2021-2022学年北京市海淀区师达中学八年级（下）期中数学试卷（解析版）

第=page22页，共=sectionpages22页2021-2022学年北京市海淀区师达中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，共20分）下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )A.1.5 B.12 C.13 D.计算(2)2的结果为A.2 B.4 C.2 D.2以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是(    )A.2，3，4 B.2，3，2 C.6，8，10 D.1，2，5如图，数轴上点B表示的数为1，AB⊥OB，且AB=OB，以原点O为圆心，OA为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C所表示的数为(    )A.2 B.−2 C.2−1 D.在▱ABCD中，∠A：∠B=2：3，则∠C的度数为(    )A.36° B.72° C.108° D.144°如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为(    )A.3

B.6

C.32

D.3如图，长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别是18，2，则图中阴影部分的面积为(    )A.4

B.9

C.6

D.42如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分线交BC于点E，则BE的长为(    )A.1

B.2

C.3

D.4如图，四边形ABCD中，E、F分别是AB，CD边的中点，G、H分别是对角线BD，AC的中点，若EG=6，则线段FH的长是(    )A.3

B.4

C.6

D.12如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6.沿着中线AD将△ABC剪开得到两个直角三角形，然后再将这两个直角三角形拼成一个平行四边形(无缝隙不重叠)，则所拼成的平行四边形的周长不可能是(    )A.12 B.14 C.16 D.18二、填空题（共8小题，共24分）若x+2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．用一组m，n的值说明命题“如果m2=n2，那么m=n”是假命题，这组值可以是m=______，n=如图，平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，AB=AC=5，B(−3,0)，点D在第一象限，则点D的坐标是______．图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1+S《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？

如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为______．当x=23−1，代数式x2+2x+3的值是如图，▱ABCD的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是▱ABCD四条边上不重合的点．下列条件能判定四边形MNPQ是平行四边形的有______(填序号)．

①AQ=CN，AM=CP；

②MP，NQ均经过点O；

③NQ经过点O，AQ=CN．如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,2)，B(2,1)，点P(x,0)是x轴上的一个动点．

(1)用含x的式子表示线段PA的长是______；

(2)结合图形，判断式子(x+2)2+4+(2−x三、解答题（共9小题，共56分）计算：

(1)27+3−13下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ，使得PQ/​/l．

作法：如图，

①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；

②在直线l上取一点C(不与点A重合)，作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；

③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明．

证明：∵AB=______，CB=______，

∴PQ//l(______)(填推理的依据)．

如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是BC，AD边上的点，且BE=DF．

求证：AE=CF．

如图，在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，设每个小正方形的边长为1.以格点为顶点分别按下列要求画图．

(1)在图1中，画一个直角三角形ABC，使它的斜边长为5；

(2)在图2中，画一个等腰三角形ABC，使它的底边长为2，腰长为5；

(3)在图3中，画一个等腰直角三角形ABC，使它斜边长为25．

如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，AD=4，CD=26，求∠BAD的度数．

我们规定用(a,b)表示一对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b(其中a>0，b>0)，将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“和谐数对”．

例如：(4,1)的一对“和谐数对”为(12,1)和(1,12).

(1)数对(16,5)的一对“和谐数对”是______；

(2)若数对(3,m)的一对“和谐数对”相同，则m的值为______；

(3)若数对(x,y)的一个“和谐数对”是(如图，点E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形．

(2)若AB⊥BF，AB=4，BF=3，AC=8．

①线段EF长为______．

②四边形BEDF的面积为______．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE/​/BC分别交AB于D，交AC于E.已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明发现，过点E作EF/​/DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)．

请回答：BC+DE的值为______．

参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．

27.在△ABC中，CD为AB边上的中线，点E在边AB上(不与点D重合)，若∠CED=90°，那么线段CD的中点P称为△ABC关于AB的“斜等点”(如图1所示)．

在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A与原点O重合，点B的坐标为(2t,0)(t>0)，点C在x轴上方．

(1)当t=2时，若存在△ABC关于AB的“斜等点”点P，

①下列各点中，符合题意的点C可能是______(不必写出坐标)．

C1(−3,2)，C2(0,23)，C3(2,4)，C4(4,2)．

②设△ABC关于AB的“斜等点”P的坐标为(m,n)，若CD=4，则m的取值范围是______，n的取值范围是______．

(2)若△ABC关于AB的“斜等点”P1.【答案】D解：A、原式=32=62，不符合题意；

B、原式=23，不符合题意；

C、原式=33，不符合题意；

D、原式为最简二次根式，符合题意．

2.【答案】A解：原式=2，

故选：A．

根据二次根式的性质即可求出答案．

本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

3.【答案】C解：A、∵22+32=4+9=13，42=16，

∴22+32≠42，

∴以三条线段2，3，4为边不能组成直角三角形，

故A不符合题意；

B、∵(2)2+(3)2=2+3=5，22=4，

∴(2)2+(3)2≠22，

∴以三条线段2，3，2为边不能组成直角三角形，

故B不符合题意；

C、∵62+82=36+64=100，102=100，

∴624.【答案】A解：如图，在Rt△AOB中，AB=OB=1，则OA=OB2+AB2=12+12=2．

∵以O为圆心，以OA为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，

∴OC=OA=2，

5.【答案】B解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C．

∵∠A：∠B=2：3

∴∠B=32∠A．

∴∠A+32∠A=180°．

解得：∠A=72°，∠B=108°．

∴∠C=∠A=72°．

故选：B．

由平行四边形的性质可得∠A+∠B=180°，∠A=∠C6.【答案】D解：在等边△ABC中，

∵AD⊥BC，

∴D为BC的中点，

∵等边三角形的边长为6，

∴AB=6，BD=3，

根据勾股定理，得AD=62−32=33，

故选：D．

根据等边三角形的性质可知D是7.【答案】A解：∵两个小正方形的面积分别是18，2，

∴AD=18+2=32+2=42，AB=18=32，

∴阴影部分的长为：32−2=22，宽为：2，

∴图中阴影部分的面积为：228.【答案】B解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=8，CD=AB=6，AD//BC，

∴∠ADE=∠DEC，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE，

∴∠CDE=∠DEC，

∴EC=CD=6，

∴BE=BC−EC=2．

故选：B．

由四边形ABCD是平行四边形，可得BC=AD=8，CD=AB=6，AD//BC，得∠ADE=∠DEC，又由DE平分∠ADC，可得∠CDE=∠DEC，根据等角对等边，可得EC=CD=6，所以求得BE=BC−EC=2．

此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理．解决本题的关键是注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形．

9.【答案】C解：∵E、G分别是AB，DB边的中点，

∴AD=2EG=12，

∵F、H分别是CD，CA边的中点，

∴FH=12AD=6，

故选：C．

根据三角形中位线定理解答即可．10.【答案】A解：过点A作AD⊥BC于点D，

∵AB=AC=5，BC=6，

∴BD=DC=3，故AD=4，

如图1所示：AB=DE=5，AD=EB=4，

则平行四边形ABDE的周长为：18；

如图2所示：EB=DA=4，AE=DB=3，

则平行四边形ABDE的周长为：14；

如图3所示：AB=DE=5，AE=DB=3，

则平行四边形ABDE的周长为：16；

综上所述：用这两个三角形拼成平行四边形，则其周长为：14或16或18．

故选：A．

根据等腰三角形的性质以及平行四边形的判定，可以动手拼凑，得出答案．

此题主要考查了平行四边形的判定以及等腰三角形的性质，通过动手操作得出答案是解决问题的关键．

11.【答案】x≥−2解：∵x+2在实数范围内有意义，

∴x+2≥0，

解得：x≥−2．

故答案为：x≥−2．

直接利用二次根式的定义得出答案．

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．12.【答案】−1

1解：若m=−1，n=1，则(−1)2=12，

但m≠n，

故命题“如果m2=n2，那么m=n”是假命题，

故答案为：−1，1．

当m=−1，n=1时，m，n满足m213.【答案】(6,4)解：∵AB=AC=5，OA⊥BC，

∴BO=OC=3，

∴BC=6，OA=4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=6，

∴点D的坐标为(6,4)，

故答案为：(6,4)．

根据等腰三角形的性质得出BO=OC，再利用平行四边形的对边相等解答即可．

本题考查了平行四边形的性质，同时考查了坐标与图形特点，关键是根据等腰三角形的性质得出BO=OC解答．

14.【答案】16解：如图，∵△ABC是直角三角形，

∴S1+S2=BC2+AC15.【答案】x解：∵竹子原高一丈(1丈=10尺)，折断处离地面的高度为x尺，

∴竹梢到折断处的长度为(10−x)尺．

依题意得：x2+32=(10−x)2．

故答案为：x2+316.【答案】25解：x2+2x+3=(x+1)2+2，

∵x=23−1，

∴x2+2x+3=(x+117.【答案】①②解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB/​/CD，AB=CD，AD//BC，AD=BC，OB=OD，OA=OC，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，

①∵AQ=CN，AM=CP，

∴DQ=BN，BM=DP，

∴△AMQ≌△CPN(SAS)，△BMN≌△DPQ(SAS)，

∴MQ=NP，MN=PQ，

则四边形MNPQ是平行四边形；

故①能判定四边形MNPQ是平行四边形；

②∵▱ABCD的对角线交于点O，MP，NQ均经过点O，

∴OQ=ON，OP=OM，

则四边形MNPQ是平行四边形；

故②能判定四边形MNPQ是平行四边形；

③NQ经过点O，AQ=CN.M，P的位置未知，

故③不能判定四边形MNPQ是平行四边形；

综上所述：能判定四边形MNPQ是平行四边形的有①②．

故答案为：①②．

若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②③不能证明对角线互相平分，只有①④可以，即可得出结论．

本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

18.【答案】22+(x+2解：(1)PA=22+(x+2)2，

故答案为：22+(x+2)2；

(2)由图形可得式子(x+2)2+4+(2−x)2+1表示PA+PB，

如图，作点B关于x轴的对称点C，连接AC，

根据对称性可得PA+PB的最小值即线段AC的长，

由两点间的距离公式可得PA+PB=AC=(2+2)2+(2+1)2=5．

故答案为：5．

(1)由两点间的距离公式可得答案；

19.【答案】解：(1)27+3−13

=33+3−33

=11【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；

(2)利用平方差公式，进行计算即可解答．

本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．

20.【答案】解：(1)(1)直线PQ如图所示；

(2)AP，CQ，三角形中位线定理．【解析】解：(1)见答案；

(2)证明：∵AB=AP，CB=CQ，

∴PQ//l(三角形中位线定理)．

故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理．

【分析】

(1)根据题目要求作出图形即可；

(2)利用三角形中位线定理证明即可；

本题考查作图−复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD/​/BC，且AD=BC，

又BE=DF，

∴AF/​/EC，且AF=EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE=CF．【解析】由平行四边形ABCD，则可得AD//BC，且AD=BC，又有BE=DF，则可得AF/​/EC，且AF=EC，即可得四边形AECF是平行四边形，进而可得出AE=CF．

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．

22.【答案】解：(1)如图1中，△ABC即为所求；

(2)如图2中，△ABC即为所求；

(3)如图3中，△ABC即为所求．

【解析】(1)根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；

(2)根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可；

(3)根据等腰直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；

本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

23.【答案】解：连接AC，

∵∠B=90°，AB=BC=2，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

AC=AB2+BC2=22+22=22，

∵AD=4，CD=26，

∴AD2+AC2=24.【答案】(14,5)和(5解：(1)∵m=116=14，n=5，

∴数对(16,5)的一对“和谐数对”是(14,5)和(5,14)，

故答案为：(14,5)和(5,14)；

(2)∵数对(3,m)的一对“和谐数对”相同，

∴13=m

∴m=13；

故答案为：13；

(3)∵数对(x,y)的一个“和谐数对”是(2,1)25.【答案】2

24【解析】(1)证明：连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵AE=CF，

∴OE=OF，

∵OB=OD，

∴四边形BEDF是平行四边形；

(2)解：①在Rt△ABF中，AF=AB2+BF2=42+32=5，

∵AC=8，

∴CF=AC−AF=8−5=3，

∵AE=CF，

∴EF=AF−AE=2，

故答案为：2；

②过点B作BH⊥AF于H，

∵AB⊥BF，AB=4，BF=3，AF=5，

∴S△ABF=12AB⋅BF=12AF⋅BH，

∴3×4=5BH，解得BH=125，

∵四边形BEDF是平行四边形，

∴BE=DF，BF=DE，

在△BEF和△DFE中，

BE=DFBF=DEEF=FE，

∴△BEF≌△DFE(SSS)，

∴S△BEF=S△DFE，

∴S四边形BEDF=2S△BEF=2×12×2×125=245．

故答案为：245．26.【答案】34解：∵DE/​/BC，EF/​/DC，

∴四边形DCFE是平行四边形，

∴EF=CD=3，CF=DE，

∵CD⊥BE，

∴EF⊥BE，

∴BC+DE=BC+CF=BF=BE2+EF2=52+32=34；

故答案为：34；

解决问题：连接AE，CE，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB/​/DC．

∵四边形ABEF是矩形，

∴AB/​/FE，BF=AE．

∴DC/​/FE．

∴四边形DCEF是平行四边形．

∴CE/​/DF．

∵AC=BF=DF，

∴AC=AE=CE．

∴△