重点高中自主招生数学模拟题

2010年要点中学自主招生数学模拟试题一答题时注意:1、试卷满分150分;考试时间：120分钟.2、试卷共三大题，计1６道题。考试结束后，将本卷及演算的底稿纸一并上交。一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,此中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、假如对于x的方程x2axa230起码有一个正根，则实数a的取值范围是（）A、2a2B、3a2C、3a2D、3a22、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，BD、DF分别交CE于点G、H，若正方形ABCD的面积是240，则四边形BFHG的面积等于（）AEBA、26B、28C、24D、30G3、设x、y、z是两两不等的实数，且知足以下等式：F336x3(y6x3(z6yx6xz，则代数式x)x)Hx3y3z33xyz的值是（）DCA、0B、1C、3D、条件不足，没法计算D4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC10,cosBCD3BCE30，则线段DE的长,5B是（）CAA、89B、73C、4+33D、3+435、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成E一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律摆列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（）A、296B、221C、225D、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）6、已知：实常数a、b、c、d同时知足以下两个等式：⑴asinbcosc0；⑵acosbsind0（此中为随意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：。7、函数yx12x23x34x4的最小值是。8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地转动一周后回到本来的地点（如图），则这个三角形的内部以及界限没有被单位圆滚过的部分的面积是。9x3，则2可用含x的、已知：25有理系数三次多项式来表示为：2=。10、设p、q、r为素数，则方程p3p2q2r2的全部可能的解p、q、r构成的三元数组(p,q,r)是。三、解答题（共6题，共90分）11、（此题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不只是同班同学，并且是特别要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥当先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的a，b，c，LL，z26个字母（无论大小写）挨次用1，2，3，L，26这26个自然数表示，并给出以下一个变换公式：[x1(此中是不超出的正奇数）y2；已知对于随意的实数x，记号[x]表示x1]13(此中是不超出的正偶数）2不超出x的最大整数；将英文字母转变为密码，如8[81]1317，即h变为q，11]12再如11[6，即k变为f。他们给出以下一组密码：etwcvcjwejncjw2wcabqcv，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。此刻就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。12、（此题满分15分）假如有理数m能够表示成2x26xy5y2（此中x、y是随意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”。⑴个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为何？⑵证明：两个“世博数”a、b（b0）之商也是“世博数”。13、（此题满分15分）如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3∶1∶4，点E在边AD上，CE交BD于G，设BGDEk。GDEA⑴求37k220的值；⑵若点H分线段BE成BH2的两段，且AH2BH2DH2p2，试用含p的代数HE式表示△ABD三边长的平方和。AEHBGC

D14、（此题满分16分）察看以下各个等式：121,12225,12223214,1222324230,。⑴你能从中推导出计算12223242n2的公式吗？请写出你的推导过程；⑵请你用⑴中推导出的公式来解决以下问题：已知：如图，抛物线yx22x3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn平分，分点从左到右挨次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、、An1，分别过这n1个点作x轴的垂线挨次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、、Bn1，设△OBA1、△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、、△An1Bn1A的面积挨次为S1、S2、S3、S4、、Sn。①当n2010时，求S1S2S3S4S5LS2010的值；②尝试究：当n取到无量无尽时，题中全部三角形的面积和将是什么值？为何？15、（此题满分

16分）有以下图的五种塑料薄板（厚度不计）②腰长为4、顶角为36的等腰三角形③腰长为5、顶角为120的等腰三角形

：①两直角边分别为JKL；OMN；

3、4的直角三角形

ABC；④两对角线和一边长都是

4且另三边长相等的凸四边形

PQRS；⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金切割比的黄金矩形WXYZ。它们都不可以折叠，此刻将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。我们规定：假如塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；不然，便称为“不行操作”。⑴证明：第④种塑料板“可操作”；⑵求：从这五种塑料板中随意取两种起码有一种“不行操作”的概率。JMPSACNOQRBKLWZXY16、（此题满分16分）定义：和三角形一边和另两边的延伸线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。以下图，已知：⊙I是△ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，ADIC于点D。⑴尝试究：

D、E、F

三点能否同在一条直线上？证明你的结论。⑵设

AB

AC

5,BC

6,假如△

DIE

和△

AEF

的面积之比等于

m，

DE

n，试作EF出分别以

m、n

为两根且二次项系数为

6的一个一元二次方程。nmDCIEABF2010年要点中学自主招生数学模拟试题一1、假如对于x的方程x2axa230起码有一个正根，则实数a的取值范围是（C）A、2a2B、3a2C、3a2D、3a22、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，BD、DF分别交CE于点G、H，若正方形ABCD的面积是240，则四边形BFHG的面积等于（B）AEBA、26B、28C、24D、30G3、设x、y、z是两两不等的实数，且知足以下等式：F6x3(yx)36x3(zx)36y6xxz，则代数式Hx3y3z33xyz的值是（A）DCA、0B、1C、3D、条件不足，没法计算D4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC10,cosBCD3,BCE30，则线段DE的长5B是（D）CAA、89B、73C、4+33D、3+435、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成E一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律摆列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（B）A、296B、221C、225D、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。不设中间分）6、已知：实常数a、b、c、d同时知足以下两个等式：⑴asinbcosc0；⑵acosbsind0（此中为随意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：a2b2c2d2。7、函数yx12x23x34x4的最小值是8。8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一边匀速无摩擦地转动一周后回到本来的地点（如图），

个单位圆在它的内部沿着三则这个三角形的内部以及界限没有被单位圆滚过的部分的面积是

84

—。9x3，则2可用含x的、已知：52有理系数三次多项式来表示为：2=1x311x。6610、设p、q、r为素数，则方程p3p2q2r2的全部可能的解p、q、r构成的三元数组(p,,)是(3,3,3)。qr三、解答题（共6题，共90分。学生如有其余解法，也按标准给分）11、（此题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不只是同班同学，并且是特别要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥当先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学，以后三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的a，b，c，LL，z26个字母（无论大小写）挨次用1，2，3，L，26这26个自然数表示，并给出以下一个变换公式：x]1(此中是不超出的正奇数）y2；已知对于随意的实数x，记号[x]表示x113(此中是不超出的正偶数）2不超出x的最大整数。将英文字母转变为密码，如8[81]1317，即h变为q，11]12再如11[6，即k变为f。他们给出以下一组密码：etwcvcjwejncjw2wcabqcv，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。此刻就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。略解：由题意，密码etwcvcjw对应的英语单词是interest,ej对应的英语单词是is,ncjw对应的英语单词是best,wcabqcv对应的英语单词是teacher.(9分)所以，翻译出来的一句英语是Interestisbestteacher,意思是“兴趣是最好的老师”。（3分）12、（此题满分15分）假如有理数m能够表示成2x26xy5y2（此中x、y是随意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”。⑴两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为何？⑵证明：两个“世博数”a、b（b0）之商也是“世博数”。略解：m2x26xy5y2=(x2y)2(xy)2，此中x、y是有理数，“世博数”mp2q2（此中p、q是随意有理数），只须px2y,qxy即可。（3分）对于随意的两个两个“世博数”a、b，不如设aj2k2,br2s2,此中j、k、r、s为随意给定的有理数，（3分）则ab(j2k2)(r2s2)(jrks)2(jskr)2是“世博数”；（3分）aj2k2(j2k2)(r2s2)(3分）(jrks)2(jskr)2br2s2(r2s2)2(r2s2)2=(jrks2jskr2r2s2)(2s2)也是“世博数”。（3分）r13、（此题满分15分）如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3∶1∶4，点E在边AD上，CE交BD于G，设BGDEk。GDEA⑴求37k220的值；⑵若点H分线段BE成BH2HE的两段，且AH2BH2DH2p2，试用含p的代数式表示△ABD三边长的平方和。略解：⑴不如设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4，∵BGDEk，∴△ABD的面积是6，△BDE的面积是6k，GDEAk1△CDG的面积是k1，△CDE的面积为4k，△DEG的面积是(k6k。1k11)2（3分）由此可得：1+6k=4k，即42310，∴k1（分）k3k1(k1)2k1k∴37k220=3（1分）⑵由⑴知：E、G分别为AD、BD的中点，又∵点H分线段BE成BH2的两段，∴点H是△ABD的重心。HE（2分）而当延伸BE到K，使得BEEK，连接AK、DK后便获得平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”便可得：2(AB2BD2)AD24BE2，近似地有2(BD2AD2)AB24DM22(AB2AD2)BD24AG2，此中点M为边AB的中点。∴3(AB2BD2AD2)4(BE2DM2AG2)。（3分）∵AH2AG,BH2BE,DH2DM，AH2BH2DH2p2，3933∴BE2DM2AG2p2，∴AB2BD2AD23p2。（3分）414、（此题满分16分）察看以下各个等式：121,12225,12223214,1222324230,。⑴你能从中推导出计算12223242n2的公式吗？请写出你的推导过程；⑵请你用⑴中推导出的公式来解决以下问题：已知：如图，抛物线yx22x3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn平分，分点从左到右挨次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、、An1，分别过这n1个点作x轴的垂线挨次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、、Bn1，设△OBA1、△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、、△An1Bn1A的面积挨次为S1、S2、S3、S4、、Sn。①当n2010时，求S1S2S3S4S5LS2010的值；②尝试究：当n取到无量无尽时，题中全部三角形的面积和将是什么值？为何？略解：⑴∵n3(n1)33n23n1，∴当式中的n从1、2、3、挨次取到n时，就可得以下n个等式：（2分）1303331,2313322321,3323332331,,n3(n1)33n23n1，将这n个等式的左右两边分别相加得：n33(122232n2)3(123n)n（2分）即12223242n2=n33(123n)nn(n1)(2n1)。（3分）36⑵先求得A、B两点的坐标分别为(3,0)、(0,3)，∴点A1、A2、A3、A4、A5、A6、、An13693(n1)的横坐标分别为n、、、、n，点B1、B2、B3、B4、B5、B6、、Bn1的纵坐nn标分别为323、626、、3(n1)]223(n1)3。（3nnnnnn分）∴S19,S29(n22n3),S39(n24n12),,Sn9[n22(n2n)3(n1)2]2n2n32n32n3∴S1S2S39{n32n(123n1)3[122232(n1)2]}Sn2n39[n32nn(n1)3n(n1)(2n1)9(2n2n1)=26。（3分）2n34n2∴①当n2010时，S1S2S3S4S59(2201022009)72739881S2008=420102；16160400②∵S1S2S39(2n2n1)999Sn224n4n24n∴当n取到无量无尽时，上式的值等于9，即全部三角形的面积和等于9。（3分）2215、（此题满分16分）有以下图的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC；②腰长为4、顶角为36的等腰三角形JKL；③腰长为5、顶角为120的等腰三角形OMN；④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS；⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金切割比的黄金矩形WXYZ。它们都不可以折叠，此刻将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、2.7的铁圆环。我们规定：假如塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；不然，便称为“不行操作”。⑴证明：第④种塑料板“可操作”；⑵求：从这五种塑料板中随意取两种起码有一种“不行操作”的概率。略解：⑴由题意可知四边形PQRS必定是等腰梯形，（2分）不如设QSPRQR4,PQPSRS=x，分别过点S、Q作QR、RS的垂线，垂足为4xI、F，则由△QRF∽△RSI获得RIRS2x，解得x252。RF，即x4QR2∴SIRS2IR2x2(4x)21025＜2.4,2∴第④种塑料板“可操作”。（5分）⑵如上图所示，分别作直角三角形ABC斜边BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底边上的高MG，易求得：AH=2.4,MG=2.5.(2分)又由⑴可得等腰梯形PQRS的锐角底角