高中数学同步练习 直线的方程与两条直线的位置关系

8-1直线的方程与两条直线的位置关系基础巩固强化1.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]本题考查了平面中两条直线平行的充要条件，由题意知：eq\f(a,1)＝eq\f(2,2)≠eq\f(－1,4)，所以a＝1.如果直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋2y－3＝0互相垂直，那么a的值等于()A．3B．－eq\f(1,3)C．－3 D.eq\f(1,3)[答案]C[解析]由两直线垂直可得2a＋3×2＝0，所以a2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0垂直，则m的值为()A．－8B．0C．10 D．2[答案]D[解析]由条件知，eq\f(4－m,m＋2)·(－2)＝－1，∴m＝2.“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]两直线平行的充要条件是eq\f(2,a)＝eq\f(a,2)≠eq\f(－1,－2)，即两直线平行的充要条件是a＝±2.故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．[点评]如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p、q互为充要条件，若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件．3．直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝0[答案]C[解析]由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0，选C.[点评]可由点的对称特征或特值法求解．设所求直线上任一点P(x，y)，P关于x＝1对称的点P1(2－x，y)在直线2x－y＋1＝0上，∴2(2－x)－y＋1＝0，∴2x＋y－5＝0.4．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，当x<0时，f(x)>1，方程y＝ax＋eq\f(1,a)表示的直线是()[答案]C[解析]∵x<0时，ax>1，∴0<a<1.∴直线y＝ax＋eq\f(1,a)的斜率a满足0<a<1，在y轴上的截距eq\f(1,a)>1.故选C.5．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A．－2B．－7C．3 D．1[答案]C[解析]由已知条件可知线段AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)，0))在直线x＋2y－2＝0上，代入直线方程解得m＝3.[点评]还可利用kAB⊥kl求解，或eq\o(AB,\s\up16(→))为l的法向量，则eq\o(AB,\s\up16(→))∥a，a＝(1,2)．6．若函数y＝eq\f(x3,3)－x2＋1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(5π,6) D.eq\f(3π,4)[答案]D[解析]y′＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0<x<2，∴－1≤y′<0，由题意知－1≤tanα<0，∴eq\f(3π,4)≤α<π，故选D.7．已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．[答案]eq\f(1,8)[解析]由题意知直线l1、l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝eq\f(1,2)×2×(4－k)＋eq\f(1,2)×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝eq\f(1,8).8．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．[答案]eq\f(1,2)[解析]直线方程可化为eq\f(x,2)＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，由ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2(b－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)，由于0≤b≤1，故当b＝eq\f(1,2)时，ab取得最大值eq\f(1,2).9．已知a、b为正数，且直线(a＋1)x＋2y－1＝0与直线3x＋(b－2)y＋2＝0互相垂直，则eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)的最小值为________．[答案]25[解析]∵两直线互相垂直，∴3(a＋1)＋2(b－2)＝0，∴3a＋2b＝1，∵a、b>0，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(3,a)＋eq\f(2,b))(3a＋2b)＝13＋eq\f(6b,a)＋eq\f(6a,b)≥13＋2eq\r(\f(6b,a)·\f(6a,b))＝25.等号成立时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6b,a)＝\f(6a,b)，,3a＋2b＝1.))∴a＝b＝eq\f(1,5)，故eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)的最小值为25.10．(2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[解析](1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，∴a＝0，方程为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1>0，,a－2≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＝0，,a－2≤0，))∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.能力拓展提升11.两条直线l1：eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝1和l2：eq\f(x,b)－eq\f(y,a)＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()[答案]A[解析]直线l1在x轴上的截距与直线l2在y轴上的截距互为相反数，直线l1在y轴上的截距与l2在x轴上的截距互为相反数，故选A.[点评]可用斜率关系判断，也可取特值检验．12．(文)(2012·乌鲁木齐地区质检)在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(3π,4)[答案]B[解析]圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是eq\f(π,4).(理)(2012·内蒙包头模拟)曲线y＝x2＋bx＋c在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0，eq\f(π,4)]，则点P到该曲线对称轴距离的取值范围为()A．[0,1] B．[0，eq\f(1,2)]C．[0，eq\f(|b|,2)] D．[0，eq\f(|b－1|,2)][答案]B[解析]y′|x＝x0＝2x0＋b，设切线的倾斜角为α，则0≤tanα≤1，即0≤2x0＋b≤1，∴点P(x0，f(x0))到对称轴x＝－eq\f(b,2)的距离d＝|x0＋eq\f(b,2)|＝eq\f(1,2)|2x0＋b|∈[0，eq\f(1,2)]，故选B.13．已知指数函数y＝2x的图象与y轴交于点A，对数函数y＝lgx的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点M(0，－2)，则|MP|的最小值为________．[答案]eq\f(3\r(2),2)[解析]A(0,1)，B(1,0)，∴直线AB：x＋y－1＝0，又M(0，－2)，当|MP|取最小值时，MP⊥AB，∴|MP|的最小值为M到直线AB的距离d＝eq\f(|0－2－1|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).14．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，－eq\r(3))，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．[答案][0，eq\f(π,2))∪(eq\f(2π,3)，π)[解析]由题意f′(x)＝a(x－1)2－eq\r(3)，∵a>0，∴f′(x)≥－eq\r(3)，因此曲线y＝f(x)上任一点的切线斜率k＝tanα≥－eq\r(3)，∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<eq\f(π,2)或eq\f(2π,3)<α<π.15．△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y＝0.))得顶点A(－1,0)，∴kAB＝1，∵x轴是∠A的平分线，∴kAC＝－1，∴AC：y＝－(x＋1)，又kBC＝－2，∴BC：y－2＝－2(x－1)，∴C(5，－6)．16．(文)过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．[解析]当k不存在时，B(3,0)，C(3,6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为：y＋1＝k(x－3)，令y＝0得B(3＋eq\f(1,k)，0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＋1＝kx－3.))得C点横坐标xc＝eq\f(1＋3k,k－2).若|BC|＝2|AB|则|xB－xC|＝2|xA－xB|，∴|eq\f(1＋3k,k－2)－eq\f(1,k)－3|＝2|eq\f(1,k)|，∴eq\f(1＋3k,k－2)－eq\f(1,k)－3＝eq\f(2,k)或eq\f(1＋3k,k－2)－eq\f(1,k)－3＝－eq\f(2,k)，解得k＝－eq\f(3,2)或k＝eq\f(1,4).∴所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.(理)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10min内只进水、不出水，在随后的30min内既进水又出水，得到容器内水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，若40min后只放水不进水，求y与x的函数关系．[解析]当0≤x≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA＝eq\f(20,10)＝2，∴此时直线方程为y＝2x；当10<x≤40时，直线过点A(10,20)，B(40,30)，此时kAB＝eq\f(30－20,40－10)＝eq\f(1,3)，∴此时的直线方程为y－20＝eq\f(1,3)(x－10)，即y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(50,3)；当x>40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA段时是进水过程，∴v1＝2.在AB段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v1＋v2＝eq\f(1,3)，∴2＋v2＝eq\f(1,3).∴v2＝－eq\f(5,3).∴当x>40时，k＝－eq\f(5,3)，又过点B(40,30)，∴此时的直线方程为y＝－eq\f(5,3)x＋eq\f(290,3).令y＝0得，x＝58，此时到C(58,0)放水完毕．综上所述：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤10，,\f(1,3)x＋\f(50,3)，10<x≤40，,－\f(5,3)x＋\f(290,3)，40<x≤58.))1．曲线y＝k|x|及y＝x＋k(k>0)能围成三角形，则k的取值范围是()A．0<k<1 B．0<k≤1C．k>1 D．k≥1[答案]C[解析]数形结合法．在同一坐标系中作出两函数的图象，可见k≤1时围不成三角形，k>1时能围成三角形．2．已知直线l1、l2的方程分别为x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，其图象如图所示，则有()A．ac<0 B．a<cC．bd<0 D．b>d[答案]C[解析]由图可知，a、c均不为零．直线l1的斜率、在y轴上的截距分别为：－eq\f(1,a)、－eq\f(b,a)；直线l2的斜率、在y轴上的截距分别为：－eq\f(1,c)、－eq\f(d,c)，由图可知－eq\f(1,a)<0，－eq\f(b,a)>0，－eq\f(1,c)<0，－eq\f(d,c)<0，－eq\f(1,a)>－eq\f(1,c)，于是得a>0，b<0，c>0，d>0，a>c，所以只有bd<0正确．3．(2012·山西四校第一次联考)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π) B．[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4)，π)C．[0，eq\f(π,4)] D．[0，eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,2)，π)[答案]B[解析]设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]，∴tanθ∈[－1,1]．又θ∈[0，