2020-2021高中数学北师大版1学案：2.2.2函数的表示法含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学北师大版必修1学案：2.2.2函数的表示法含解析2．2函数的表示法知识点一函数的表示法［填一填］［答一答]1．函数三种表示方法各有哪些优缺点？提示：同时，函数的三种表示方法互相兼容和补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际问题中，以解析法为主．知识点二分段函数[填一填]（1)在函数定义域内,对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．（填“交集"或“并集”）［答一答］2．怎样正确理解分段函数？提示:(1）分段函数是一个函数，而不是几个函数．(2）处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间,以免因误用法则造成错误结果．(3）分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域"的并集．(4）分段函数的图像应分段来作,特别注意各段的自变量取区间端点处时函数值的取值情况，以决定这些点的虚实情况．3．如何准确地作出函数的图像?提示：（1）作函数图像的基本方法：描点作图法：其步骤是:列表、描点、连线成图．此法应先了解函数图像的特点，再列表描点,避免盲目性．(2)检验一个图像F是否为函数y＝f（x)的图像应满足两点：①图像F上任一点的坐标（x，y)都满足y＝f（x)关系式;②满足y＝f(x)关系式的点(x，y）都在图像F上．1．三种表示方法的适用范围(1)列表法适用于定义域是有限集的情形．（2）图像法适用于任何函数．(3)解析法适用于对应法则可以用一个数学式子表示的情形．2．函数图像与其解析式的关系(1)函数图像是其解析式的直观反映．用图像法表示函数可以化抽象为直观，较形象地反映出函数关系变化的趋势，把抽象的函数概念形象化．(2)函数图像与其解析式的对应性．函数图像是解析式中自变量与其函数值对应点集合的直观反映，需要注意的是从函数图像上一般只能得到近似的数量关系，但通过解析式可以画出准确的图像．3．对分段函数的理解(1）分段函数是一个函数而不是几个函数；分段函数的定义域、值域分别为各段上定义域与值域的并集．(2)分段函数的“段”可以是等长的也可以是不等长的．（3）写分段函数的定义域时区间端点要做到不重不漏．(4)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应法则．类型一列表法表示函数【例1】试用列表法表示0°,30°，45°，60°，90°角的正弦值、余弦值之间的函数关系．【思路探究】只需列出自变量(角的度数）与对应函数值(正弦值或余弦值）的表格即可．【解】0°，30°，45°，60°，90°角与正弦值、余弦值之间的函数关系如下表：角度0°30°45°60°90°正弦值0eq\f(1,2）eq\f(\r（2）,2)eq\f（\r(3），2）1余弦值1eq\f（\r(3）,2）eq\f（\r（2），2)eq\f(1，2)0规律方法列表法就是列出表格来表示两个变量之间的关系，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用,如列车时刻表、国民生产总值表等．已知函数f（x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x）131g(x)321（1)求f（g（1)）的值；（2）求满足f(g（x))〉g(f（x)）的x的值．解:（1）由图表可知，g(1)＝3，故f(g(1））＝f（3）＝1.(2)当x＝1时，f（g(1)）＝1,g（f(1）)＝3，不满足题意；当x＝2时，f（g（2)）＝3，g（f(2)）＝1，满足题意；当x＝3时,f（g(3)）＝1，g(f(3))＝3，不满足题意．综上可得，x＝2.类型二函数图像的作法及判断【例2】作出下列函数的图像:(1)y＝1－x；(2）y＝eq\f（x2－x，x－1）。【思路探究】(1）是一次函数，可用描点法作图．(2)先求出定义域，然后化简解析式，最后作出函数图像．【解】(1)y＝1－x是一次函数，它的图像是一条直线．列表：x01y10描点、连线，如下图(1)．(2)y＝eq\f（x2－x,x－1)＝x，其定义域为｛x|x≠1｝，它的图像为直线y＝x，除点(1,1)外．图像如上图（2)．规律方法本题中第（2）题易犯的错误是忽视定义域,致使图像是整条直线．画函数图像时，应首先考虑定义域，否则易产生错误．下列选项中，不能确定是函数f(x）的图像的是(A)解析：A不能确定y是x的函数，因为当x＝1时,由A可确定y有两个值与它对应；B能确定y是x的函数,因为当x在{x｜x〈－1或x≥1}中任意取一个值时，可确定有唯一的y值与它对应；C能确定y是x的函数，因为当x在｛－3，－2，－1，0，1,3，4｝中任取一个值时,可确定y有唯一的值与它对应;D能确定y是x的函数，因为对于R上的任意x值，能确定有唯一的y值与之对应．类型三求函数解析式【例3】求下列函数的解析式：（1)已知f(x)＝x2＋2x,求f（2x＋1）；（2）已知f(eq\r（x)－1)＝x＋2eq\r（x)，求f(x）；(3）已知f(x)是一次函数,且f[f（x）]＝4x＋3，求f（x）；(4)已知f（x)－2f（eq\f(1,x))＝3x＋2，求f(x)．【思路探究】根据题中所给条件，可用拼凑法、换元法、待定系数法、解方程组的方法求解．【解析】(1）f（2x＋1)＝(2x＋1)2＋2（2x＋1）＝4x2＋8x＋3.(2）解法1:f(eq\r(x）－1）＝（eq\r（x）－1）2＋4(eq\r（x)－1)＋3，而eq\r(x）－1≥－1，故所求的函数f（x)＝x2＋4x＋3(x≥－1）．解法2：设t＝eq\r（x)－1，则t≥－1，且eq\r(x)＝t＋1，∴f(t）＝(t＋1）2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3。故所求的函数f(x)＝x2＋4x＋3（x≥－1）．（3）设f(x)＝ax＋b(a≠0),则f[f(x）]＝f（ax＋b）＝a（ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3。∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a2＝4，，ab＋b＝3，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2，，b＝1，)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－2，，b＝－3。）)故所求的函数为f(x）＝2x＋1或f（x)＝－2x－3.(4）∵f(x)－2f（eq\f(1，x））＝3x＋2，①∴f(eq\f(1,x）)－2f（x)＝3·eq\f（1,x）＋2.②①②联立解得f（x)＝－x－eq\f(2，x)－2。故所求的函数f（x）＝－x－eq\f(2,x)－2(x≠0）．规律方法(1）换元法（或配凑法)是求函数解析式的重要方法，若不清楚函数类型，比如已知f[g（x）］的解析式，求f（x)的解析式，可采用配凑法或换元法,配凑法是将f［g（x）]右端的代数式配凑成关于g（x）的形式，进而求出f(x)的解析式;换元法可令g(x)＝t及解出x，即用t表示x,然后代入f［g（x)］中即可求得f(t），从而求得f(x)．（2)待定系数法是求函数解析式的常用方法：若已知函数类型,可用待定系数法求解，若f(x）是一次函数，可设f（x)＝kx＋b（k≠0),若f（x）是二次函数，可设f（x)＝ax2＋bx＋c（a≠0），然后利用题目中的已知条件，列出待定系数的方程组，进而求出待定的系数．(1)设函数f(x)＝2x＋3,g(x＋2）＝f（x），则g（x)的表达式是（B）A．g(x）＝2x＋1 B．g（x)＝2x－1C．g（x)＝2x－3 D．g(x）＝2x＋7(2）求函数的表达式:①求一次函数f(x），使f(f(x））＝9x＋1.②已知f(x－2）＝x2－3x＋1，求f(x）．解：①设所求函数f（x）＝kx＋b（k≠0)，所以f（f（x)）＝f(kx＋b）＝k（kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋1，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（k2＝9,,kb＋b＝1,))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝3，,b＝\f（1,4）))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝－3，,b＝－\f(1,2）。)）所以f（x）＝3x＋eq\f(1，4）或f(x)＝－3x－eq\f(1，2）。②令t＝x－2，所以x＝t＋2代入f（x－2）＝x2－3x＋1,得f（t)＝（t＋2)2－3(t＋2)＋1＝t2＋t－1。所以f（x）＝x2＋x－1.类型四分段函数及应用【例4】已知函数f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－x－1≤x<0，，x20≤x<1，,x1≤x≤2.）)(1）求f（－8），f(－eq\f（2，3)），f（eq\f(1,2））,f(eq\f（3，2))的值;（2）作出函数的简图;（3)求函数的定义域和值域．【思路探究】给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式．（1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值．(2)在不同的区间，依次画出函数图像．【解】函数的定义域为[－1，0)∪[0,1）∪［1,2］＝［－1,2]．（1)因为－8∉［－1，2]，所以f(－8)无意义．因为－1≤x<0时，f（x)＝－x，所以f(－eq\f(2,3)）＝－（－eq\f(2，3）)＝eq\f(2，3)。因为0≤x<1时，f（x)＝x2，所以f（eq\f(1,2）)＝（eq\f（1,2））2＝eq\f(1，4).因为1≤x≤2时,f(x）＝x，所以f(eq\f(3，2)）＝eq\f（3，2）.（2)在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示：(3)由第(2）问中画出的图像可知，函数的定义域为[－1,2］，函数的值域为［0，2]．规律方法1。解答本题第(1)、(2）题时，应注意自变量的取值范围．2．分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．3．画图像时，则应分段分别作出其图像，在作每一段图像时,先不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留定义域内的一段图像即可．（1）设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f（2，x），x>1，））则f（f（3）)＝(D）A。eq\f（1，5)B．3C。eq\f(2,3)D.eq\f(13，9）解析：先求f（3)的值，因3〉1，故用f(x）＝eq\f（2,x)这一段,选D。（2）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x3，x〈0，,－\f(1，x），0≤x<\f(1,2），）)则f(f（eq\f（1,4））)＝－128。解析：f(eq\f（1,4))＝－eq\f(1，\f(1，4））＝－4，则f（f（eq\f（1,4))）＝f（－4）＝－128.(3)已知函数f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，，－2x，x>0，))若f（a）＝10，则实数a＝－3。解析：由f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋1,x≤0，,－2x，x〉0)）及f(a）＝10得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a2＋1＝10，，a≤0))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－2a＝10，，a>0，))解得a＝－3.—-分段函数的求值及解不等式问题—-【例5】已知函数f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－x2＋3，x≤0，，4x，x〉0.））（1)求f（f（－1））；(2）若f（x0）〉2,求x0的取值范围．【审题】抓信息,找思路1．审条件:已知的是函数解析式，且是分段函数．2．建联系：求值、解不等式均需要借助于函数解析式，故理解解析式是关键．3．找思路：求值时关键是看变量所在区间对应的解析式;解不等式时应先求出f(x0)，构造出不等式然后求解．【解析】(1）因为f（－1)＝－（－1）2＋3＝2，所以f（f(－1)）＝f(2）＝4×2＝8。（2)因为x0的范围不确定，故需分x0≤0与x0>0两种情况讨论．当x0≤0时，则f（x0）＝－xeq\o\al(2,0)＋3,即2<－xeq\o\al(2，0）＋3，得－1<x0≤0;当x0>0时，f（x0）＝4x0,即2<4x0，解得x0>eq\f(1,2）.综上所述x0的取值范围是－1<x0≤0或x0〉eq\f(1，2).【小结】1.分段函数意义的理解分段函数是指变量在不同区间上取值时，对应法则不同而构成的函数．所以在分段函数求值时，一定要搞清楚变量所在区间，找准其对应法则．如本例中的(1）求f(－1)应使用x≤0时对应的解析式，而求f(2）时，则使用x>0时对应的解析式．2．分段讨论易忽视的问题(1)解决分段讨论问题时，大前提不要忽视，我们研究问题都是在这个大前提下研究的，如本例中x0≤0是我们解不等式2<－xeq\o\al（2，0）＋3的前提条件，所以解出不等式的解后要和x0≤0取交集．（2）遇到变量范围不确定或含有参数问题时,要有分类讨论的意识，如本例中由于f（x0)>2中x0的范围不确定,故需分两种情况讨论．已知f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（fx＋1,－2〈x<0,，2x＋1，0≤x<2,，x2－1,x≥2.)）（1)求f（－eq\f（3，2））的值；(2）若f（a）＝4且a>0，求实数a的值．解:（1）由题意得，f（－eq\f（3,2）)＝f(－eq\f(3，2)＋1)＝f(－eq\f(1，2)）＝f(－eq\f（1,2)＋1）＝f（eq\f(1,2))＝2.（2)当0<a〈2时，由f(a）＝2a＋1＝4，得a＝eq\f（3，2),当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4，得a＝eq\r(5)或－eq\r(5）(舍去）．综上所述a＝eq\f(3，2）或a＝eq\r（5）。一、选择题1．已知函数f(x)由下表给出，则f（3)等于(D)x1234f(x)－3－2－4－1A.－1 B．－2C．－3 D．－4解析:由表中可知，函数值f(3)＝－4，故选D。2．y＝f（x)的图像如图所示，则函数的定义域是（D）A．［－5,6)B．［－5，0]∪［2，6］C．[－5,0)∪[2,6）D．［－5,0］∪[2，6）解析：根据分段函数定义域的确定原则:将每一段上函数的自变量的范围取并集，即：［－5，0]∪［2，6）．二、填空题3．已知函数f（2x＋1)＝3x＋2，且f（a)＝4，则a＝eq\f（7,3).解析：令2x＋1＝t,则x＝eq\f(t－1,2)，∴f(t)＝eq\f（3,2）t－eq\f（3,2）＋2＝eq\f(3,2）t＋eq\f(1，2),∴f（x)＝eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，又f(a）＝eq\f(3，2)a＋eq\f(1,2）＝4，∴a＝eq\f（7，3）.4．已知f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）x＋1x≤0，－x－12x〉0）)，使f(x)≥－1成立的x的取值范围为［－4,2］．解析:f(x)≥－1可化为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）x＋1≥－1，x≤0))或eq\b\lc\｛\rc\（\a