人教A版（2022）必修一2.2基本不等式

人教A版（2022）必修一2.2基本不等式一、单选题1.已知实数x,y满足x>y>0，且x+y=1，则2x+3yA.

103

B.

32+2

C.

2.若正数a,b满足a+b=6，则ab的最大值为（

）A.

5

B.

6

C.

7

D.

93.设x、y、z>0，a=x+1y，b=y+1z，c=z+1x，则A.

都小于2

B.

至少有一个不大于2

C.

都大于2

D.

至少有一个不小于24.已知x>0,y>0，2x+3y=1，则4xA.

8

B.

6

C.

22

D.

5.若两个正实数x,y满足1x+4y=1，且不等式xA.

(−1,4)

B.

(−∞,−1)∪(4,+∞)

C.

(−4,1)

D.

(−∞,0)∪(3,+∞)6.已知不等式(x+y)(1A.

8

B.

6

C.

4

D.

27.如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（

）A.

ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

B.

ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

C.

ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

D.

ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一8.已知实数a>0,b>1满足a+b＝5，则2aA.

3+224

B.

3+424二、多选题9.若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式,其中正确的有（

）A.

ab≤1

B.

a+b≤2

C.

10.下列说法正确的是（

）.A.

若x,y>0，x+y=2，则2x+2y的最大值为4

B.

若x<12，则函数y=2x+12x−1的最大值为-1

C.

若x,y>0，11.设a,b∈R，则下列不等式一定成立的是（

）A.

a2+b2≥2ab

B.

a+112.已知正数a，b满足a+b=4，ab的最大值为t，不等式x2A.

t=2

B.

t=4

C.

M={x|−4<x<1}

D.

M={x|−1<x<4}三、填空题13.已知a>0, b>0，且ab=1，则14.已知5x2y15.若正数a,b满足a+b=1，则9a16.己知x>0，y>0，且2x+117.若正数a，b满足ab=2a+2b+5，则ab的最小值是________．18.已知x>0，y>0，x+3y+2xy=36，则x+3y的最小值为________．19.已知a>0,b>0,c>0，若点P(a,b)在直线x+y+c=2上，则4a+b20.已知x>0，y>0，且2x+8y−xy=0，若不等式a≤x+y恒成立，则实数a的范围是________.四、解答题21.已知x>1，y>1，且x+y=4，求证：y222.已知x>0，y>0，x+y=1，（1）求x+（2）求1x23.已知a,b,c都是正数，求证：（1）a2（2）12a24.已知正实数a，b满足a+b=4.（1）求1a（2）证明：(a+125.

（1）已知x<54，求函数（2）已知x，y∈R＊(正实数集)，且1x（3）已知a>0，b>0，且a2+b

答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】2x+3y≥1当且仅当2(x−y)x+3y故答案为：B【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.2.【答案】D【解析】依题意ab≤(a+b2)2故答案为：D【分析】利用基本不等式求得ab的最大值.3.【答案】D【解析】由基本不等式得a+b+c=(x+1y)+(y+当且仅当x=y=z=1时，等号成立，因此，若a、b、c三数都小于2，则a+b+c<6与a+b+c≥6矛盾，即a、b、c三数至少有一个不小于2，故选D.【分析】利用基本不等式计算出a+b+c≥6，于此可得出结论.4.【答案】C【解析】∵x>0，y>0，2x+3y=1，∴4x+8y=22x+2

故答案为：C【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解4x5.【答案】B【解析】正实数x，y满足1x+4当且仅当y=4x=8，x+y由xx+y4<m2−3m有解，可得故答案为：B．【分析】不等式x+y4<m26.【答案】C【解析】∵(x+y)(1若xy<0，则yx<0，从而若xy>0，则yx>0，①当a<0时，axy②当a=0时，axy+y③当a>0时，(x+y)(1当且仅当y=a所以，(a+1)2≥9，解得a≥4，因此，实数故答案为：C.【分析】由题意可知，[(x+y)(1x+7.【答案】A【解析】∵4=a+b≥2ab∴当且仅当a=b=2等号成立，∵4=cd≤(c+d2∴当且仅当c=d=2等号成立，∴ab≤c+d且a=b=c=d=2等号成立故答案为：A【分析】利用基本不等式及等号成立的条件即可得到.8.【答案】A【解析】解：因为a>0,b>1满足a+b＝5，则2=1当且仅当2(b−1)a故选：A．【分析】所求2a+1b−1的分母特征，利用a+b＝5变形构造二、多选题9.【答案】A,C,D【解析】由题：a>0,b>0,a+b=2由基本不等式可得：ab≤(当a=b=1时，a+a2+b即a2因为0<ab≤(a+b即1a故答案为：ACD【分析】依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项.10.【答案】B,D【解析】对于A，取x=32,y=对于B，y=2x+12x−1=−(1−2x+对于C，取x=2,y=13满足等式，此时对于D，y=≥24+5=9，当故答案为：BD【分析】依次判断每个选项，通过特殊值排除AC和利用均值不等式计算得到答案.11.【答案】A,C,D【解析】A.当a,b∈R时，a2B.当a>0时，a+1a≥2，等号成立的条件是a=1，当a<0时，a+C.当b∈R时，b2+1−2b=(b−1)2D.|ba|>0,|ab|>0，所以故答案为：ACD【分析】逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立.12.【答案】B,C【解析】∵正数a，b满足a+b=4，∴ab≤(a+b2)2=4，即∵x2+3x−4<0的解集为M，∴故答案为：BC.【分析】由基本不等式ab≤(a+b2)2三、填空题13.【答案】4【解析】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴1=a+b2+结合ab=1,解得a=2−3,b=2+3故答案为：4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为a+b214.【答案】45【解析】∵5x∴y≠0且x∴x2+y2=∴x2+y故答案为：45【分析】根据题设条件可得x2=1−15.【答案】16【解析】依题意(9当且仅当9ba=ab，即a=3故答案为：16【分析】利用基本不等式求得9a16.【答案】[−3【解析】因为2x+y=12(即x=y=32时等号成立，所以m2故答案为：[−【分析】利用“1”的替换求出2x+y的最小值92，再解不等式m17.【答案】25【解析】依题意a,b为正数，且ab=2a+2b+5≥24ab所以ab−4ab即(ab−5)(ab+1)≥0，当且仅当a=b=5时等号成立.所以ab的最小值是25.故答案为：25【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此即可求得ab的最小值.18.【答案】12【解析】由x+3y+2xy=36得出y=36−x令t=3+2x，t>3，则x=∴y=∴x+3y=当且仅当75×32t=t∴x+3y的最小值为12故答案为：12【分析】利用换元法，令t=3+2x，得出x+3y=75×32t+19.【答案】2+22【解析】∵P(a,b)在x+y+c=2上，∴a+b+c=2，a+b=2−c>0，4a+b+a+b设{2−c=mc=n，则4=3+2n当m2=2n∴4即4a+b+a+bc的最小值为【分析】由P(a,b)在直线x+y+c=2上，可得a+b=2−c>0，设{2−c=mc=n，则m+n=2，原式化为20.【答案】a≤18【解析】∵2x+8y−xy=0∴y=又∵x>0，y>0，∴x−8>0那么x+y=x+当且仅当x=12，y=6时取等号．不等式a⩽x+y恒成立，所以a⩽18．故答案为：a⩽18．【分析】利用消元法，消去其中一个参数后，利用基本不等式求解最小值．四、解答题21.【答案】证明：设x−1=m，y−1=n，因为x>1，y>1，所以m>0，n>0，且m+n=x+y−2=2，∴y当且仅当m=n=1，即x=y=2时，上述等号成立，原命题得证．【分析】设x−1=m，y−1=n，可得出m+n=2，然后利用基本不等式可证得y222.【答案】（1）解：法一：(x+y因此1+2xy≤2，∴因此x+y的最大值为2，当且仅当法二：∵(x∴x+y≤因此x+y的最大值为

（2）解：(1当且仅当yx=9xy，即因此1x【分析】（1）利用结论a2+b22≥(a+b223.【答案】（1）解：∵a>0,b>0,c>0，∴a2b+b⩾2同理可得，b2∴a2b+b+

（2）解：因为a>0,b>0,c>0，所以12当且仅当a=b时等号成立，同理可得12(1∴12即12a【分析】（1）因为a2b+b⩾2a2b⋅b=2a，同理可得，24.【答案】（1）解：因为a+b=4，所以1a因为a>0，b>0，所以ba+4ab⩾4所以14

（2）证明：(a+1因为a+b=4，所以1a故(a+1a)【分析】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.25.【