浅谈“几何概型”

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几何概型是一种特殊的随机事情概率模型，是概率问题图形化处理的过程。采用数形结合的方式将概率与几何精细联系起来，为概率研究供给了新方法。因此，几何概型将成为新一轮高考的命题小热点。

一．对几何概型的理解

几何概型可转化为在某特定区域D内取点的问题：即在区域内任取一点，而点D落在D的子区域d内的概率即为随机事情发生的概率。其中区域D内每个点被取到的可能性一致。

二．几何概型的根本特点

几何概型可转化为取区域点的问题，而在区域内有无穷多个点，每个点被取到的可能性一致，从而几何概型得志两个特点：无限性和可能性。几何概型是在古典概型的根基上进一步进展的，是等可能事情的概念从有限向无限的延迟，即古典概型要得志有限性，这也是两种概率模型的根本识别。

三.几何概型的测度

几何概型是借助图形来解题的，它就涉及到测度问题。一般的，在集合区域D中随即的取一点，记事情“该点落在起内部一个区域d内”为事情A，那么某事情A发生的概率p（A）=.

关于测度留神一下几点：

(1)D的测度不为0。

(2)“测度”的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度，面积和体积。

(3)区域为“开区域”即不考虑边界点。

(4)区域D内随即取点是指该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何片面的可能性大小只与该片面的测度成正比，与其外形，位置无关。

四．几何概型与古典概型的联系与识别

在古典概型及几何概型中，根本事情的发生都是等可能性的；在古典概型中根本事情是有限正整数n，而在几何概型中根本事情是无限的；在古典概型中，每个根本事情发生的概率都是，在几何概型中，每个根本事情（对应于几何区域中一个点）发生的概率都是0，这一点由几何概型的公式可以看出，在几何概型中，每个根本事情即一点发生的概率为0，由此不难熟悉，不成能事情的概率为0，但是概率为0的事情不确定是不成能事情。

五典型例题分析

（一）测度为长度的几何概型

（1）当实际问题只涉及到一个变量时，要用数轴或一条直线来议论。

例1在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。

解析：如图1，在AB上取AC′=AC，

当殿M位于线段AC′内时，AM＜AC，故线段

AC′即为区域d，所以P（AM＜AC）＝==

变式1：已知等腰直角三角ABC中，∠C=90°，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM＜30°的概率

解析：在CB上取点M0使∠CAM0=30°那么区域D为线段CB的长，d为线段CM0的长,设BC=a那么CM0=AC=a所以p（∠CAM＜30°）==（这里的测度为长度）

变式2：已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，在∠CAB内作射线AM，求∠CAM＜30°的概率。

解析：在∠CAB内作射线AM0，使∠CAM=30°那么区域D为∠CAB的度数，d为∠CAM0的度数。所以P（∠CAM＜30°）===（这里的测度为角度）

[评析]上述两题的识别在于点M产生的方式不同，前一题中，点M可以认为从C运动到B平匀产生的。其次题中那么是AM从AC平匀转动到AB而产生的。这就是说；背景好像的问题，当等可能的视角不同时，其概率往往是不同的，应留神分析，测度的差异。

（二）测度为面积的几何概型

（1）当实际问题涉及两个变量时要利用平面直角坐标系来议论，通过解二元方程或不等式来解决。这就要采用面积为测度。

例2．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明的爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家之前能得到报纸的概率是多少？

[解析]此题涉及两个变量，要利用平面直角坐标系研究，当小明的爸爸在离开家去工作的时刻大于送报人把报纸送到小明家的时刻时，小明爸爸能得到报纸。

为了便当作图，记6：30为0时，设送报人把报纸送到小明家的时刻为x,小明的爸爸离开家的时刻为y,那么0?燮x?燮60,30?燮y?燮90（单位：分钟）。

图4

小明的爸爸离家前能得到报纸只要y?叟x。在平面直角坐标系中作上述区域（如图4）由图知区域D=SABCD=602

区域d=SABCD=602-×302

所求概率P==1-×（）2=

小明爸爸离家前能得到报纸的概率是

(2)我们知道在确定条件下，不成能发生的事情的概率为0；那么反过来，概率为0的事情是不成能事情吗？我们先看下面的例题。

例3．有一个底面是圆形的容器，底面圆的半径是一枚币半径的10倍，现在把这枚硬币随机地扔进容器，求硬币与底面圆恰好相切的概率。

[解析]硬币的位置可由硬币的中心确定，当硬币与底面圆相切时，硬币的中心形成一个圆周，不是封闭图形，故面积可认为是0。

记“硬币与底面圆相切”为事情A，由题意P（A）=0。

[留神]硬币与底面圆相切是可能发生的事情，是随机事情，但其概率是0，一般地，区域D的测度为面积且不为0，而事情A对应的点是D内的一条线段或曲线段，那么这个事情A的概率为0，因此概率为0的事情不确定是不成能事情。

（三）测度为体积的几何概型

有些概率问题需用体积、质量、重量等作为测度。

例4有一杯1L的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出L水，求小杯中含有这个细菌的概率。

[解析]细菌在1L水中的分布可以看作是随机的，1L水应视为D所取L水应视作区域d.

[解]记“取0.1L水，含有这个细菌”为事情A，那么P（A）===。

答：这杯水中含有这个细菌的概率为。

[留神]细菌在1L水里的分布是随机的，与容器的外形无关，只于体积有关。

分析：我们解决概率题目时，要找准概率模型（1）是古典概型（2）是几何概型。古典概型与几何概型的最大区别在于有限和无限。

五�规律总结

几何概型是新教材新增的学识点，它与实际生产生活紧密相关，大量随机事情的概率抽象为集合概型后，又直接与几何计算联系在一起，与平面几何，坐标几何，立体几何都有联系。因此，几何概型将成为新一轮高考的命题小热点。

(1)建立正确合理的几何概型

正确分析题目中随机事情中的根本事情，以及全体根本事情的集合，事情A发生的条件，并将上述事情转化为几何图形。根本事情的发生对应一个点，事情A发生对应区域ｄ，全体事情的集合对应D，D与ｄ的测度可能为长度，面积，体积。

(2)正确解答几何概型

在建立正确的几何概形之后，还务必正确的求出D与ｄ的测度。这就是要用到求线段长度，封闭曲线面积，几何体的体积，因此，应纯熟掌管有关长度，面积，体积的计算公式，常用计算方法如割补法。

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