备战2020中考数学专题复习分项提升第17讲 特殊三角形(教师版)

第17讲特三角形【考点梳理】1．等腰三角形(1)性质：等腰三角形的两底角相等，两腰相等；等腰三角形的_高线_、中线、顶平分线“三线合一等腰三角形是轴对称图形，高(或底边中线、顶角平分)所在直线是它的对称轴．(2)判定：有两角相等的三角形是等腰三角形；有两相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形(1)性质：三边相等，三个内角等于60°等边三角形是轴对称图形，有3__条对称轴．(2)判定：三边相等、三内角相或有一个角是60°等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形(1)性质：①两锐角之和等于90°_②斜边上的中线等于斜边的一半；③30°的角所对应的直边等于斜边的_一半；勾股定理：若直三角形的两条直角边分别为，b，斜边为c，有a＋b.(2)判定：①有一个角是直角的角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，c满足关系a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形；④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．4．等腰直角三角形(1)性质：两直角边相等；两锐相等且都等于_45°_.(2)判定：有两边相等的直角三形；有一个角为45°直角三角形；顶角为90°的等腰三角；有两个角是45°三角形【高频考点】考点1：等三角形的性质及关计算【例题1】在△中AC，，点是段AB上动(不与A重合)．(1)如图1，当点D为AB的中，过点作BF∥ACCD的延线于点F，求证：AC＝BF；(2)连接CD.作∠CDE＝30°，DE于点E.DE∥BC，如图2.①∠CDB＝120°；②求证：△ADE为腰三角形；③在点D的动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出AED的度；若不以，请说明理由．1

【解答】解(1)证：∵CA＝CB是△的中线，∴AD＝BD.∵BF∥AC，∴＝∠FBD.∵∠ADC＝，eq\o\ac(△,≌)△BFD.∴AC＝BF.(2)②证明：＝BC∴∠A＝∠B.∵DE∥BC，∴∠EDA＝∴∠A＝，△ADE为腰角形．③△ECD可以等腰三角形．理如下：Ⅰ.∠CDE＝∠ECD时，，∴∠ECD＝∠CDE＝30°.∵∠AED＝＋，∴∠AED＝60°.Ⅱ.∠ECD＝∠CED时，，∵∠ECD＋∠CED∠CDE＝180°，180°∠CDE∴∠CED＝＝75°.∠AED＝180°－＝105°.2Ⅲ.∠CED＝∠CDE时，，∠ACD＝180°∠CED∠CDE＝180°－30°－30°＝120°，∵∠ACB＝120°，∴此时，点D与B重，不合意．综上，△ECD可是等腰三角形，此时的度数为60°105°.归纳：在以等腰三角形为背景求线段长的问题中，最常用的工具为“等腰三角形三线合一以找到相应的角度、线段长度以及垂直关系，进而可通过三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已图形中有两个中点时，常用中位线的性质得到线段平行和数量关系．考点2：等三角形的性质及关计算【例题2】(2018·河北模拟)如1在等边ABC等边△ADP中，AB＝2，点P在△ABC的高CE上点P与点C不重)，点D在点P的侧，连接BD，ED.(1)求证：＝CP；(2)当点P与E重时，延长CE交BD于点F请你在图2作出图形，并求出BF的；(3)直接写出线段DE长的最小．【解析】：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，2

2222∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵△ADP是等三角形，∴AD＝AP，∠DAP＝60°.∴∠DAB＋∠BAP＝∠BAP∠CAP.∴∠DAB＝∠CAP.∴eq\o\ac(△,≌)DABeq\o\ac(△,．)PAC(SAS)∴BD＝CP.(2)如图2，∵△ADP是等三角形，∴当点P与E重合，有AE，∠AED∵CE⊥AB，1∴AE＝BE＝DE，∠BCE＝∠ACB＝30°.2∴∠EBD＝30°.∴∠DBCBF在eq\o\ac(△,Rt)BCF中∵BC＝2，tan∠BCE，BC23∴BF＝.31(3)DE长的最小值是，由：如图3，由1)：eq\o\ac(△,≌)DABeq\o\ac(△,，)∴AC的点F，连接，PF＝DE，2∴PF长度的最小值就是DE长的最小值，过点作FG⊥CE于点G，足G就是PF最小点P的位置，此11时PF＝，长度最小值22归纳：对于等边三角形的问题主要考查三边关系与三角的特殊之处，判定时注意两个角为60°的角形为等边三角形，抓住特殊求三角形高等线段长度即可得到。考点3：直三角形的性质及关计算【例题3(2018·保模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面法”给了小聪一灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图或2摆时，都可以用“面积”来证明，下面是小聪利用图1证明股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所摆放，其中∠DAB＝90°求证：a＋b＝c.证明：连接，点D作BC边的高，则DF＝EC11∵S＝Sb＋ab3

2222222222222211又∵S＋Sc＋a(b－a)1111∴b＋ab＋a(b－a)2222＋b＝c.请参照上述证法，利用图2完面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所放，其中DAB＝90°.a＋b＝c.证明：连接，点B作DE边高，则BF－a.111＝S＝ab＋ab，111又∵S＝S＋Sab＋a(b－a)，111111∴＋b＋ab＝ab＋c＋－a)22222＋b＝c.归纳：解决与直角三角形有关的算(1)若角三角形中含有30°，可考虑利用30°角的直角边是斜边的一半直角三形出现中线时，可考虑利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的半进行求解(3)算有关线段长问题如果所求线段是在直角三角形或可通过作辅助线作出含可求出边的直角三角形中，一般应用勾股定理求，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．【自我检测】一、选择题：1.湖州）如图，ABC中，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D∠的度数为（）A．30°B．45°．50°D【答案B4

【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠ABD=30°∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．2.如，在△中AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于D，则∠的数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°【答案】【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠ABD=30°∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．3.毕）如图，在正方ABCD中，E，F分别在BC上，且∠EAF=45°，eq\o\ac(△,将)ABE绕A顺时针旋转90°使点E落在E'，则下列判断不正确的是（）A．△AEE′是等腰直角三角形B垂直平分EE'C．′EC∽△AFDD．△AE是等腰三角形【答案】5

【解答】解：∵将△绕A顺时旋转，使点落点E'处∴AE′=AE∠E′AE=90°，∴△AEE′是等腰直角三角形，A确；∵将△ABE绕A顺针旋转90°使点落在E'，∴′AD=，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴′AD+∠FAD=45°，∴′AF=，∵AE′=AE∴AF垂直平分EE'，B正；∵AF⊥E，∠ADF=90°，∴′E+∠AFD+∠DAF∴′E=∠DAF，∴′EC∽eq\o\ac(△,，)故C正；∵AD⊥E，但∠′AD不一等于∠DAE′，∴′F不一定是等腰三角形故D错误故选D．4.（2019•浙江衢州3分三分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的如图所的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并绕O转动，C点固，OC=CD=DE，D，E可槽中滑动，若∠BDE=75°，则CDE的度数是（）A.60°B.65°C.75°D.80°【答案】D【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，6

∴∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，∴∠DCE=∠DEC=2x，∴∠CDE=180°-，∵∠BDE=75°，∴∠ODC+∠CDE+，即x+180°-4x+75°=180°，解得：x=25°，∠CDE=180°-4x=80°.故答案为：5.（2019•湖南邵阳3分如，在eq\o\ac(△,Rt)ABC，∠BAC＝90°，∠B，AD是斜BC上中线，将△ACD沿AD对，使点C落点F处，线段DF与AB相于点E，则∠BED等（）A．120°

B．108°C．72°D．36°【答案】【解答】解：∵在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，＝90°＝36°∴∠C＝90°∠B．∵AD是斜边BC上中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°∵将△沿AD对，使点C落点F处∴∠ADF＝＝72°，∴∠BED＝∠ADF＝36°+72°＝108°．故选：．二、填空题：6.如，在等边三角形中点D是边BC的中，则∠BAD=30°．7

【答案】30°【解答】解：∵△ABC是边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的点，∴∠BAC=30°故答案是：．7.（2019贵州毕▪分如图以ABC的顶点为圆BA长为半径画弧交BC边于D连AD若∠B＝40°，＝36°，∠的大小为34°．【答案】34°．【解答】解：∵∠B＝40°，∠C，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°∵AB＝BD∴∠BAD＝＝﹣∠B）÷2＝70°∴∠DAC＝﹣＝34°故答案为：．8.如，⊥BC，AD⊥DC∠BAD=130°，在BC、CD上分别找一点E、Feq\o\ac(△,当)AEF周最小时，∠AEF+AFE的度数是．【答案】80°．【解答】解：作A关于BC和CD的称点A，A，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A″即为的长最小．作DA延线AH，8

∵∠DAB=130°，∴′+″=50°，∵′=∠FAA′，∠EAD=∠A″∴∠FAA∠A，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故答案为：．9.（2019黑龙江哈尔滨▪3分）如图，在四边形ABCD中AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边一点，连接BD.CE，CE与BD交于，且CE∥AB若AB＝8，CE＝6，BC的为．【答案】

【解答】解：如图，连接AC交于点O∵AB＝AD，BC＝DC∠A＝60°9

∴AC垂直平分，△ABD是边三角形∴∠BAO＝＝30°，AB＝AD＝BD＝8BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝＝30°，∠CED∠BAD＝60°∴∠DAO＝＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝＝60°∴△EDF是等三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2∴OC＝∴BC＝

232三、解答题：10.（2019•湖北武汉8分如是由边长为1的正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点是DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1如图1，过点A画段AF，使∥，AFDC（2如图1，在边上画一点G，使∠AGD＝．（3如图2，过点E画段EM，使∥，EMAB【分析）作平行四边形即得到结论；（2根据等腰三角形的性质和顶角的性质即可得到结论；（3作平行四边形AEMB即可到结论．【解答】解）如图所示，线AF即为所求（2如图所示，点G即为求；（3如图所示，线段即为所求．10

11.(2018·嘉兴如图，在△中，＝AC，D为AC的中，，DF⊥BC，垂足分别为E，F且DE＝DF.求证：是边三角形．证明：∵DE⊥AB，DF，∴∠AED＝∵D为AC的点，∴AD＝DC.在eq\o\ac(△,Rt)ADE和Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rteq\o\ac(△,．)CDF(HL)∴∠A＝∠C.∴BA＝BC.∵AB＝AC，∴AB＝AC.∴△ABC是边三角形．12.（2018·湖省孝感·7分如图中AB=AC小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠的平分线AM交BC于；②作边AB的直平分线EF，EF与AM相交点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1线段PA，PB，PC之间数关系是PA=PB=PC；（2若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．11

【分析）根据线段的垂直平线的性质可得PA=PB=PC（2）根据等腰三角形的性质得∠ACB=70°由三角形的内角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°最后利用三角形外角的性质可得结论．【解答】解）如图，PA=PB=PC，理由是：∵AB=AC平分∠，∴AD是BC的直平分线，∴PB=PC，∵EP是AB的直平分线，∴PA=PB，∴PA=PB=PC；故答案为：PA=PB=PC；（2∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=180°，∵AM平分，∴∠BAD=∠CAD=20°，∵