数学高考真题卷-浙江文数（含答案解析）

2018年普通高等学校招生全国统一考试・浙江卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.

参考公式：

若事件46互斥，则柱体的体积公式

P〈A+扮=P(A)+P物)V=Sh

若事件A,8相互独立,则其中S表示柱体的底面积，力表示柱体的高

P(A助=P(A)P(劭锥体的体积公式

若事件4在一次试验中发生的概率是p,则〃次V^Sh

独立重复试验中事件/恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积，力表示锥体的高

只(A)=C^pk(l-p)-\k=O,1,2,…,n)球的表面积公式

台体的体积公式SNJi4

*(S+同豆+£)力球的体积公式

其中S,W分别表示台体的上、下底面积,力表示Tn*

3

台体的高其中斤表示球的半径

选择题部分(共40分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知全集〃={1,2,3,4,5},1={1,3},则0=

A.0B.{1,3}

C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}

2.双曲线^的焦点坐标是

A.(-72,0),(V2.0)B.(-2,0),(2,0)

C.(0,^/2),(0,V2)D.(0,-2),(0,2)

3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是

(第3题图)

A.2B.4C.6D.8

4.复数卷(i为虚数单位)的共轨复数是

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

5.函数y=2'sin2x的图象可能是

6.已知平面a,直线满足mQa,nua,则“加〃是‘'勿〃a”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.设0伞＜1,随机变量f的分布列是

则当夕在(0,1)内增大时，

A.D{f)减小B.〃(f)增大

C.〃(C先减小后增大D.D(C先增大后减小

8.已知四棱锥ST时的底面是正方形，侧棱长均相等,£是线段上的点（不含端点）.设SE

与a'所成的角为生，跖与平面48口所成的角为。二面角ST比。的平面角为生,则

A.，3B.防

C.e2D.3%

9.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为右向量6满足目-

4e-63=0,则|a-目的最小值是

A.V3-1B.V3+1

C.2D.2-\/3

10.已知31,&2,a,a1成等比数列，且a+及+。3+a=ln(8+&+&).右'a>l,则

A.31〈a—a2《a”B.aQa为a2〈a、i

C.Q\a2)a：D.鼻)。3,32^3.1

非选择题部分（共110分）

二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分,单空题每题4分，共36分.

11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五;鸡母一，值钱三;

鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为

rx+y+z=100,

X,KZ,则5x+3y+1z=100,当Z=81时>y=________

x-y>0,

12.若x,y满足约束条件2%+y<6,则z=x+3y的最小值是,最大值是

,x+y>2,

13.在△/8C中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c.若a=y/7,b^,A=6Q°,则sin

B=,c=.

14.二项式（正£）8的展开式的常数项是

15.已知4WR,函数,当43时,不等式fj）⑴的解集是.若函

U-4x+3,x<A.--------

数f（x）恰有2个零点，则力的取值范围是.

16.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有

重复数字的四位数.（用数字作答）

17.已知点—（0,1）,椭圆［+/口（加1）上两点48满足方=2而,则当加=时，点8横坐

4

标的绝对值最大.

三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（本题满分14分）

已知角。的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点尸（T，T）.

(I)求sin(a)的值；

(H)若角万满足sin("£)磊，求cos£的值.

19.(本题满分15分)

如图，已知多面体ABCAM,AtA,B\B,GC均垂直于平面ABC,Z

4BC=120°,A,A=A,CCh,AB=BC=B、B2

(1)证明：4?」平面484；

(II)求直线AC,与平面ABB,所成的角的正弦值.

20.(本题满分15分)

已知等比数列｛4｝的公比q>\,且a、+a\+%期,a+2是金,a的等差中项.数列㈤满足仇=1,数

歹U｛(图-4)为｝的前〃项和为2n+n.

(I)求q的值；

(H)求数列｛4｝的通项公式.

21.(本题满分15分)

如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线上存在不同的两点A,8满足PA,PB

的中点均在。上.

(I)设43中点为必证明：掰垂直于y轴；

(II)若尸是半椭圆f片=1(x4)上的动点，求△为8面积的取值范围.

4

22.(本题满分15分)

已知函数f(x)^Vx-lnx.

(I)若f(x)在x=x\,为(不工为)处导数相等,证明：f(Xi)+F(X2)>831n2;

(II)若aW3-41n2,证明：对于任意人0,直线与曲线y=f(x)有唯一公共点.

1234567891011121314151617

加(1,4);(1,3]U

CBCBDADDAB8;11-2;8卫;3712605

7(4,+8)

l.C【考查目标】本题主要考查集合的运算,考查的数学核心素养是数学运算.

【解题思路】根据集合的补运算进行解答.

【解析】因为公{1,2,3,4,5},4={1,3},所以。:={2,4,5}.故选(；

2.B【考查目标】本题主要考查双曲线基本量之间的关系，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心

素养是数学运算.

【解题思路】先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴,然后根据基本量之间的关系进行运算.

【解析】由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为，2W2场23+1%，所以c之，故焦点坐标为(-2,0),(2,0).故

选B.

3.C【考查目标】本题主要考查空间几何体的三视图及棱柱的体积公式,考查考生的空间想象能力、运

算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.

【解题思路】根据三视图还原直观图,进而对几何体的体积进行求解.

【解析】由三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱,所以该几何体的体积4^(1+2)X

2X2=6.故选C.

4.B【考查目标】本题主要考查共挽复数的概念及复数的运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学

核心素养是数学运算.

【解题思路】先对所给的复数进行化简,再求其共辄复数.

【解析】因为2,+i)=i所以复数三的共轨复数为一:故选B.

1-1(1-1)(1+1)1-121-1

5.D【考查目标】本题主要考查函数的图象和性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查数形结

合思想,考查的数学核心素养是逻辑推理、直观想象.

【解题思路】根据函数的奇偶性及函数的零点进行解答.

【解析】设f(x)-2'sin2x,其定义域关于坐标原点对称,又A-x)3”•sin(-2x)=-f(x),所以y=f{x}

是奇函数,故排除选项A,B;令F(x)=0,所以sin2片0,所以2x4”々GZ),所以x当(4eZ),故排除选项C.

故选D.

6.A【考查目标】本题主要考查空间中线面位置关系以及充分条件、必要条件的判断，考查考生的空间

想象能力,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理.

【解题思路】根据线面平行的判定定理及性质和充要关系的判断即可求解.

【解析】若M。，〃ua,m//n,由线面平行的判定定理知勿〃。.若m//。，凉I〃ua,不一定推出m//n,

直线卬与〃可能异面，故"小〃是"mHa”的充分不必要条件.故选A.

7.D【考查目标】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差,考查考生的运算求解能力,

考查的数学核心素养是数学运算.

【解题思路】先算出£(C,再根据方差公式求出〃(9的表达式即可.

【解析】由题可得E(C4+p,所以D(f片所以当「在(o,1)内增大时,〃(S)先增大后

2422

减小.故选D.

8.D【考查目标】本题主要考查异面直线所成的角、线面角、二面角，考查考生的化归与转化能力、空

间想象能力,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理.

【解题思路】根据异面直线所成的角、线面角、二面角的定义作出出，4,再根据最小角定理即可求

解.

【解析】由题意知四棱锥为正四棱锥,如图,连接BD,记ACCBD=Q连接SO,则SCU平面ABCD,取

4?的中点M,连接S%OM,OE,易得ABVSM,则W/SEO,%=NS阳易知生》外.

因为OM//BC,BCLAB,SMVAB,所以&也为〃犷与平面相8所成的角，即8C与平面9所成的角，再根据最小

角定理知，展W%，所以&W%，故选D.

【知识拓展】最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和平面经过斜足的直线所成的一切角中最小

的角.

9.A【考查目标】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考

生的运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.

【解题思路】将NYe，b+34进行转化，再数形结合求解即可.

【解析】解法一设。为坐标原点，aWX,加加=(x,y),e=(l,0),由""e•6+3=0得八/"行34),即

(x-2)0/=i,所以点8的轨迹是以以2,0)为圆心,1为半径的圆.因为a与e的夹角为最所以不妨令点力在

射线yRgx(xNO)上,如图,数形结合可知|石5111d尸|瓦|=V5-1.故选A.

解法二由€-Ae•b+3O得I)-\e•b-f^ie={b-e)•(Z?-3e)=Q.

设b而,e^OE,3e初,所以。-e题,63e中瓦所以前•丽或取〃的中点为C,则8在以C为圆心,EF为

直径的圆上,如图.设a近,作射线如使得N4?田?,所以|a-引二|(a-2e)+(2e-6)I2|a-2e\-\2e-b\=\CA\-

|近I28-1.故选A.

10.B【考查目标】本题主耍考查等比数列的通项公式、不等式的放缩，考查考生的逻辑思维能力、化

归与转化能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解题思路】利用式In或62户1放缩后,得出-1"。再结合选项利用作差法即可求解.

【解析】解法一因为InxWxT(x>0),所以功士&9+国=ln(&七"8)・功也2%3-1,所以aWT,又&)1,

所以等比数列的公比q<0.若gWT,则a62土&七1和(1切(1+/)W0,而所以

In(a七2七3)zX),与In(a+&+aJ=a\+a"•&+

aiWO矛盾，

所以T<g<0,所以功-戊招(1-/)X),或-国招,(1-,2)<0,所以a\>as,/⑵，故选B.

解法二因为e"2"1,a9+&+包=1n(a+ai+aj,

所以心】+g+。3+。4二8七292a七2*&均产1,则又&乂，所以等比数列的公比q<0.

若-1,贝IJ4七233%为(1+。)(1+d)<0,而d+/为324》1,所以ln(m+a2七3)A),与

ln(ai+&+a)=&+a+2f<3|<0矛盾，

所以T«<0,所以ai-a3=a\(1~q)>0,皮-a刊q(l-/)<0,所以月)金,〃㈤故选B.

11.8;11【考查目标】本题主要考查二元一次方程组的求解,考查考生的运算求解能力,考查的数学核

心素养是数学运算.

【解析】因为Z知,所以修；；3：-73解得:11

(。人IOy/D,1tJLJL.

12.-2:8【考查目标】本题主要考查简单的线性规划，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查

的数学核心素养是数学运算、直观想象.

【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2),(1,1),(4,-2)为顶点的三角形及其内部区域

(图略).由线性规划的知识可知，目标函数z=x+3y在点⑵2)处取得最大值,在点(4,-2)处取得最小值,则最

小值ZminN-6二-2,最大值Zmax^6^8.

13.手;3【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理,考查考生分析问题、解决问题的能力及运

算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】因为a=\H,b=2,的,所以由正弦定理得台由余弦定理a=tf+c-2bccosA

40°sin.必a二y/7,严7^

可得-3=0,所以C=Q>.

【解后反思】应用正弦定理、余弦定理可以实现三角形中边、角之间的转化.

14.7【考查目标】本题主要考查二项式定理，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运

算.

【解析】该二项展开式的通项公式为。“遍看X-'F(?'寸子.令等士解得出所以所求常数项为

C|X(i)2=7.

【易错警示】应用二项展开式的通项公式时要注意r的取值情况.

15.(1,4);(1,3］U(4,+8)【考查目标】本题主要考查一元二次不等式的求解，考查考生的逻辑思维能

力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.

【解析】若才之,则当x22时，令xY。得2<x<4;当x<2时，令AMX+3。得182.综上可知ITS,

所以不等式f(x)<0的解集为(1,4).令xYR,解得令解得x=l或*3因为函数f(x)恰有2

个零点，结合函数的图象(图略)可知1(4・3或4>4.

【解题反思］解一元二次不等式时,要注意函数与方程思想及数形结合思想的应用.

16.1260【考查目标】本题主要考查排列、组合的知识，考查考生分析问题、解决问题的能力,运算求

解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】若取的4个数字不包括0,则可以组成的四位数的个数为髭鬣A：;若取的4个数字包括0,则可以

组成的四位数的个数为此禺禺Ag.综上,一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为

C鸿AJ+C羽*AJW20巧40=1260.

［易错警示】本题要注意的是若取到0,则0不能放在千位,否则容易错解为髭鬣A%1440.

17.5【考查目标】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑思维能力及运算求解能力，考

查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解题思路】利用向量共线，实现点的坐标之间的转化,结合点在椭圆上,建立方程,应用二次函数的最值,

求得相应的结论.

【解析】设/(xi,yi),B(x?,%)，由而,得1J二即矛产-2矛2,M书-2%因为点44在椭圆上,

—~+(3-2y2)2=TH,121<Q1

所以《2得必”力,所以石加《3・2)/2)2=:勿%/仁二二(/〃⑸?掰W4,所以当/片5时，点4横坐

1.+秃=m,

标的绝对值最大,最大值为2.

18.【考查目标】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式,考查考生分析问题、解

决问题的能力,运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.

【解题思路】(I)首先利用三角函数的定义求得sin。，然后利用诱导公式，计算sin(a+n)的值；(H)

根据sin(。+万)的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos(a+£)的值，要注意该值的正负，然后根

据£=(a+£)-a,利用两角差的余弦公式,通过分类讨论,求得cos£的值.

【解析】⑴由角。的终边过点?(；,令得sin。三，

所以sin(V-JI)--sin。3.

(H)由角］的终边过点P(gq)得cos"g

由sin(。+£)磊得cos("£)二土||.

由£=(a+£)-a1得cos=cos(a+£)cosa飞in(a)sina,

所以cosB或cos£震.

【方法总结】求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.

19.【考查目标】本题主要考查空间中直线与平面垂直的证明及直线与平面所成的角的正弦值的计算，考

查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数

学运算.

【解题思路】(I)先证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到直线与平面垂直；(H)先利用直线与

平面垂直找到直线与平面所成的角的平面角，再结合解三角形的知识,求得直线与平面所成的角的正弦值.

【解析】方法一(I)由［庆2"44阳=2,加」仍即1.四得阳引出=2夜,所以4曜

故四，4瓦

由BC2BB\2CQ=\,BB\LBG得BC

由AB=BC=2,N/6c=120°得ACA®

由CGIAC,得AG^fl3,所以ABl+BxCl=ACl，

故4笈，台G.

因此45J_平面481G.

(II)如图,过点G作CDUB,交直线/归于点D,连接AD.

(第19题图)

由4?i_L平面46G得

平面4笈G_L平面ABBh

由G/a4A得62,平面ABB、,

所以NG49是/G与平面/国所成的角.

由用GW!,48-2位,得

cos/C\A\B\sin/C\A\B\

77V7

所以故sinC嘿答

因此,直线AG与平面ABB、所成的角的正弦值是誉.

方法二

(I)如图，以“1的中点。为原点，分别以射线OB,0C为*,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系0-xyz.

(第19题图)

由题意知各点坐标如下：

4(0,潟0),6(1,0,0),4(0,34),8(1,0,2),G(0,V3,1).

因此福=(1,V3,2),硒'=(1,V3,-2),

^>=(0,2V3,-3).

由福•石瓦=0得尻

由福•砧7-0得力8_L4G.

所以4?i_L,平面4AG.

(II)设直线4G与平面/阳所成的角为0.

由(/)可知宿=(0,2/,1),四二(1,巡,0),西=(0,0,2).

设平面4期的法向量n=(x,y,z).

n圣仇即:+V1y=0,可取〃=dj,o).

由

2z=0,

n•BBr=0,

所以sin"=/cos<^>/瑞清噜

因此,直线AG与平面ABB.所成的角的正弦值是鲁.

【方法总结】空间中线面的平行、垂直问题及空间角问题是高考的高频考点，也是热点问题.线面平行、

垂直的判定定理与性质定理是证明平行、垂直问题及空间角问题的重要工具;利用题中所给的垂直、平行，

通过添加辅助线的方式,找到直线、平面之间所成的角，利用解三角形的方法求得所求角的大小或相关三角

函数值,是需要掌握的方法,这体现了对空间想象能力的掌握与应用.本题也可以通过建立空间直角坐标系，

用向量法求解.

20.【考查目标】本题主要考查等差数列的性质，等比数列的通项公式及错位相减法,考查考生分析问题、

解决问题的能力,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解题思路】（I）根据条件列方程,通过解方程,求得等比数列的公比；（H）设以=（4「4）为,首先根据条

件求出｛，,｝的通项公式,再利用累加的方式,结合错位相减法,求得所求数列的通项公式.

【解析】（I）由为+2是〃3,生的等差中项得@3为54国4

所以+国%54&4M之8,

解得a心

由金9吻得8①时却,

解得q=2或

因为g>l,所以q2

(H)设Cn=g-b)a,„数列{c〃}前"项和为S„.

由以鞘*—:解得Cn=4n-L

由(I)可知必切:

所以4M七=(4〃T)•(?”',

故4,-bz=(4〃~5)•(3"；〃》2,

bn-b\={bn-bn-\)+{bnA~b„-2)+(b「b。+(b「b〉

=(4/7-5),(|)"2+(4/7-9),(|)n**•,•*7,|+3.

设T„^+7•i*ll•(|)2^-+(4/7-5)•9",〃》2,

|7；;=3,..+(4〃~9).(A)"2+(4p-5).(|)"

所以•(：)2*..掰.(2)"2-(4/?-5)•(3"',

因此刀尸14-(4"3)•(l)"~2,/7>2,

又4=1,所以瓦,=15-(4"3)•(l)n-2.

【方法总结】等差数列、等比数列是高考考查的重要内容，将等差数列与等比数列结合起来综合考查数

列求和问题,常用的求和方法有：错位相减法与裂项相消法.

21.【考查目标】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解

能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学抽象、数学运算.

【解题思路】(I)设出48的坐标及点尸的坐标,利用用,外的中点在抛物线上建立方程,利用根与系数

的关系求得点A,B,夕的纵坐标之间的关系，由此证明结论成立；(II)先根据根与系数的关系,求得/月〃,再表

示出△阳6的面积,最后结合点尸在椭圆上,并利用二次函数在给定区间的值域,求得三角形面积的取值范围.

【解析】(1)设尸(施,％),般衣,弘)，呢泥,力

因为以,阳的中点在抛物线上,所以几於为方程(空)W•哼^

即的两个不同的实根.

所以y十%之助

因此,/物垂直于y轴.

(II)由(I)可知卜+”2叱,

=8&-%，

所以14Mq(yf崎-照3羽-3刖，

171-/21=2V2(y^-4x0).

=

因此，△PAB的面积S^PAB^IPM\•y\~y21"-(据样版”.

因为诏哼可(照<0),所以%-4旅=-4诏-4xoH£[4,5],

因此,△必6面积的取值范围是[6立，竺泻].

【方法总结】圆锥曲线问题是高考重点考查内容之一,也是难点之一.椭圆、抛物线是其中常考内容，需

要熟练地掌握椭圆和抛物线的定义、基本性质、标准方