2022年新高考数学复习配套练习切线方程（提升）（解析版）

4.1切线方程(提升)

一、单选题

1.(2021•全国高三)已知曲线〃x)=，在点P(0J(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(or)的一条切线，

则。的值为()

3

A.-B.-C./D.—

323

【答案】C

【解析】•."(司=炉，.•・r(x)=e、，/(o)=i,.-.r(o)=i,

.,./(X)在点-0,/(0))处的切线方程为：y=x+l;

设y=x+l与g(x)相切于点(如历(叫))，则g'(xo)=，=l,解得：x0=l,

X()

又加3。!1=1,.•.Ina—1=1,解得：a=e2.

%—0

故选：C.

2.(2021•全国高三其他模拟(文))己知曲线/(x)=e‘在点P(1J⑴)处的切线也是曲线g(x)=alnx的

一条切线，则。=()

A.-B.-C.eD.—

323

【答案】C

【解析】/(x)=e*，/(l)=e,所以切点(l,e).

f\x)=ex,k=/,(l)=e,切线y-e=e(x-l),即y="

设g(x)=alnx的切点为(毛,%),

g'(x)=q,k=g'(x0)=~=e,所以

xxoe

将y=?代入切线y="得：%=a，g(x)的切点为(/，a，

将代入g(x)=alnx得：a\n-=a,解得a=e2.

故选：C

3.(2021•福建省福州第一中学高三其他模拟)过加(2,—2〃)引抛物线》2=2刀(〃>0)的切线，切点分

别为48.若的斜率等于2,则。=()

11

A.—B.—C.1D.2

42

【答案】C

【解析】抛物线Y=2〃y(〃>0),即y=，-x2,y'=，x,则由切线斜率左=y'=，x,

2PpP

1,1

设切点4%,凹),3(人,%)，则%4=Z-XfkMB~~X1，又xj=2〃xM=2〃必，

PP

%），即y=4x

所以切线方程为y—X=--x，

pP

1

同理切线MB方程为y=—/x-%，

p

1c2c

_2P=-xi-2-yly=—玉+2p

p

两切线均过点M(2,—2〃)，故«；，即V2,所以点4(石,凹),3(马,必)均

-2P=­/々一%y2=-x2+lp

P-P

22

满足方程y=/x+2p,即A(x，x),B(%,y2)均在直线y=5x+2p上，即直线4?的方程为

22

>=-x+2〃，所以斜率为一=2,故〃=1.故选：C.

PP

4.(2021•辽宁沈阳市)函数〃x)=ae'与g(x)=f-1的图象上存在关于x轴的对称点，则实数。的取

值范围为()(e为自然对数的底)

A.a<GB.a<1C.a<\D.a>\

【答案】C

【解析】因为g(x)=-x—1关于X轴对称的函数为力(x)=x+l,又函数f(x)=ae，与g(x)=-x—l的图象

上存在关于x轴的对称点，所以/'(x)=ae*与"(%)=%+1的图象有交点，即方程ae*=x+l有解，。=0时

符合题意;

a。0时转化为e*=工(x+1)有解，即y=靖与y=L(x+1)的图象有交点，y='(x+1)是过定点(一1,0)

aaa

的直线，其斜率为5,若a<°'则函数"，与y=：a+l)的图象必有交点，满足题意；若设y=F,

y='(无+1)相切时，切点的坐标为(加,e"'),贝卜”+1J解得。=1,切线斜率为1=1,由图可知,

ae'n=-a

a

当’21,即0<aWl时，y=e'与y='(x+l)的图象有交点，此时，/(>)=。，与〃(尤)=%+1的图象

aa

有交点，函数f(x)=aex勺8(%)=-％-1的图象上存在关于工轴的对称点,

综上可得，实数。的取值范围为aWl.

5.(2021•重庆高三三模)已知曲线G:/(x)=e*+a和曲线G:g(x)=ln(x+8)+a2(a,8GR),若存

在斜率为1的直线与G，。2同时相切，则6的取值范围是()

A.[0,+^0)C.(―℃,1]D.[-8q

【答案】D

【解析】f\x\=e,g'(x)=」，设斜率为1的切线在G，G上的切点横坐标分别为王，龙，，

x+b

1।

由题知x%)=0,毛=1一。，

两点处的切线方程分别为y—(1+。)=工和y-a2=%一(1一匕)，

1\299

|

1----

心。+1=。2-1+8，^b-l+a—a--2744

故选：D.

6.(2021•全国高考真题)若过点(。力)可以作曲线y=e'的两条切线，则()

A.eb<aB.ea<b

C.0<«<ez,D.0<8<e"

【答案】D

【解析】在曲线y=e、上任取一点尸(才,♦),对函数y="求导得旷=61

所以，曲线y=，在点P处的切线方程为y-d=e'(x—f),即y=dx+(l—f)d,

由题意可知，点(。力)在直线y=dx+(l-。/上，可得以+(1—。d=(a+l—f)d,

令/(r)=(a+l—f)d，则f'(t)=(aT)e：

当£<a时，/'(0>0,此时函数/(。单调递增，

当时，此时函数单调递减，

所以，"我1ax=/(。)=/，

山题意可知，直线>=>与曲线y=/(f)的图象有两个交点，则力</(。1rax=e",

当/<a+l时，/(r)>0,">。+1时，〃。<0,作出函数/(f)的图象如下图所示：

由图可知，尚0<8<e"时，直线>=>与曲线y=/（f）的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y=e》的图象如图所示，根据直观即可判定点（。力）在曲线下方和4轴上方时才可以

作出两条切线.由此可知0<A<e".

故选：D.

7.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈师大附中高三月考（文））曲线y=2cosx+sinx在（肛-2）处的切线方程

为（）

A.x-y+4一2=0B.x-y-7r+2=0

C.x+y+TT-2=0D.x+y-/r+2=0

【答案】D

【解析】y'=-2sinx+cosx

当x=»时，攵=-2sin;r+cos〃=-l

所以在点(乃2)处的切线方程，由点斜式可得y+2=-lx(x—万)

化简可得x+y-万+2=0故选：D

8.(2021•云南曲靖一中高三其他模拟(理))设曲线/(x)=ae*+b和曲线g(x)=cos号+c在它们的

公共点"(0,2)处有相同的切线，则8+c—a的值为()

A.0B.乃

C.-2D.3

【答案】D

【解析/'(x)=ae",^*(x)=-^sin^,：.f'(0)=a,gz(0)=0,:.a-Q,

又M(0,2)为〃x)与g(x)公共点，.•.“0)=6=2,g(O)=l+c=2,解得：c=l，

h-}-c—a=2+l—0=3.

故选：D.

/、fxlnx-3x,x>0z、

9.(2021•全国高三其他模拟)已知函数〃x)=24n，若关于x的方程-日+1=0有

XIX3U

四个不同的实根，则实数女的取值范围是()

A.(-2,2)B.(0,2)C.(-1,0)D.(-1,+00)

【答案】A

【解析】一"+l=0o/(x)=履一1,令尸左尸1,尸31衣示过定点(0,-1),斜率为〃的动直线，

当x>0时/'(x)=lnx-2,当xw(0,e2)时，/'(x)<0；当xw(e2,+oo),/(])>。，

所以在(0,e2)上单调递减，在(e2,+00)上单调递增，

当了«0时，f(x)=(x+2)2—4,故在(-8,—2)上单调递减，在(-2,0)上单调递增，在同一坐标系

内作出函数y=/(x)图象与直线尸七尸1,如图所示,

关于X的方程/(x)-依+1=0有四个不同的实根，等价于函数y=/(x)的图象与直线片51有四个不同

的交点，

当％>0时，/(x)=xlnx-3x的图象在点(%,f(x0))处切线斜率为In/一2,该切线过点(0,-1)时，

/满足/(“°)+1=此/―2,解得为=1,所以/(x)=xlnx—3x的图象过点(0,-1)的切线斜-2,

xo

当尤<0时，/'(x)=2x+4,/(幻=/+4》的图象在点“，产+4r)处的切线斜率为2f+4,该切线过点

f-4-4/4-1

(0,-1)一］=2r+4,因为£<0,解得/=—1,

t

所以/(%)=/+4彳的图象过点(0,-1)的切线斜率为2,

由函数图象知，当动直线尸51在直线y=2x-1与y=-21-1所夹不含y轴的对顶角区域内转动(不含

边界直线)时，

函数丁=/(%)的图象与直线产31有四个不同的交点，此时上的取值范围是(-2,2).

故选：A

10.(2021•全国高三专题练习(理))若经过点尸(2,8)作曲线y=Y的切线，则切线方程为()

A.12x—y-16=0B.3x—y+2=0

C.12%—y+16=0或3x-y-2=0D.12x-y-16=0或3x-y+2=0

【答案】D

【解析】①易知产点在曲线y=V上，当/点为切点时，y'=3x2,k=12,\2x-y-16=0.

②当P点不是切点时，设切点为A(%,y0),由定义可求得切线的斜率为k=3%.

•.3在曲线上，，%=x；，二勺二^=3片，，/一3%+4=0,

%-2

二(X。+l)(x。—2)=0,解得尤o=-1或%=2(舍去)，；.%=-1,A=3,

此时切线方程为尸1=3(户1),即3x-y+2=0.

故经过点尸的曲线的切线有两条，方程为12x-y—16=0或3%->+2=0.故选：D

11.(2021•峨山彝族自治县第一中学)已知函数/(x)=xlnx,^(x)=x2+ax(tzeR),若经过点A(l,0)

存在一条直线/与/(X)图象和g(x)图象都相切，则。=()

A.0B.-1C.3D.-1或3

【答案】D

【解析】因为/(x)=xlnx,所以析(x)=l+lnx,则/'⑴=l+lnl=l,所以％=1

所以函数/(x)在A(l,0)处的切线方程为y=x-1,

由<,得f+(a-l)x+l=0,

y=x+ax

由△=(a—1)-—4=0,解得。=3或a=—1,故选：D

Inx,x>1

12.(2021•天津高三一模)已知定义在7?上的函数/(%)=<।2I,,若函数％(x)=/(x)+办恰有

\x~-x\,x<i

2个零点，则实数a的取值范围为()

A.1一°0,一■-J<J{0}(l,+oo)B.[-1,一,[①{。}。(1,+8)

C.1,—)u{0}u]一,+8)I).(―00,—1)U{0}u卜，1]

【答案】B

【解析】如图，数形结合，观察直线丁=一⑪与曲线y=/(x)的位置关系.

当xG(-00,0],/(x)=x2-x,f'(x)=2x-l,/,(0)=-1,

故在(0,0)处的切线方程为M=-X.

当xe[0,l],/(x)=-x2+x,同理可得在(0,0)处的切线方程为％=X.

1

当xG(1,+oo),/(x)=Inx,f\x)

X

设切点为«[nf),其中，>1,则过该点的切线方程为y-lnt=1(xT),

t

代入(0,0)，得f=e,故过(e,l)的切线方程为为=,x.

e

可得当-ae(-8,T)U{0}D匕,1J时,有两个交点，即函数y=A(x)恰有两个零点.

此时aG-1,u{0}u(l,oo)

故选：B

二、多选题

Y

13.(2021•辽宁高三)已知过点/0)作曲线。：丁二丁的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是

e

()

A.-2B.4C.0D.6

【答案】AD

【解析】设切点为(七,2],则y'|=上4,所以切线方程为：y—2=上#(x—/),切线过点力

(a,0),代入得：一意=三守'(。一为)，即方程君一“)+。=。有两个解，则有△=/一4。>0=>〃>4

或avO.故选：AD.

14.(2021•山东济南市•高三一模)已知函数/。)=三一◎+1的图象在％=2处切线的斜率为9,则下

列说法正确的是()

A.a=3B.〃x)在x=—l处取得极大值

C.当2,1]时，/(X)G(-1,3]D./(x)的图象关于点(0,1)中心对称

【答案】ABD

【解析】A：f\x)=3x2-a,由题意/'(2)=12-a=9,得”=3,」E确；

B：/'(x)=3(x-l)(x+l),由用》)=。得：x=-l或1，易知在(f,T),(l,+oo)上/彳x)>0,/(x)

为增函数，(-1,1)l./^x)<0,7(x)为减函数，所以/(x)在x=—1处取得极大值，正确：

C：由B知：/(-2)=-1,/(-1)=3,/(1)=-1,故在(一2』上的值域为[-1,3],错误：

D：令g(x)=d—x且为奇函数，则〃x)=g(x)+l,而g(x)图象关于(0,0)中心对称，所以/(x)关于

(0,1)中心对称，正确；故选：ABD.

15.(2021•全国高三专题练习)已知函数"x)=x-cosx,xeR,则下列说法正确的有()

A.是奇函数

B.是周期函数

C.曲线在点(万,/(万))处的切线方程为x+y=0

D.在区间上，单调递增

【答案】AC

【解析】A：/(—x)=-x<os(-x)=-xcosx=-/(x),又函数的定义域是R,所以函数/(X)是奇函数，

所以选项A正确；

B：不存在非零常数T,使得/'(x+T)=/(x),故f(x)不是周期函数，所以选项B错误；

C：f'(x)=cosx+x(-sinx)=cosx-xsinx,=/(»=-%,故f(x)在点(乃，/(1))处的切线方

程为：y+乃=-。-万)，即x+y=0,所以选项C正确；

D：/'(x)=cosx-xsinx,xe(—,万)时，一l<cosx<0,xsinx>0,故f'(x)<0,故/(x)在(乙，万)单

22

调递减，所以选项D错误.

故选：AC

16.(2021•江苏高三专题练习)若直线y=gx+b是函数/0)图像的一条切线，则函数“幻可以是()

A./(x)=—B.f(x)-x4C./(x)=sinxD./(x)=ex

x

【答案】BCD

【解析】直线y=+8的斜率为&=g,

由了(幻=’的导数为/(幻二一二，即切线的斜率小于0,故A不正确；

XX

由/(x)=x4的导数为/(%)=4*3,而4d=g,解得尤=(,故B正确；

由/(x)=sinx的导数为f(x)=cosx,而cosx=1■有解，故C正确；

由/(©="的导数为f(x)=e\而/=；，解得x=—ln2,故D正确，

故选：BCD

17.(2021•河北高三其他模拟)若直线/与曲线C满足下列两个条件：①直线/在点？(%,%)处与曲线C

相切；②曲线。在点P附近位于直线/的两侧，则称直线/在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是

()

A.直线/：y=0在点。((),0)处“切过”曲线C:y=/

B.直线/：y=x-l在点尸(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx

C.直线/：y=x在点P(O,O)处“切过”曲线C：y=sinx

D.直线/：y=x在点P(O,O)处“切过”曲线C:y=tanx

【答案】ACD

【解析】A项，因为y'=3/,当》=0时，y'=O,

所以/：y=0是曲线C:y=d在点P(O,O)处的切线.

当x<0时，y<0；当x>0时，y>0,

所以曲线C在点P附近位于直线/的两侧,结论正确；

B项，y'=L当x=l时，y'=l,在尸(1,0)处的切线为/：y=x-L

X

1x—1

令〃(x)=x-1-Inx,则h'(x)-1——==---(%>0),

XX

当%>1时，川(尤)>0；当0<%<1时，/")<0,

所以〃(x)min=%(1)=0.故x-L.lnx,

即当x〉0时，曲线。全部位于直线/的下侧(除切点外)，结论错误；

C项，y'=cosx,当％=0时，y'=l,在P(0,0)处的切线为/：y=x,

由正弦函数图像可知，曲线C在点尸附近位于直线/的两侧,结论正确；

【)项，当x=0时，y'=l,在尸(0,0)处的切线为/：y=x,

cosX

由正切函数图像可知，曲线C在点P附近位于直线/的两侧，结论正确.

故选：ACD.

/一】X<\

18.(2021•全国高三专题练习)函数।若函数g(x)=/(x)-x+a只有一个零点,

In(X-1),x>1,

则。可能取的值有()

A.2B.-2C.0D.1

【答案】ABC

【解析】Vg(x)=/(x)-x+a只有一个零点，

函数y-7(%)与函数y=x-a有一个交点，

(x~lx<1

作函数函数/(x)=(e/'与函数y=x-a的图象如下，

In(X-1),x>1,

结合图象可知，当时；函数y=/(x)与函数y=x-a有一个交点；

当a>0时，y=ln(x-l),可得>'=」一,令」_=i可得尤=2,所以函数在x=2时，直线与

x-lX-1

y=ln(x-l)相切，可得。=2.

综合得：或a=2.

故选：ABC.

19.(2021•沙坪坝区•重庆一中高三其他模拟)设函数/(x)=e2*_网'+6x,若曲线y=/(x)在点

P(用,/(/))处的切线与该曲线恰有一个公共点P，则选项中满足条件的占有()

A.-In2B.In2C.In4D.In5

【答案】BCD

【解析】A选项：切点P，ln2,-$61n2),切线的斜率为(—In2)=2产2-/a+6=g

5715

切线方程为：*=-x--ln2--

224

设g(x)=/(x)-X,其中g(-ln2)=0

7135715

又g(o)=—ln2——<0，g(l)=e2-8e+6——+-ln2+—>0

')24V'224

故g(x)在(0,1)内必有一个零点，则/(x)与切线有两个交点，故A错；

B选项：切点尸(In2,61n2—12),切线的斜率为/'(In2)=2^n2一8*2+6=一2

切线方程为：必=-2x+61n2—12

设g(x)=/(x)-%>其中g(l»2)=0

g，(x)=2e2v-8/+6+2,g〃(x)=4e'(eA-2)

g'(x)在(-8,ln2)单调减，在(ln2,+8)单调增，

所以g'(x)Ng'(ln2)=0恒成立,

则g(x)单调增只有一个零点，则f(x)与切线有1交点，故B正确；

C选项:切点P(ln4,61n4-16),切线的斜率为/'(ln4)二年.一加3+6=6

切线方程为：为=6%—16

设g(x)=/(x)-为,其中g(ln4)=0

=2e2x-8ex=2ex(ex-4)又g〈ln4)=0,g(x)在(/ln4)单调减,在(ln4,+»)单调增,所

以g(x)Ng(ln4)=0恒成立，则g(x)只有一个零点，则f(x)与切线有1交点,故C确;

D选项:切点P(ln5,61n5-15),切线的斜率为(ln5)=2e2ln5-8eln5+6=16

切线方程为：”=16x75-101115

设g(x)=/(x)一为,其中g(ln5)=0

g'(x)=2Z'—8e'+6—16,

g'(ln5)=0,g'(x)在(-00,In5)小于0,在(ln5,+co)大于0,

所以g(x)之g(ln5)=0恒成立，则g(x)只有一个零点，则/(X)与切线有1交点，故D正确.

故选：BCD

Inv

20.(2021•全国高三专题练习)已知/(尤)=——，下列说法正确的是()

X

A.“X)在尤=1处的切线方程为y=x-lB.单调递增区间为(—8,e)

C.“X)的极大值为』D.方程〃力=一1有两个不同的解

e

【答案】AC

【解析】因为/(X)=T，所以函数的定义域为(0,+8)

所以尸(力=上詈,r(1)=1,“1)=0,

/(X)的图象在点(1,0)处的切线方程为y-o=/'(l)(x-l),

即>==,故/正确；

在(o,e)上,r(x)>0,“X)单调递增，

在(e,+oo)上，r(x)<0,/(x)单调递减，故6错误，

“X)的极大值也是最大值为/(e)=-故c正确；

ee

Iny

方程〃力=二1=一1的解的个数，即为lnx=r的解的个数，

即为函数y=In尤与>=一％图象交点的个数，

作出函数丁=111彳与丁=一%图象如图所示：

由图象可知方程/1("=一1只有一个解，故〃错误.故选：AC.

三、填空题

21.(2021•湖北襄阳市嚷阳四中高三其他模拟)设点。在曲线y=e2-2+i上，点。在曲线y=1+］n4TT

上，贝H图的最小值为一

［答案］)(1+由2)

2

【解析】令/(x)=e2“+i)、g(x)=lnJ771分别向上平移一个单位可得y=e2'+2+i、y=i+in4TT,

而/(x)与g(x)关于y=x对称，

,当两条曲线在入。处的切线均与y=x+l平行时，P、。关于y=x+l对称，有最小，对应曲线平移

到/a)、g(x)后，p、。关于y=x对称即可,

・••令/=x+l>0,则/(元)=m。)=e",

，/、-2rIn2/ln2、1,In21.

m(z)=2e=1有/=-----，则nlm(-------)=—,即(IP(-----,—),

2222

,1ln2

P到)'=X的距离d=I2+2I_技ln2+l),

"V2-4

...|PQ|=2d=血(1；2+1)

夜(In2+1)

故答案为:

2

22.(2021•全国高三其他模拟(文))曲线〃x)=x+，+》在点(aj(a))处的切线经过坐标原点，则原=

X

【答案】-2

【解析】由〃x)=x+g+。，则/(力=1一3,

所以1----2,

所以/'(.)=1—4=1b

-------------------n—Y—

a-0aa~a

化简整理可得ah=-2.

故答案为：一2

23.(2021•全国高三其他模拟(文))已知函数〃到=而'-2x+"(a/€/?)在x=l处的切线方程为

(e-2)x-y+l=0,则r(ln2)=—.

【答案】0

【解析】由f(x)-ae'-2x+b,得f(x)-aex-2,

.•./'(l)=ae-2,/(l)=ae-2+8,

又切线方程为：(e-2)x-y+l=0,即y=(e-2)x+l,

ae-2=e-2

故〈c,c」

ae-2+b-e-2+i

解得a=b-\,

故〃x)=e*-2x+l,r(x)=e*—2,

即/,(ln2)=eln2-2=0,

故答案为：0.

24.(2021•新安县第一高级中学高三其他模拟(文))已知函数/(x)=x(x+2)-mlnx的图象在点

(1/1»

-处的切线与直线x+2y=()平行，则加的值为___________.

[212〃

7

【答案】一

4

【解析】/(x)=x(x+2)-mlnx的导数为1(x)=2x+2—T，

可得在点(；，/(g))处的切线的斜率为/'(；)=3—2加，

又切线与直线x+2y=0平行，

可得3-2机=一，，

2

7

解得m=一,

4

7

故故答案为：一.

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25.(2021•黑龙江佳木斯市•佳木斯一中高三三模(理))若两曲线y=/+l与夕=911户1存在公切线，则

正实数a的取值范围是.

【答案】(0,2目

【解析】设公切线与曲线尸^+1和尸alnx+1的交点分别为(乂，x『+l),(如alnx2+l)f其中版>0,

对于y=V+Ly1=2x,所以与曲线尸寸+1相切的切线方程为：y-(x『+l)=2*(x-汨)，BPy=2x\X

-%i2+l,

对于y=aln曰1,y,——,

x

aa

所以与曲线尸alrkv+l相切的切线方程为p-(alnxz+l)=—(x-屈)，即尸一x-cj+l+^lnx2,

x2x2

\_a2

2%=—a2

所以〈x?，即有—-7=aXnxz-a,

i2ii4x)

1-Xj=1+alnx2-a

由a>0,可得a=4x-Axlnx,

i已/'(x)=4/-4/1n%(x>0),f(x)=8x-\x-8xlnx=4x(1-2In%),

当xV&时，f'(x)>0,即f(x)在(0