2020-2021数学第三册课时7.2.2单位圆与三角函数线含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材人教B版数学必修第三册课时分层作业：7.2.2单位圆与三角函数线含解析课时分层作业（四)单位圆与三角函数线（建议用时：40分钟）一、选择题1．(多选题)下列四个命题中,不正确的命题是（)A．α一定时，单位圆中的正弦线一定B．单位圆中，有相同正弦线的角相等C．α和α＋π有相同的正切线D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上BC［由三角函数线的定义AD正确，BC不正确．B中有相同正弦线的角可能不等,如eq\f（5π，6）与eq\f（π，6）；C中当α＝eq\f(π,2)时，α与α＋π都没有正切线．］2．如果eq\f（π,4）<α〈eq\f(π,2），那么下列不等式成立的是（）A．cosα〈sinα〈tanα B．tanα〈sinα〈cosαC．sinα<cosα〈tanα D．cosα〈tanα<sinαA［法一:（特值法)令α＝eq\f（π,3)，则cosα＝eq\f（1，2)，tanα＝eq\r（3），sinα＝eq\f（\r（3），2）,故cosα〈sinα〈tanα。法二：如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线eq\o（MP，\s\up7（→)）、余弦线eq\o(OM，\s\up7（→)）、正切线eq\o（AT,\s\up7(→）），则cosα〈sinα〈tanα.］3．设a〈0,角α的终边与单位圆的交点为P(－3a，4a），那么sinα＋2cosA．eq\f（2，5) B．－eq\f（2,5）C．eq\f(1,5） D．－eq\f（1，5）A［因为点P在单位圆上,则｜OP|＝1。即eq\r(－3a2＋4a2)＝1，解得a＝±eq\f(1,5)。因为a〈0，所以a＝－eq\f(1,5).所以P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，5），－\f(4，5)）)。所以sinα＝－eq\f（4,5)，cosα＝eq\f(3，5).所以sinα＋2cosα＝－eq\f（4,5)＋2×eq\f（3，5）＝eq\f(2，5).]4．有三个命题:①eq\f(π，6)与eq\f(5π，6)的正弦线相等；②eq\f（π，3）与eq\f(4π，3）的正切线相等；③eq\f（π,4）与eq\f（5π,4）的余弦线相等．其中真命题的个数为(）A．1 B．2C．3 D．0B[根据三角函数线定义可知，eq\f（π，6）与eq\f（5π,6）的正弦线相等，eq\f(π,3)与eq\f(4π，3)的正切线相等，eq\f(π，4）与eq\f（5π,4）的余弦线相反．］5．设a＝sin(－1），b＝cos(－1），c＝tan（－1），则有（）A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a〈c<bC［如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线，因为－eq\f(π，3）〈－1〈－eq\f（π,4），所以b＝cos（－1）〉0，a＝sin(－1）〈0，c＝tan(－1）<0，又正切线的长度大于正弦线的长度，所以a〉c，即c<a<B．]二、填空题6．若单位圆中角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．1［角α的终边在y轴上,其正弦线的长度为1。］7．若sinθ≥0，则θ的取值范围是________．［2kπ，2kπ＋π］(k∈Z)[sinθ≥0，如图利用三角函数线可得2kπ≤θ≤2kπ＋π，k∈Z.]8．比较大小：sin1________sineq\f(π，3）（填“>”或“<”）．〈[0〈1〈eq\f(π,3)〈eq\f（π，2）,结合单位圆中的三角函数线知sin1〈sineq\f（π,3）。]三、解答题9．若θ∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3π，4），\f（3π,2）））,求sinθ的取值范围．[解]由图可知sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2)，2），sineq\f（3π,2）＝－1，eq\f(\r（2),2）>sinθ〉－1，即sinθ∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－1,\f(\r(2），2))).10．利用单位圆中的三角函数线,分别确定角θ的取值范围．(1）sinθ≥eq\f（\r（3),2);(2）－eq\f(1，2)≤cosθ<eq\f（\r（3)，2).[解］(1)图(1）中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,即2kπ＋eq\f(π,3）≤θ≤2kπ＋eq\f（2π，3),k∈Z.（2)图(2)中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即2kπ－eq\f(2，3)π≤θ<2kπ－eq\f(π，6）或2kπ＋eq\f（π,6）〈θ≤2kπ＋eq\f(2,3)π,k∈Z.(1）（2)11．（多选题)下列说法正确的是（）A．当角α的终边在x轴上时角α的正切线是一个点B．当角α的终边在y轴上时角α的正切线不存在C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D．余弦线和正切线的始点都是原点ABC［根据三角函数线的概念，A，B，C是正确的,只有D不正确．因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上．］12．点P（sin3－cos3，sin3＋cos3)所在的象限为(）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限D［因为eq\f(5,6）π＜3＜π,作出单位圆如图所示．设MP,OM分别为a，B．sin3＝a＞0，cos3＝b＜0，所以sin3－cos3＞0。因为|MP|＜|OM｜，即|a|＜｜b｜，所以sin3＋cos3＝a＋b＜0。故点P(sin3－cos3，sin3＋cos3）在第四象限．］13．若0<α〈2π，且sinα<eq\f(\r(3），2)，cosα>eq\f（1，2）.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(π，3）)）∪eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（5π,3)，2π）)[利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f（π,3)）)∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5π，3）,2π））。]14．sineq\f（2π，5），coseq\f(6π,5），taneq\f(2π,5)从小到大的顺序是________．coseq\f(6π，5)<sineq\f（2π，5）〈taneq\f（2π,5）［由图可知：coseq\f(6π,5)<0，taneq\f(2π，5)>0，sineq\f（2π,5)〉0。因为|eq\o(MP，\s\up7（→)）｜〈|eq\o(AT，\s\up7(→））｜，所以sineq\f(2π，5）<taneq\f(2π,5).故coseq\f（6π,5)<sineq\f(2π,5）<taneq\f(2π,5).］15．设θ是第二象限角,试比较sineq\f（θ，2）,coseq\f(θ，2），taneq\f(θ，2)的大小．［解］θ是第二象限角,即2kπ＋eq\f（π，2）〈θ〈2kπ＋π（k∈Z），故kπ＋eq\f(π，4）<eq\f（θ，2）<kπ＋eq\f（π，2）(k∈Z)．作出eq\f(θ，2)所在范围如图所示．当2kπ＋eq\f（π，4）<eq\f（θ，2)<2kπ＋eq\f(π，2）(k∈Z)时，coseq\f（θ,2）<sineq\f（θ,2）<taneq\f(θ，2）。当2kπ