圆锥曲线解题技巧和方法综合经典

1.①倾斜角与斜率 ②点到直线的距离 ③夹角公式 B 直线 b上两点A(x,y),B(x,y)间的距离： k2)[( x) 4xx 或 2 1 2k① k1k2=- ②l1//l k2且 标准方程：

y 0且 y ( c) 参数方程： a , b标准方程：x y 1(m 距离式方程： ( y2

F1、F2是椭

y

M足 2则动点M的轨迹是 ABCD ：P在椭圆上时，SF P在双曲线上时，SF

b22 b2 2|PF |PF （其中F , |PF||PF| |PF1||PF2

： 椭圆焦点在x轴上时为 ex0;焦点在y轴上时为 双曲线焦点在x轴上时为e|x0 抛物线焦点在x轴上时为|x p,焦点在y轴上时

|y A

,

B

, ，

x 的

1，

xx xx

kAB一个二次方程，使用判别式 0，以及根与系数的关系，代入弦 ，设曲线上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，将这两点代入曲线方到12两个式子，然后1-2，整体消元 字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y b，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4 5y 80上，且点是椭圆短轴的一个端点（点Ay轴正半轴上）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直 A900，ADBCDD分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标 弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为900可得出AB⊥AC，从而得x1x2 y1y2 14(y1 y2) 0，然后利用联立消元法及交轨法求出点D解：（1）设B（x1,y1）,C(x2, 中点为(x0,y0),F(2,0)则 y

x y

两式作差有( x2)(

x2 ( y2)(

y2 5

4

3

3，由 03 5直线BC的方程为6 5 2)由AB⊥AC得 y1 y2 （设直 方程 5y ， 5k2)x

，x1

5b4

5k

4b4

5k

4

5k

4(舍)或 9 直线过定点（0 4)，设D（x,y），9

9y 9x 所以所求点D的轨迹方程是x

( 9

(20)2(9

4 2CD点E分有向线段AC成的比为CDEAB3

34求双曲线离心率e 立直角坐标系

Cc2

a

22进而求得 ,y

,x

122f(a,b,c, 0，整理f(e, 0，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略,建立目标函数f(a,b,c, 0，整理f 解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，xOyCDy轴因为双曲线经过点C、DA、B为焦点，由双曲线的对称性知C、Dy轴对称依题意，记 c,0，Cc,2

，E

,

，其中c 1|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标cx x c， y a

1 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和 c代入双曲线a 1

2 2 h2 2

1 4 233423132e2347e 7 分析：考虑AE,AC为焦半径,可用焦半径 AE,AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算,达到设而不求的解题策略．解法二：建系同解法一， , exCc 2 E

设 3得，

解 7

C: x

1线l过点 2,0斜率为k当 时，双曲线的上支上有且仅有一点Bl的距离为2k的值及此时点B的坐标。1此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l曲线C相切.0.l k( 2 直线l在l的上方且到直线l的距离 l

2k把直线l的方程代入双曲线方程，消 y，令判别 2 B到直线l的距离为2相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：问

22 22

1简解：设点M(x, x2)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为：2 2k

于是，问题即可转化为如上关于x的方程由于 1，所以 x x

x x 2(k 2 x kx)22

1

2 2k

2

2

由 方程k 1

222

2 2k 2(

0正，故2(k k 1x 2(k 2k 2(k

2 0由如上关于x的方程有唯一解，得其判别 0，就可解 55与整体思维的优越性.例4已知椭圆C:x 2y A、B两点 段AB上取点Q，使

Q . Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.的变化是由直线ABk作为参数，如何将xy与kQAB上；另一方面就是运用题目条件：

AQ来转化.ABP、Q四点共线，不难得到 4(x8

xB(x

xB)

x与k将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利 定理即可如何解决本题，已经做到心中有数. 4(8

xB(x

2xAxBxB)将直线方程代入椭圆方程，消 y，利 定 f利用Q满足直线AB的方程ykx4)+1，消去参数Q k目的不过是得到关于xy的方程（k，则可由k kyx14fkAx1Bx2y2Q(xyAQ4 x1 x2 (x2设直线AB的方程为：k 1，代入椭圆C的方程，消去得出关于x2k 14 4k) 4k) 0（4k ∴ x2k1,x1x4k) 2.1代入（1），化简得：x4 3 k( 1k得：2 4( k（ 64k 0，解得 k4

4 9故知点Q的轨迹方程为：2 （ 2 210 点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、定理模块思维易于想到 .这当中，难点在 2（2

1顺次交于AB

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP

xA筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够 .事实上，所谓求取参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则分析1:从第一条想法入手

xA有两个变量xA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利3个变量——直线AB的斜率k.问题就转化为如何将xAxB为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 出关于x的一元二次方程，其求根 呼之欲出.把直线l的方程ykx+3代入椭圆方程去y得到关于x的一元二次方程k，AP/PB=—（xA/x得到所求量关于k的函数关系由判别式得出k的取值范围简解1：当直线l垂直于x轴时，可求得 1 当l与x轴不垂直时， Ax1,y1,B(x2，y2)，直线l的方程为 3，代入椭圆方程，消去y得9k 4

2因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑 0的2形

2

当 0时，所以 x1

， = =2

5 = 2 2k (54k) 1809k 0,解得k 59所

1 k152:往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k.一般来说，

x1

x1x2. x1,x2的对称关系式把直线l的方程ykx+3代入椭圆方程，消去得到关于x的一元二次方，AP/PB—（xAxB）构造所求量与k的关系式由判别式得出k的取值范关于所求量的不等简解2：设直线l的方程为： 3，代入椭圆方程，消去y9k 4x 则

54k2 2x 1 令 x

2 324 0,可得 59

2

36，所 36，解 55 1得5

1综上， 1 .本题 本思维形式，它是数学求解的 得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用 之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF 1，OF 1．记椭圆的上顶点为M，直线lPQ两点，问：是否lF恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l;由 1， 1，

由F为PQM的重 MF, k 3x 2m x 2y

m

又∵ 1即( c) c2，∴ lP,Q两点，且F恰为PQM则设P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵M(0,1),F(1,0)，故 于是设直线 ， 得 2 ∵ y2( 1)又 得x1( ( m)( 2x ( x 1122 ( 解得m 4或m

1（舍 经检验 3 2,0)、B(2,0)、 2

求椭圆EDEA、B的任意一

F(1,0),H(1,0)当ΔDFH内切圆的面积最大时，求ΔDFH由椭圆经过A、B、C三 mm（Ⅱ）由DFH内切圆面积最 DFH面积最转化为点D的纵坐标的绝对值最大最 DFH面积最大值

S

周长2

3得出D点坐标为 3 0，3 2,0)

、C 2

代入椭圆E

. ,.

∴椭圆E的方 12 4|FH 2，设ΔDFH

2D在椭圆的上顶点时，h最大为3SDFH3设ΔDFH的内切圆的半径为R，因为ΔDFH的周长为定值61S 2R的最大值为3

．所以内切圆圆心的坐标为 3

S2

的周

)及椭圆 3 AB两点若线段AB中点的横坐标 2

AB在xMMAMB点M的坐标；若不存在，请说明理由.

k 将 k( 3 5，消去y整理得 6k2 A(x1，y1)，Bx2y2则

4(3k

1 由线段AB

得

3所以直线AB的方程为 3 0，或 3 0解：假设在x轴上存在点M(m,0)，使 MB为常数 当直线 与 轴不垂直时，由（Ⅰ）

26 ，6

3k2

5 ( k2 MA

(

m)(

1 (k 1)x (k m)( x) k m2将(3)

(2

3

2MA 2m 2

14MA

4.9

是与k无关的常数，从而有 7，此3②AB与xAB 、 时，亦有MA 综上，在x轴上存在定点 73

MA1

为常数 点石成金：MA

2 2

(2 )(332

6 3(3k

14 x轴上，长轴长是短轴长的M（21OMlym（l交椭圆于A、B求m求证直线MA、MBx轴始终围成一个等腰三角形a

2 b2

则

a 2

a b ∵直线lOMy轴上的截距为1KOM12

l的方程为： 1 2 1 x y

2m 1 ∵直线 与椭圆交于A、 两个不同点 解 2,且 MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k设A(x1,y1),B(x2,y2),且 2m, 2 则

,k

2由 2m,x

111(11((22 )1

1 2

(

x2

2 2

( 2)( 0( 0MA、MBx轴始终围成一个等腰三角形 k 例10、已知双曲线a

b

3

A(a,0), b) 32已知直线y 0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.（1）a

3

AB：a

1b 3a b 1, 3 x3

y 1（2）把 k 5代入x 3y 中消 y，整理 3k2)x 0设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则x1 x2 15k kx 0k

y x

3k 1k

3k ky 即15即2

5 0,又 0 k 2 3 32k=±7点石成金:C，D都在以B为圆心的圆 11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C（II）ly=kxm与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点）ABC直线l过定点，并求出该定点的坐标．（Ⅰ）

x

0)a b由已知得： xy22 a343（II）Ax1y1)Bx2y2) 联立 得 4k2) 64m2k 4k2)(m 0，即 4k

，2， 4( 又y