2022年北京市中考数学试卷（解析版）

2022年北京市中考数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第L8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）下面几何体中，是圆锥的为（）

2.（2分）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83

亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨.将262883000000用科学记数法表示应为

（）

A.26.2883XIO10B.2.62883X1011

C.2.62883X1012D.0.262883X1012

3.（2分）如图，利用工具测量角，则/I的大小为（）

4.（2分）实数m匕在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

ab

।।।।।।A

-3-2-10123

A.a<-2B.h<\C.a>bD.-a>h

5.（2分）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别.从中随

机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二

次摸到绿球的概率是（）

A.AB.Ac.AD.3

4324

6.（2分）若关于x的一元二次方程/+x+,”=0有两个相等的实数根，则实数机的值为（）

A.-4B.」C.AD.4

44

7.（2分）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）

8.（2分）下面的三个问题中都有两个变量：

①汽车从4地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程），与行驶时间x；

②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；

③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若J彘在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.（2分）分解因式：xy2-x=.

11.（2分）方程/_=工的解为.

x+5x

12.（2分）在平面直角坐标系X。），中，若点A（2,yi）,B（5,”）在反比例函数y=K（k

x

>0）的图象上，贝!!yi______殍（填”或

13.（2分）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数

据如下:

16.（2分）甲工厂将生产的1号、1【号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A,

B,C,D,E,每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.

（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案

（写出要装运包裹的编号）；

（2）如果装运的i号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的n号产品最多，写

出满足条件的装运方案（写出要装运包裹的编号）.

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题,

每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演

算步骤或证明过程.

17.（5分）计算：（1T-1）°+4sin45°-我+|-3|.

2+x>7-4x,

18.（5分）解不等式组：14+x

19.（5分）已知/+2r-2=0,求代数式x（x+2）+（x+1）?的值.

20.（5分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成

证明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

已知：如图，△ABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°.

方法一方法二

证明：如图，过点A作。石〃8C证明：如图，过点C作CE）〃AB.

A

21.（6分）如图，在。ABC。中，AC,8。交于点。，点E,尸在AC上，AE=CF.

（1）求证：四边形EBFZ）是平行四边形；

（2）若NB4C=ND4C,求证：四边形EBFD是菱形.

22.（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数>=自+〃（kWO）的图象过点（4,3）,（-2,0）,

且与），轴交于点4

（1）求该函数的解析式及点A的坐标；

（2）当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+〃的值大于函数（无#0）的值,

直接写出〃的取值范围.

23.（6分）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，

对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分

信息.

10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:

同学甲乙丙

平均数8.68.6m

根据以上信息，回答下列问题:

（1）求表中m的值；

（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该

同学演唱的评价越一致.据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对的评价更一

致（填“甲”或"乙”）；

（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平

均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，

表现最优秀的是（填“甲”“乙”或“丙”）.

24.（6分）如图，AB是。。的直径，8是00的一条弦，AB1.CD,连接AC,OD.

（1）求证：NBOD=2NA；

（2）连接08,过点C作CELOB,交08的延长线于点E,延长。0,交AC于点F.若

产为AC的中点，求证：直线CE为。。的切线.

25.（5分）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台.运

动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，

从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：，"）与水平距离x（单位：m）近

似满足函数关系y=a（x-h）2+k（«<0）.

某运动员进行了两次训练.

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度），的几组数据如下:

水平距离02581114

xlm

竖直高度20.0021.4022.7523.2022.7521.40

y/m

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a（x

-/?）2+k（a<0）；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04

（x-9）2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为力，第二次训练的着陆

点的水平距离为液，则4d2（填”或

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1,m）,（3,〃）在抛物线yuaf+bx+c（a>0）

上，设抛物线的对称轴为x=f.

（1）当c=2,〃?=〃时，求抛物线与y轴交点的坐标及f的值；

（2）点（对，机）（x（）Wl）在抛物线上.若求，的取值范围及x（）的取值范围.

27.（7分）在△ABC中，ZACB=90°,。为△ABC内一点，连接BQ,DC,延长OC到

点E,使得CE=DC.

（1）如图1,延长BC到点F,使得CF=8C,连接AF,EF.若求证：BDA.

AF；

（2）连接AE,交BQ的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2.若

用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.

28.（7分）在平面直角坐标系xOy中，己知点M（a,b）,N.

对于点P给出如下定义：将点尸向右（a20）或向左（«<0）平移⑷个单位长度，再向

上（后0）或向下（匕<0）平移例个单位长度，得到点P,点P关于点N的对称点

为Q,称点。为点P的“对应点”.

(1)如图，点M(1,1),点N在线段0M的延长线上.若点P(-2,0),点。为点尸

的“对应点”.

①在图中画出点Q；

②连接PQ,交线段ON于点T,求证：NT=L()M；

2

(2)。。的半径为1,M是。O上一点，点N在线段OM上，且ON=f(工若

2

P为外一点，点0为点尸的“对应点”，连接P0.当点M在。。上运动时，直接写

2022年北京市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）下面几何体中，是圆锥的为（）

【分析】简单几何体的识别.

【解答】解：A是圆柱；

8是圆锥；

C是三棱锥，也叫四面体；

。是球体，简称球；

故选：B.

【点评】本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键.

2.（2分）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83

亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨.将262883000000用科学记数法表示应为

（）

A.26.2883X1O10B.2.62883X1011

C.2.62883X1012D.0.262883X1012

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为aX10",其中lW|a|<10,〃为整数,

且"比原来的整数位数少1,据此判断即可.

【解答】解：262883000000=2.62883X1011.

故选：B.

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为aXIO”,其中1W⑷

<10,确定。与"的值是解题的关键.

3.（2分）如图，利用工具测量角，则/I的大小为（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】根据对顶角的性质解答即可.

【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：Nl=30°,

故选：A.

【点评】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题关键.

4.（2分）实数m匕在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

ab

।।।।।।A

-3-2-10123

A.a<-2B.b<\C.a>bD.-a>b

【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解.

【解答】解：根据图形可以得到：

-2<a<0<l<Z><2；

所以：A、B、C都是错误的；

故选：D.

【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键.

5.（2分）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别.从中随

机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二

次摸到绿球的概率是（）

A.AB.Ac.AD.3

4324

【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况

数，即可确定出所求的概率.

【解答】解：列表如下：

红绿

红（红，红）（绿，红）

绿（红，绿）（绿，绿）

所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，

所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为』，

4

故选：A.

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解

题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

6.（2分）若关于x的一元二次方程/+x+〃?=0有两个相等的实数根,则实数m的值为（）

A.-4B.UC.AD.4

44

【分析】根据根的判别式的意义得到正-4机=0,然后解一次方程即可.

【解答】解：根据题意得△=»-4泥=0,

解得,n=l.

4

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程M+bx+cnO（。#0）的根与A=b2-4ac

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的

实数根；当A<0时，方程无实数根.

7.（2分）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）

A.1B.2C.3D.5

【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对

称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题.

【解答】解：如图所示，该图形有5条对称轴，

【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数和位置的灵活

应用.

8.（2分）下面的三个问题中都有两个变量：

①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；

②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；

③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长工

【分析】（1）根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；

（2）根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可；

（3）根据矩形的面积公式判断即可.

【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程＞•随行驶时间x的增加

而减小，故①符合题意；

将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减

小，故②符合题意；

用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符

合题意；

所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②.

故选：A.

【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理

解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决.

二、填空题(共16分，每题2分)

9.(2分)若J氤在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是法8.

【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：x-820,据此求出实数x的取值范围即可.

【解答】解：•••>/彘在实数范围内有意义，

.♦.X-820,

解得：x28.

故答案为：x>8.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式

中的被开方数是非负数.

10.(2分)分解因式：w2-x(y-1)(y+1).

【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

【解答】解：孙2-x,

=x(y2-1),

=x(y-1)(y+1).

故答案为：x(y-1)(y+1).

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提

取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

11.(2分)方程，_=工的解为x=5.

x+5x

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x=x+5,

解得：x—5,

检验：把x=5代入得：x(x+5)W0,

分式方程的解为x=5.

故答案为：x=5.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

12.（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2,勿），B（5,”）在反比例函数y=K（k

x

>0）的图象上，则VI>V2（填”或

【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内

点的坐标特征及函数的增减性解答.

【解答】解：、>（）,

...反比例函数），=区（k>0）的图象在一、三象限，

X

V5>2>0,

.,.点A（2,>1］）,B（5,）2）在第一象限，y随x的增大而减小，

故答案为：>.

【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点

的坐标特征，比较简单.

13.（2分）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数

据如下：

鞋号353637383940414243

销售量/2455126321

双

根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为120双.

（分析］应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案.

【解答】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多，

则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为丝X400=120（双）・

40

故答案为：120.

【点评】本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是

解决本题的关键.

14.（2分）如图，在△ABC中，A。平分NBAC,DELAB.若AC=2,DE=\,则

=1.

A

【分析】过D点作DH1AC于H,如图，根据角平分线的性质得到DE=DH=1,然后

根据三角形面积公式计算.

【解答】解：过D点作于从如图，

平分/BAC,DELAB,DHLAC,

:.DE=DH=l,

SzsAC£>=2X2X1=1.

2

故答案为：1.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

15.（2分）如图，在矩形A8C。中，若AB=3,AC=5,更=工，则AE的长为1

FC4

【分析】由矩形的性质得出NABC=90°,AD//BC,利用勾股定理求出BC=4,利用相

似三角形的性质，即可求出AE的长.

【解答】解：•.•四边形A8C。是矩形,

，NABC=90°,AD//BC,

,：AB=3,AC=5,

BC=JAC?-AB2=4-§2=4,

"."AD//BC,

：.ZEAF=ZBCF,ZAEF=ZCBF,

:.△EAFsgCF,

••AF=1

.而.

•••A-E二--A-F=--1,

BCFC4

••.A-E=:--1，

44

；.AE=1,

故答案为：I.

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定

理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

16.（2分）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A,

B,C,D,E,每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：

包裹编号I号产品重量/II号产品重量/包裹的重量/

吨吨吨

A516

B325

C235

D437

E358

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.

（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案

A3C（或A8E或AD或或8cP）（写出要装运包裹的编号）；

（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写

出满足条件的装运方案ACE（写出要装运包裹的编号）.

【分析】（1）从A,B,C,D,E中选出2个或3个，同时满足/号产品不少于9吨，且

不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；

（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运〃号产品最多的方案即可.

【解答】解：（1）选择ABC时，装运的/号产品重量为：5+3+2=10（吨），总重6+5+5

=16<19.5（吨），符合要求：

选择ABE时,装运的1号产品重量为：5+3+3=11（吨），总重6+5+8=19V19.5（吨）,

符合要求；

选择A。时，装运的1号产品重量为：5+4=9（吨），总重6+7=13<19.5（吨），符合

要求：

选择ACQ时，装运的/号产品重量为：5+2+4=11（吨），总重6+5+7=18<19.5（吨），

符合要求；

选择BC£>时，装运的1号产品重量为：3+2+4=9（吨），总重5+5+7=17<19.5（吨），

符合要求；

选择。CE时，装运的/号产品重量为：4+2+3=9（吨），总重7+5+8=20>19.5（吨）,

不符合要求；

选择BOE时，装运的/号产品重量为：3+4+3=10（吨），总重5+7+8=20>19.5（吨），

不符合要求；

选择ACE时，装运的/号产品重量为5+3+3=11（吨），总重6+5+8=19（吨），符合要

求，

综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或或ACD或BCD或ACE.

故答案为：ABC（或ABE或40或4CO或BCD或ACE）；

（2）选择ABC时，装运的/号产品重量为：1+2+3=6（吨）；

选择ABE时，装运的/号产品重量为：1+2+5=8（吨）；

选择4。时，装运的〃号产品重量为：1+3=4（吨）；

选择ACO时，装运的〃号产品重量为：1+3+3=7（吨）；

选择时，装运的〃号产品重量为：2+3+3=8（吨）；

选择ACE时，I产品重量：5+2+3=10且9W10W11；II产品重量：1+3+5=9,

故答案为：ACE.

【点评】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条

件是解题的关键.

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题,

每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演

算步骤或证明过程.

0

17.（5分）计算:（K-1）+4sin45°-Vs+I-3|.

【分析】直接利用零指数塞的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值

的性质分别化简，进而合并得出答案.

【解答】解：原式=1+4X近-2亚+3

2

=1+2&-2&+3

=4.

【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.

‘2+x>7-4x,

18.(5分)解不等式组：,4+x-

x<-2"'

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.

【解答】解：由2+x>7-4x,得：x>],

由x〈生三得：x<4,

2

则不等式组的解集为l〈xV4.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

19.(5分)已知/+2x-2=0,求代数式无(x+2)+(x+1)之的值.

【分析】先去括号，再合并同类项，然后把7+2%=2代入化简后的式子进行计算即可解

答.

【解答】解：x(x+2)+(x+1)2

=；r+2x+f+2x+l

=2X2+4X+1,

,.,/+2x-2=0,

・，・/+2x=2,

・••当7+2x=2时，原式=2(?+2x)+1

=2X2+1

=4+1

=5.

【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

20.(5分)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成

证明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

已知：如图，ZiABC,求证::ZA+ZB+ZC=180°.

方法一方.法二

证明：如图，过点A作。E〃BC.证明：如图，过点C作CC〃AB.

•・・NB+NACB+NA=180°.

【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.

21.(6分)如图，在。ABCC中，AC,BO交于点。，点E,尸在AC上，AE=CF.

(1)求证：四边形E3FZ)是平行四边形；

(2)若求证：四边形是菱形.

【分析】(1)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明：

(2)根据平行四边形的性质可得QA=OC,然后利用等腰三角形的性质可得。BLEF,

进而可以证明四边形EBFD是菱形.

【解答】证明：(1)在。48C。中，OA=OC,OB=OD,

"：AE=CF.

：.OE=OF,

：.四边形EBFD是平行四边形；

(2):四边形ABC。是平行四边形，

J.AB//DC,

：.ZBAC=ZDCA,

'：ZBAC=ZDAC,

：.ZDCA^ZDAC,

：.DA=DC,

'：OA=OC,

：.DB±EF,

...平行四边形E8FZ)是菱形.

【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

22.(5分)在平面直角坐标系xOy中，函数(ZW0)的图象过点(4,3),(-2,0),

且与y轴交于点A.

(1)求该函数的解析式及点A的坐标；

(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+〃的值大于函数(A#0)的值,

直接写出〃的取值范围.

【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为〉=2+1,然后计算自变量为0时对

2

应的函数值得到A点坐标；

（2）当函数与y轴的交点在点A（含A点）上方时，当无>0时，对于x的每一

个值，函数y=%+，7的值大于函数（%#0）的值.

【解答】解：⑴把（4,3）,（-2,0）分别代入产履+b得，4k+b=3,

\-2k+b=0

fko.

解得，K2,

b=l

，函数解析式为y=-kr+l,

2

当x=0时，y=Ar+l=1,

2

...A点坐标为（0,1）；

（2）当〃21时，当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+"的值大于函数（左

羊0）的值.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式

一般步骤是解决问题的关键.也考查了一次函数的性质.

23.（6分）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，

对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分

信息.

10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

C.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:

同学甲乙丙

平均数8.68.6m

根据以上信息，回答下列问题：

(1)求表中m的值；

(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该

同学演唱的评价越一致.据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致

(填“甲”或"乙”)；

(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平

均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，

表现最优秀的是丙(填“甲”“乙”或“丙”).

【分析】(1)根据平均数的定义即可求解；

(2)计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；

(3)根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论.

【解答】解：(1)m=-Lx(10+10+10+9+9+8+3+9+8+10)=8.6；

10

(2)甲同学的方差$2甲=J_X[2X(7-8.6)2+2X(8-8.6)2+4X(9-8.6)2+2X(10

10

-8.6)2]=1.04,

乙同学的方差$2乙=_LX[4X(7-8.6)2+2X(9-8.6)2+4X(10-8.6)2]=1.84,

10

22

VS.P<Sz,,

评委对甲同学演唱的评价更一致.

故答案为：甲；

(3)甲同学的最后得分为2X(7+8X2+9X4+10)=8.625；

8

乙同学的最后得分为JLX(3X7+9X2+10X3)=8.625；

8

丙同学的最后得分为上X(8X2+9X3+10X3)=9.125,

8

二在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙.

故答案为：丙.

【点评】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是

正确解答的前提.

24.（6分）如图，AB是。。的直径，CD是。0的一条弦，AB_LC£>,连接AC,OD.

（1）求证：ZB0D=2ZA；

（2）连接。8,过点C作CELCB,交。8的延长线于点E,延长。。，交AC于点产.若

尸为AC的中点，求证：直线CE为。。的切线.

【分析】（1）连接AO,首先利用垂径定理得筋=俞，知再利用同弧所

对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；

（2）连接0C,首先由点尸为AC的中点，可得AO=CQ,则/AOF=NCOF,再利用

圆的性质，可说明/CE）尸=/0C凡NCAB=NCDE,从而得出/OCQ+/£>CE=90°,

从而证明结论.

【解答】证明：（1）如图，连接AD

是00的直径，AB1CD,

:，BC=BD.

：.ZCAB=ZBAD,

•：NB0D=2/BAD,

：.ZB0D=2ZA；

(2)如图，连接OC,

•・•/为AC的中点,

：.DF±AC,

:・AD=CD,

：.NADF=NCDF,

VBC=BD.

：.ZCAB=ZDAB,

9

：0A=0Df

：.ZOAD=ZODAf

:,NCDF=NCAB,

•：OC=OD,

：.ZCDF=ZOCD,

：・/OCD=/CAB,

VBC=BC«

：.ZCAB=ZCDE,

：.ZCDE=ZOCDf

VZE=90°,

・,.NCDE+NDCE=90°,

：.ZOCD+ZDCE=90°,

即OC_LCE

TOC为半径，

・・・直线CE为。。的切线.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆

周角定理是解题的关键.

25.（5分）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台.运

动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，

从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：利）与水平距离x（单位：加）近

似满足函数关系y=a（x-/?）2+k（a<0）.

某运动员进行了两次训练.

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度），的几组数据如下:

水平距离02581114

x/m

竖直高度20.0021.4022.7523.2022.7521.40

y!m

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a（x

-h）2+k（a<0）；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04

（x-9）2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为力，第二次训练的着陆

点的水平距离为为，则由<小（填”或

【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出仄%的值，运动员竖直高度

的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出”的值即可得

出函数解析式：

（2）设着陆点的纵坐标为t,分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横

坐标，用，表示出力和心，然后进行比较即可.

【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8,23.20）,

，/?=8,仁23.20,

即该运动员竖直高度的最大值为23.20〃?，

2

根据表格中的数据可知，当x=0时，y=20.00,代入y=a(x-8)+23.20^：

20.00=a(0-8)2+23.20,

解得：a=-0.05,

.•.函数关系式为：-0.05(x-8)2+23.20；

(2)设着陆点的纵坐标为r,则第一次训练时，r=-0.05(x-8)2+23.20,

解得：8+V20(23.20-t)或x=8-V20(23.20-t)，

...根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离一=8+920(23.20-t)，

第二次训练时，f=-0.04(x-9)2+23.24,

解得：x=9+j25(23.24-t)或x=9-V25(23.24-t).

...根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离"2=9+寸25(23.24-t)，

V20(23.20-f)<25(23.24-f),

•••V20(23.20-t)<425(23.24-t)，

d\<di，

故答案为：<.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐

标为r,用「表示出力和心是解题的关键.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,在抛物线yuaf+bx+c(a>0)

上，设抛物线的对称轴为x=f.

(1)当c=2,机=〃时，求抛物线与y轴交点的坐标及r的值：

(2)点(xo，m)在抛物线上.若初<"Vc,求f的取值范围及xo的取值范围.

【分析】(1)将点(1,机)，N(3,〃)代入抛物线解析式，再根据机=〃得出b=-4a,

再求对称轴即可；

(2)再根据机可确定出对称轴的取值范围，进而可确定出的取值范围.

【解答】解：(1)将点(1,m),N(3,〃)代入抛物线解析式，

.1m=a+b+c

ln=9a+3b+c

m=n,

：.a+b+c^9a+3b+c,整理得，b=-4a,

.•.抛物线的对称轴为直线x=-且=-二空=2；

2a2a

，=2,

,・Z=2,

・•・抛物线与y轴交点的坐标为（0,2）.

（2）〃

:.a+b+c<9a+3b+c<c,

解得-4a<h<-3m

.\3a<-b<4a,

A3a<__b_<4a（即旦</<2.

2a2a2a2

当f=3时，x（）=2；

2

当t=2时,xo=3.

.♦•M）的取值范围2Vx（）V3.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解.

27.（7分）在△ABC中，/ACB=90°,。为△ABC内一点，连接80,DC,延长。C到

点E,使得CE=£»C.

（1）如图1,延长8c到点F,使得C尸=BC,连接A尸，EF.AF1EF,求证：BD±

AF;

（2）连接AE,交8。的延长线于点，，连接CH,依题意补全图2.