概率论统计电子教案

§3.4二维随机变量及其分布如果一个二维随机变量的值域是平面上的一个区域，那么称它为二维连续型随机变（向）量，类似地有n维连续型随机变（向）量。本节主要研究二维连续型随机变量取值的统计规律性（即分布）。一、联合密度函数

定义3.4给定二维连续型随机变量，如果存在一个定义域为整个平面的二元非负实值函数，使得的分布函数可以表达成那么称为连续性随机变量的(概率)密度函数(或分布)，或者称它为随机变量X与Y的联合(概率)密度函数(或联合分布)。

按照分布函数的定义与性质，联合密度函数必须满足下列两个条件：

(1)；

(2)。这两个条件刻划了联合密度函数的特征。

定理3.5

设是任意一个二维连续型随机变量，与分别是它的分布函数与密度函数，那么

(1)为连续函数，且在的连续点处，有

(2)对任意一条平面曲线L，有；

(3)对任意一个平面上的集合D：

例1设二维随机变量的联合密度函数为求（1）常数A的值；

（2）概率

解(1)由可得

(2)概率

一、均匀分布：

设的密度函数为

其中，G是平面上某个区域，通常称这个随机变量

服从区域G上的(二维连续型)均匀分布。二、二维正态分布：

如果随机变量的密度函数为

则称随机变量服从参数为的二维正态分布，记作，其中下图给出了它的密度函数所表示的一个曲面。

例1设服从区域G上的均匀分布，其中G为区域试求关于t的一元二次方程无实数根的概率。

解由于G的面积为1，因此的密度函数

于是，所求概率为思考：

概率

二、边缘密度函数设二维连续型随机变量的联合分布函数为，对于任意一个，称为的边缘分布函数。类似地，称为的边缘分布函数。即

例1设的联合分布函数为求与边缘分布函数。

解由边缘分布函数的计算公式可知当时，当时，，所以同理可得

设二维连续型随机变量的联合密度函数为

，称为的边缘密度函数。类似地，称为的边缘密度函数。

事实上，由的边缘分布函数的定义,可得类似地可得

例2设(X,Y)的联合密度函数为求X与Y的边缘密度函数.

解由公式可知，当时，当时，

，所以同理，当时，所以当时，

，所以

例3设的联合密度函数为其中，试求X与Y的边缘密度函数。

解当时，其余的取值对应。

所以，X的边缘密度函数为

当时，其余的取值对应。因此，

例4设(X,Y)服从二维正态分布,它的联合密度函数为求X与Y的边缘密度函数

解:X的边缘密度函数作代换，

利用便得同理可得

定理3.6设，

则X的边缘密度函数为Y的边缘密度函数为即§3.5随机变量的独立性与条件分布一、两个随机变量的独立性对于任意的两个随机变量，当相互独立时，对于任意的两个实数轴上的集合，当时，有等式

由此，得到如下定义：

定义3.5如果随机变量X与Y的联合分布函数恰为两个边缘分布函数的乘积，即那么称随机变量X与Y相互独立。

对于连续型的随机变量，

的独立性等价于等式在的一切公共连续点上成立.从上面对两个随机变量的独立性的讨论可知：两个相互独立的随机变量的边缘分布函数可唯一确定它们的联合分布函数。

随机变量相互独立的直观含义是：的取值与的取值的概率互不影响。因此，在实际问题中，判定是否相互独立，更多的是看的取值与的取值是否有影响。

例5设的联合密度函数为我们已经求得的边缘密度函数分别为显然，在的一切公共连续点上，有成立，

所以，相互独立。

在例3中，由于联合密度函数为其中，边缘密度函数分别为显然，所以不相互独立.

定理3.7设，

那么，相互独立的充分必要条件为。二、n个随机变量的独立性设的联合分布函数为，记的边缘分布函数为，如果则称n个随机变量相互独立。

在离散型的情形下，定义3.6和定义2.4等价。在连续型的情形下，n个随机变量相互独立等价于：等式在的一切公共连续点上成立。三、条件密度函数在连续型的情况下，由于连续型分布在一点的概率，因此不能直接利用条件概率公式来定义条件分布，但是，我们可以用来定义，由此和高等数学知识可推出下列条件分布：

定义3.7设为二维连续型随机向量，它的联合密度函数为，对任意一个固定的，当时，称为在给定条件下的条件密度函数。类似地，对任意一个固定的，当时，称为在给定条件下的条件密度函数。

作为密度函数，满足下列两个条件：与密度函数相应的分布函数：

例7设的联合密度函数为求在给定条件下的条件密度函数

解首先我们要计算的边缘密度函数，当时，的边缘密