高考数学大一轮复习第四章平面向量课下层级训练24平面向量概念其线性运算含解析文新人教A

课基层级训练(二十四)平面向量的观点及其线性运算[A级基础加强训练]1．给出以下命题：①零向量的长度为零，方向是随意的；②若a，b都是单位向量，则→→()a＝b；③向量AB与BA相等．则全部正确命题的序号是A．①B．③C．①③D．①②A[依据零向量的定义可知①正确；依据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不必定同样，故两个单位向量不必定相等，故②错误；向量→→AB与BA互为相反向量，故③错误．]→→)2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝(→1→A．ADB．2AD1→→C．BCD．BC2→→1→→1→→1→→→A[由题意得EB＋FC＝2(AB＋CB)＋2(AC＋BC)＝2(AB＋AC)＝AD.]3．设a，b都是非零向量，以下四个条件，使ab建立的充要条件是()|a|＝|b|A．a＝bB．a＝2bC．∥b且||＝|b|D．∥且方向同样aaabD[a表示a方向的单位向量，所以a＝b的充要条件是a与b同向即可．]|a||a||b|4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b知足|a＋b|＝|a－b|，则( )A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|1A[方法一∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.a·b＝0.∴a⊥b.方法二利用向量加法的平行四边形法例．在→→，中，设AB＝，AD＝□ABCDab由|a＋b|＝→→|a－b|知|AC|＝|DB|，进而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.]15．(2019·江西八校联考)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝3AB，BQ1→→→＝3BC．若AB＝a，AC＝b，则PQ＝()1111A．3a＋3bB．－3a＋3b1111C．3a－3bD．－3a－3b→→→2→1→2→1→→1→1→11A[PQ＝PB＋BQ＝3AB＋3BC＝3AB＋3(AC－AB)＝3AB＋3AC＝3a＋3b.]6．(2019·河北邯郸月考)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝__________.1[因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－2μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.]→→→→→x7．(2019·辽宁大连双基测试)在锐角△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC，则y＝__________.→→→→→→→→3→1→33[由题设可得CA＋AM＝3(AB－AM)，即4AM＝3AB＋AC，亦即AM＝4AB＋4AC，则x＝4，21xy＝4，故y＝3.]8．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若→→→AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是__________.0，1[由题意可求得AD＝1，CD＝→→23，∴AB＝2DC，→→≤λ≤1)．∵点E在线段CD上，∴DE＝λDC(0→→→→→→→→→2μ→2μλ∵AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋λDE，∴λ＝1，即μ＝2，∵10≤λ≤1，∴0≤μ≤2.1即μ的取值范围是0，2.]9．如图，在△中，，分别为，边上的中点，G为上一点，且＝2，ABCDEBCACBEGBGE→→→→设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.1→→11解AD＝2(AB＋AC)＝2a＋2b.→→→→2→→1→→AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)331→→1→1→113AB＋3(AC－AB)＝3AB＋3AC＝3a＋3b.10．设a，b是不共线的两个非零向量．2(1)→→→若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)→→→k的值．若AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求(1)证明由已知得，3→→→AB＝OB－OA＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，→→→－＝－2－4，BC＝OC－OB＝－3－3ababab→→→→B，故BC＝－2AB，又BC与AB有公共点所以A，B，C三点共线．(2)解→→→－2→AC＝AB＋BC＝3，CD＝2－.abakb因为A，C，D三点共线，所以→→AC＝λCD，即3a－2b＝2λa－kλb，3＝2λ，3，4所以λ＝2所以4综上，k的值为.2＝kλ，3k＝3.[B级能力提高训练]11．如下图，矩形的对角线订交于点，为→→→的中点，若DE＝λAB＋μAD(λ，ABCDOEAOμ为实数)，则λ2＋μ2＝()A．518B．45C．1D．16A→1→1→1→1→1→1→→1→3→13[DE＝DA＋DO＝DA＋DB＝DA＋(DA＋AB)＝AB－AD，所以λ＝，μ＝－，2224244444225故λ＋μ＝8.]12．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且→1→1→S△BCDAD＝3AB＋2AC，则S△ABD＝()4A．1B．16312C．2D．3[如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在凑近BC边的三平分点处，进而△ABD1△ABC△ACD1△ABC△BCD11△ABC1△ABCS△BCD132326S△ABD313．(2018·福建泉州模拟)已知点D为△ABC所在平面上一点，且知足→1→4→AD＝5AB－5CA，若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为__________.→1→4→→→→4[由AD＝5AB－5CA，得5AD＝AB＋4AC，→→→→→→所以AD－AB＝4(AC－AD)，即BD＝4DC.→→，所以点D在边BC上，且|BD|＝4|DC|所以S△ABD＝4S△ACD＝4.]14．A，B，C是圆O上不一样的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，→→→若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是__________.(1，＋∞)→→→→→→→→→[设OC＝OD，则>1，因为OC＝λOA＋μOB，所以OD＝λOA＋μOB，即ODmmm＝λ→μ→三点共线，所以λ＋μ＝1，即λ＋μ＝，所以λ＋μ>1.]OA＋OB，又知，，mmABDmmm15．已知O，A，B是不共线的三点，且→→→OP＝mOA＋nOB(m，n∈R).若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.5证明(1)若m＋n＝1，→→→→→→则OP＝OA＋(1－)OB＝OB＋(OA－OB)，mmm→→→→，∴OP－OB＝m(OA－OB)→→→→即BP＝mBA，∴BP与BA共线．→→，∴，，B三点共线．又∵BP与BA有公共点BAP(2)若A，P，B三点共线，