2022-2023学年广西钦州市高一年级上册学期期末教学质量监测数学试题【含答案】

2022-2023学年广西钦州市高一上学期期末教学质量监测数学试题一、单选题1．一个笼子里有只白兔，只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果.【详解】设只白兔为，只灰兔为，则所有基本事件为：，，,,,,,,,,共有个，其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有：,,,,,,共个，所以所求事件的概率为：.故选：A2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】化简集合A,B，根据补集、交集运算即可求解.【详解】因为，，所以，.故选：A3．当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域其中正确的选项是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解.【详解】对于①，当且时，所以是任何数域的元素，①正确；对于②，当时，且时，由数域定义知，所以1+1=2，1+2=3......1+2018=2019，故选项②正确；对于③，当时，,故选项③错误；对于④，如果，，则则，，,且时，,所以有理数集是一个数域.故选：A4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函数的单调性，再结合高斯函数的特点即可求解.【详解】，所以，所以函数在单调递减，在单调递增，所以==,又,,所以的值域为.故选：B.5．定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】根据定义，逐个分析的取值情况，由此得到的取值情况，从而集合可确定，则集合中所有元素的和可求.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；所以，所以中所有元素之和为，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解的运算方法，由此采用逐个列举的方法可完成结果的求解.6．若直角坐标平面内的两点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（

）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【答案】C【分析】由题意，设点，则的坐标为，结合，转化为此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，从而作图解答【详解】解：由题意，设点，则的坐标为，因为，所以此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，作与的图像如图所示，两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对故选：C【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题7．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数被称为狄利克雷函数,其中R为实数集,Q为有理数集,以下命题正确的个数是下面给出关于狄利克雷函数f(x)的五个结论:①对于任意的x∈R,都有f(f(x))=1;②函数f(x)偶函数;③函数f(x)的值域是{0,1};④若T≠0且T为有理数,则f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立;⑤在f(x)图象上存在不同的三个点A,B,C,使得△ABC为等边角形.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】①分，两种情况从内到外，利用求值判断.②分，两种情况，利用奇偶性定义判断.③当时，；当时，判断.④分，两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取，判断.【详解】①当时，，则；当时，，则，所以对于任意的x∈R，都有f(f(x))=1;故正确.②当时，，；当时，，，所以函数f(x)偶函数;故正确.③当时，；当时，，所以函数f(x)的值域是{0，1};故正确.④当时，因为T≠0且T为有理数，所以，则f(x+T)=1=f(x)；当时，因为T≠0且T为有理数，所以，则f(x+T)=0=f(x)，所以对任意的x∈R恒成立;故正确.⑤取，构成以为边长的等边三角形，故正确.故选：D【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.8．设函数，若，则A．3 B． C．或1 D．或1【答案】B【分析】由分段函数的解析式，根据分段条件，列出方程，即可求解．【详解】由题意，函数，且，当时，即，解得；当时，即，解得或（舍去），综上可知的值为，故选B．【点睛】本题主要考查了分段的解析式，以及分段函数的求参数问题，其中解答中合理利用分段函数的解析式，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）A．30 B．25 C．20 D．15【答案】C【详解】抽取比例为,，抽取数量为20,故选C.10．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】借用0，1进行比较大小，简单判断即可.【详解】因为，，，所以.故选：B11．函数的定义域是（

）A． B．C．且 D．且【答案】D【解析】根据函数解析式的性质求定义域即可.【详解】由函数解析式，知：，解之得：且，故选：D【点睛】本题考查了求具体函数的定义域，根据分式的分母不为零，根式的双重非负性求定义域，属于简单题.12．设集合，若，则A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，且易知a>0，所以b=0，所以a=1.所以M={3，0}，N={1，0}，所以M∪N={3，0，1}.故选B．【名师点睛】解答本题时，要注意题目中的隐含条件，对数中的真数a>0，所以对于集合N中的元素就没有必要分a=0和b=0两种情况进行讨论，所以首先可以根据和交集的概念求出b的值，再求出a的值，最后求出M∪N，这样大大提高了解题效率.二、填空题13．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.【答案】0.21##【分析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，利用互斥事件加法列出方程组即可求解.【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C则，则故答案为：0.2114．某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关．现有一位参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率分别为，，则该参加者有资格闯第三关的概率为________．【答案】【分析】根据参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率求出参加游戏者单独闯第一、第二关都失败的概率，即可求出该参加者有资格闯第三关的概率.【详解】解：由题意，参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率分别为，，∴参加游戏者单独闯第一、第二关都失败的概率为：∵闯关游戏前两关至少过一关才有资格闯第三关，∴该参加者有资格闯第三关的概率为：故答案为：.15．若点在函数的图像上，点在的反函数图像上，则__________．【答案】【分析】根据已知条件求出原函数，在求出对应的反函数，将点代入表达式中求出参数即可.【详解】因为点在函数的图像上，所以,计算得，又且，所以，所以，所以的反函数为，又因为点在图像上，所以，得，故答案为：.16．光线通过一块玻璃，强度损失10%，那么至少遇过___________块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来以下.【答案】16【分析】经过第块玻璃板后其光线的强度变为原来的，再根据求解即可【详解】由题得经过第块玻璃板后，其光线的强度变为原来的，由.，可得.所以取16.故答案为：16三、解答题17．如图，已知，，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P作BC的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为Ω，设，Ω的面积为，Ω的周长为．（1）求和的解析式；（2）记，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）作的高，当时，根据，计算得到与；从而计算和；当时根据，计算得到，，从而计算和；（2）根据（1）的结果分别计算和时的最值，再比较大小可得.【详解】（1）作的高，，，当，，所以，，，.当，，所以，，；（2）当，，最大值为.当时，，当且仅当时，有最大值，又，故最大值为．【点睛】本题考查分段函数以及分段函数的最值问题，解决这类问题需要注意：（1）在实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.（2）求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．18．已知定义在R上的函数是奇函数.（1）求实数a的值；（2）解方程；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用奇函数的性质，，求实数的值；（2）首先设，先解，再解的值；（3）首先判断函数的单调性，再结合函数是奇函数，变形为在上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值.【详解】，经检验时，对任意，都有，故.由得，令得，因为单调递增，所以单调递减，即单调递减得因为是奇函数，所以所以在上恒成立令得，，令，在单调递减，在单调递增.所以.【点睛】方法点睛：本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，1.若函数是奇函数，首先确定函数在给定区间的单调性，然后将不等式转化为的形式，最后运用函数的单调性去掉“”，转化为一般不等式求解；2.若函数是偶函数，利用偶函数的性质，将不等式转化为，再利用函数在的单调性，去掉“”，转化为一般不等式求解.19．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，设，且，求（用表示）；（3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，3.【分析】（1）时，不等式即，解不等式可得结果；（2）依题意得，进而由换底公式和对数的运算性质可得结果；（3）依题意得在区间上有解；令，则，因此求得的最大值即可求得结果.【详解】（1）当时，故，所以不等式的解集为；（2）当时，，，.（3）在（2）的条件下，不等式化为，即在区间上有解.令，则，，，，又是正整数，故的最大值为3.20．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为产量的函数.（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；（3）产量为多少时，企业所得利润最大？【答案】（1）；（2）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本；（3）年产量为475台时，企业所得利润最大.【分析】（1）依题意对与分类讨论，分别求出函数解析式，再写成分段函数形式即可；（2）要使企业不亏本，则，根据（1）中函数解析式分类讨论，分别解得即可；（3）根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）设利润为y万元，当时，，当时，综上可得；

（2）要使企业不亏本，则.即或得或，即.即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.（3）显然当时，企业会获得最大利润，此时，，，即年产量为475台时，企业所得利润最大.21．已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.(1)若满足性质，且，求的值；(2)若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）(3)若函数满足性质，求证：函数存在零点.【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；（2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.【详解】（1）因为满足性质，所以对于任意的x，恒成立.又因为，所以，，，由可得，由可得，所以，.（2）若正数满足，等价于，记，显然，，因为，所以，，即.因为的图像连续不断，所以存在，使得，因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.（3）若，则1即为零点；因为，若，则，矛盾，故，若，则，，，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，若，则由，可得，由，可得，由，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，综上，函数存在零点.22．某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如右图所示．(1)求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数）；(2)根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；(3)决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为，，媒体得分的平均数和方差分别为，，大众得分的平均数和方差分别为，，将这30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手