实验四微分方程数值解

MM实验四

微分方数值解及应一引在世纪末英国人马萨斯在出版的一本著中对人口量的长趋势进了模拟，提了人口指数增长模，导致后会出现人数量超地球的受容量，即口爆炸题。虽然马萨斯人模拟忽略了些人口长的重因素，但是为以后口模型的改提供了础，下面将绍著名马尔萨人口模型及进。马尔萨认为：单位间内，口的出生数和死亡量与人口总成正比，即人口出率和死率都是常数因此人的净增长率常数。设时刻t的人口数量为

()

，人口生率为，死亡率为，则有

，从而

t

bp

，其中：

称为净长率（常数因此马萨斯人口模如下：

kp

，

p。该微积方程初值问的解析：p0

k(t)

。用此模预测某国1850人口数量误差为1900年人数量的误差为2000年人数量的误差，2050将达80多个亿。该型对于长期测不合理。针对马萨斯人口模的不足1837年兰生物家Verhulst出了如下改进：由于源的限制，口存在大值极限）

M

。因此人口增长率应该是数，假设增率是随着人数量接而线性递：r从而得改进后的人模型为

，

r(p)p

，

0

0

，称为逻辑斯谛增长模型。刻画世千变万化的律，微方程是最有的工具/

。为了求的近似[,x]n。为了求的近似[,x]n'二、微方程的数值法讨论一微分方程的值问题dydx

(xy),y(x)

，（1）或一阶分方程组的值问题

(tt)0其中

)是向量数，

t

为自变。微分方的数值解法基本原：引入自量的取值点

，定义

n

，称步长，用等间距n的步长（与无关，记，假设精解为

y(xn值y，根据定的原，结当前得的近似解，似地表该点或前一的n导数值由此推出计y的迭代公。n1欧拉方法欧拉方是一种简单求解初问题的数值近方法其基本思路：对方程1，小区间

上，用商

y(x)）nn

代替导，1用左端点替换函数

f,)

中的，得到程（）的近似达式y(x)(x)y())nn设

nn

，则

y)n

的近似为y(x,),0,1,nn

（2其中

x,为初始称为显示拉公式也称向前欧公式。向前欧法简单易于算，但度却不高，敛速度。2用右端点

替换函

f)

中的，n

,ynnnn

（3）其中

x,为初始称为隐示拉公式也称向后欧公式。这是一非线性方程无法直计算

。在计精度、收敛度方面向前/

2n22n2欧拉算相同。3将（）式与3式加以均，得到1[(,yf(x,)],n

（4）称为梯公式。与前个方法比，该方法计算精高、收敛速快。但代计算(式一样繁！4改进的欧拉式：先由公（2）算出式（的右端作为校，即(x,)n

的预测，然后带梯形公n

h[f(x,),f(xy)],nnn

（5）称为改的欧拉公式还可以为

hy(k),2f(,f(xy)n1

(6)人们常的是向前欧公式和进的欧拉公。且欧法可以推广求解微方程组情形。练习用上述法求微分方初值题要求：步长

0.1和

，分别三种数值解求解，结合其精确解，对解误差进行析比较首先用析法得到其确解。其次用值解法向前欧算法

(0.1)迭代公为向后欧算法

yy,yn迭代公为ynyn

y将它变形为nnn0,1,,ynn0/

ppnn22n2261nn2nppnn22n2261nn2nn2龙格-库塔方龙格塔方法简称法，是利用泰展式将

(

在处展开，并取其面若干项来似

x

而得到式(x()(,y(),h)如果

(n

，则

y(x)n

的近似为)()n

(,,0,1,n若yx)(x),h)]

p

则称以迭代公式为

阶公式的大小决误差的低，高阶高度。要到一个

阶公式关键在于如选取

(x(x),h

使之满界的要求。2-阶式中点公

1,k(xhk(x,n1n改进的拉公式1(xk(,y)n1nn3-公式1y(k),n12311k(x,y),(xh,k22k(x,)3nn124-公式/

61nnnn161nnnn121y(k),nn1411khf(yhf(xh,yk22k(xy),k(xy)3n124n3在MATLAB软件中含有数值求的系统数，其实现理就是格库塔方法。三实作1求下列微分程的解解。1)阶线性方'x2)阶线性齐方程y3y03)阶线性非次方程2.用两种方求解方程

y'''yy3sinx.x

2)

xx3.(摆运动近似析解)当单摆初始角度从，单摆动微分程可近似写

较小时

也较小

(0)

求此方的解析解，与数值进行比较。4.用题鱼雷击舰问题一敌舰某海域内沿北方向行时，我战舰恰位于舰的正方向1nmail处。舰向敌发射制导鱼，敌舰度为0.42nmail/min,鱼雷速为敌舰速的倍，问敌舰航行远时将击中？求解列问题a)建立微分方程模，并求析解和数值。b)用计算机模的方法模拟追击敌的过程。绘模拟追曲线及列表给出同时刻鱼雷敌舰的置。提示：现追击过进行模拟，两个动的距小于0.02n）时，则认为我P点已经上敌舰点。拟过程实际是产生面上两个点：P

k

和

Q,0,12....k

的过程MATLAB程如下P=[0,0];dt=2;v0=0.42/60;v1=2*v0;%置初始数据/

t,,00

fort=t+dt;q=[1v0*t];u(k)=1;v(k)=q(2);%计Q

点在

t

k

时刻的标w=q-p;d=