形的内切圆半径为1，将圆平移，最多有4个公共点．答案：B9．设a，b，c是非零向量，以下命题中正确的选项是()A．(a·b)·c＝a·(b·c)B．|a－b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2C．若|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与b的夹角为60°D．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为60°解析：A、B显然不正确．由平行四边形法例可知，若|a|＝|b|＝|a＋b|，可知<a，b>＝120°，故C不正确．答案为D.答案：D设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()A．－2B.2－2C．－1D．1－2解析：(a－c)·(b－c)＝a·b－b·c＋c2－a·c＝1－(a＋b)·c，又a·b＝0，|a|＝|b|＝1，∴|a＋b|＝2.设a＋b与c的夹角为θ，则上式＝1－2cosθ当cosθ＝1时(a－c)·(b－c)获得最小值1－2.答案：Duuuruuuruuur11．点O在△ABC内部且知足OA＋2OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△OBC的面积之比为()5A.4B．3C．4D．5uuuruuuruuur1uuuruuur1uuur解析：由OA＋2OB＋2OC＝0，∴2(OB＋OC)＝4AO，∴△ABC△OBC底边BC的高之比为51，∴S△ABCS△OBC＝51.答案：D12．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则以下等式不建立的是()uuur2uuuruuurA．|AC|＝AC·ABuuur2uuuruuurB．|BC|＝BA·BCuuur2uuuruuurC．|AB|＝AC·CD第3页共8页uuurD．|CD|

uuuruuuruuuruuur（ACgAB）（BAgBC）＝uuur2ABuuuruuuruuur解析：∵AB·AC＝|ACuuuruuuruuuruuur（ACgAB）（BAgBC）同理：uuur2AB

|2uuuruuur2，故B建立．故A建立，又BA·BC]＝|BC|uuuruuurACBAuuur2ABuuuruuuruuuruuur又|AC|·|BC|＝|AB||CD|uuuruuuruuuruuuruuuruuur2ACACuuur2ABAB选C.答案：Cm13．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，2＋sinα)，此中λλ，m，α为实数，若a＝2b，则m的取值范围是()A．[－6,1]B．[4,8]C．[－1,1]D．[－1,6]＋＝①,解析：由a＝2b知22m,2－2＝＋②)cosm2sin,＝2m－2,2－m＝cos2＋2sin又cos2α＋2sinα＝－(sinα－1)2＋2∴－2≤cos2α＋2sinα≤2，即－2≤λ2－m≤2，由λ＝2m－221－2≤(2m－2)－m≤2，得4≤m≤22m－22＝＝2－∈[－6,1]．mmm答案：A二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．uuuruuuruuuruuuruuuur14．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________.(用a，b表示)第4页共8页uuuruuur解析：由AN＝3NC得4AN＝3AC＝3(a＋b)．uuuur1AM＝a＋2b，uuuur3111MN＝4(a＋b)－(a＋2b)＝－4a＋4b.11答案：－4a＋4b711715．向量c与a＝(2，2)，b＝(2，－2)的夹角相等，且|c|＝1，则c＝________.x2＋2＝解析：设c＝(x，y)，由题意得：y1,得＝bgcagcx=4,x=-45,y=3y=-3554343答案：(5，－5)或(－5，5)16．已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、Nuuuuruuuruuuruuur11两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则＋＝________.xyuuur1uuuruuur11uuuur1uuur1解析：AG＝3(AB＋AC)＝3(xAM＋yAC)，∵M、N、G三点共线，∴3x111＋3y＝1，即x＋y＝3.答案：317.如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P在斜uuuruuur轴方向同样的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)．若点P知足|OP|＝1，则点P在斜坐标系xOy中的轨迹方程是________．uuur解析：由OP＝xe1＋ye2第5页共8页uuur22122又|OP|＝1，∴x＋y＋2xy×2＝1，即x＋y＋xy＝1.答案：x2＋y2＋xy＝1三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．uuuruuuruuuruuuruuur18．(10分)在△ABC中，AB·AC＝|AB－AC|＝2，求|AB|2＋|AC|2.解：由题意可知uuuruuuruuurABgAC2uuur2uuur2＝8.2uuuruuuruuur得|AB|＋|AC|AB2ABgACAC4uuuruuuruuuruuuruuur19．(12分)如图|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝3，∠AOB＝60°，OB⊥OC.uuuruuuruuur设OC＝xOA＋yOB，求x、y的值．uuuruuuruuur解：∵OC＝xOA＋yOBuuur2uuuruuuruuuruuur①∴OB·OC＝xOA·OB＋yOBuuur2uuuruuuruuuruuurOC＝xOA·OC＋yOB·OC②将①②联立得12x＋y＝033×(－2)x＝3得x＝－2,y＝1π20．(12分)已知a，b知足|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角为3，求2a＋3b与a－b的夹角的余弦值．13解：∵a·b＝|a||b|cos<a，b>＝3×1×2＝2又(2a＋3b)2＝4a2＋9b2＋12a·b＝36＋9＋18＝63，∴|2a＋3b|＝37.同理可得|a－b|＝7(2a＋3b)·(a－b)＝2a2＋a·b－3b233＝18＋2－3＝2第6页共8页＋·－333b)211(2a(ab)＝∴cos〈(2a＋3b)，(a－b)〉＝a－b|＝.|2a＋3b||37·71421．(12分)(2009·上海)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)若m∥n，求证△ABC为等腰三角形；π若m⊥p，边长c＝2，∠C＝3，求△ABC的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB.由正弦定理得a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．∵m⊥p，∴m·p＝0.即a(b－2)＋b(a－2)＝0∴a＋b＝ab由余弦定理得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4或ab＝－1(舍)11π∴S△ABC＝2absinC＝2×4×sin3＝3.uuuruuuruuur22．(12分)已知OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．若点A、B、C不可以组成三角形，务实数m知足的条件；若△ABC为直角三角形，务实数m的值．解：(1)uuuruuur∵OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)uuurOC＝(5－m，－3－m)．若A、B、C三点不可以组成三角形，则这三点共线，uuur∵AB＝(3,1)uuur1AC＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)＝2－m，得m＝2∵△ABC为直角三角形．uuuruuur7若∠A＝90°，则AB·AC＝0，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，得m＝4.uuuruuuruuur若∠B＝90°，则AB·BC＝0，又BC＝(－1－m，－m)33(－1－m)＋(－m)＝0得m＝－4.uuuruuur若∠C＝90°，则BC⊥AC.1±5∴(2－m)·(－1－m)＋(1－m)·(－m)＝0，得m＝2第7页共8页731±5综上得m＝4或m＝－4或m＝223．(12分)已知a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k、t为正实数，x＝a＋(t2＋11)b，y＝－ka＋tb若x⊥y，求k的最大值；能否存在k、t，使x∥y？若存在，求出k的取值范围，若不存在，说明原因．解：x＝a＋(t2＋1)b＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)(－2t2－1，t2＋3)1111y＝－ka＋tb＝－k(1,2)＋t(－2,1)12