微积分3sadfa第六次习题课题解

07年12月微积分３复习题参考答

4a2x2dxdy,Dx,y4a2x2

y2a

,y

8a3(3

2) x2y2z24x2y23z的公共部分的体积I

rdr

dz

196 x2x2

3|dV．其中为区域0x2y220zx2x2x2I

x2y2

(z

x2y2)dz

x2y2

0

x2x2x2x22

dxdy

z)dz

1x2y2 4．积分I

xx

x

在球坐标系下累次积分为0（20

dsecf(rsin)r2sindr040t5．设f(t连续且f(0)2t

x,y,z)|0zh,0x2y2tDt{(

y),|x2y2t2},F(t[z2f(x2y2)]dV x1 y1

L(x1)2(y

x2

(x1)2(y

x2Lx2y2a2，顺时针．则

ex2x2yx2y2

dx

xy2sinyx2y

dy（

1a22Lf(x0连续Dx2y21。求证L xf(y)dyydx

yf(x)dxxdy(用格 f

f(

xfy)dyydx2（利用上式，f(x)0f2若二元函数f(x,y满足方程x

2y

C(常数L是逐段光滑的有向闭曲线,L fdl只和L包围的区域的面积有关,与LLn1

2(1x2dy^dz8xydz^dx4xzdx^dyS是由xOy平面上的曲线xey(0ya绕Ox轴旋转一周而成的旋转曲面，其法向与Ox2y2y2

y2z2a2S1xeay2z2a2，其法向量Ox轴正向相同。是由S和S1围成的区域。由高 得(

)2(1x2)dy^dz8xydz^dx4xzdx^dy

2(1x2)dy^dz8xydz^dx4xzdx^1a1a

2(1x2)dy^dz8xydz^dx4xzdx^11

z

rra22ea22． 2

Sz1x2y21z0上侧（

5

x2dy^dzz22z)dx^dyS:zx2y20z1（23(x2cosy2cosz2cos)dS,SS外单位法向量的方向余弦．h42

x2y2z2(0zh),

,计算y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz,Lx2y2z24xLx2y22x的交线,从Oz轴往下看为逆时针方向4微分方程yyex1的一个特解是 1xex 2具有特解y1exy22xexy33ex的三阶常系数线性齐次方程(y'''y''y'y03．用待定系数法求方程x2xsintcost

的特解，则待定解为（(Acos2xBsin2x)(axb)e2xy3y2x的通解为（yc1cos3x

sin3x2x3y1xexe2xy2xexexy3xexe2xex是某个二阶线性非齐次解题思路:设所求方程为

ypyqyf(xpq即确定齐次微分方程ypyqy0由题目所给的非齐次微分方程的三个解可以求出齐次微分方程ypyqy0的两个解,pq.f(x解 y3y1ex,y3y2e2x2pq01122,p1q2.

yy2yf(x).将非齐次微分方程的y1xexe2x代入方程(y2,y3代入亦可)得f(x)ex2xexyp(xyq(xyf

y1xy2exy3e2x,试求方程满足初值条件y(01y(03的特解:根据给定的条件，可得到齐次微分方程

yp(xyq(xy0的两个解exxe2xx,可以验证这两个解线性无关,yc1(exx)c2(e2x

yxc1(exx)c2(e2xy(01,y(03可以求出c11c22.y02e2xexL设积分[xy(xyf(xy]dx[x2yf(x)]dy与路径无关,其中f(x)有二阶连续导数且f(0)0,f(0)1.求f(x).L解题思路:如果P(x,y)dxQ(x,y)dy与路径无关,那么必有PQ. 出f(x满足的微分方程,然后利用题目给出的初值条件求解微分方程,得到f(x解:P(xyxy(xyf(xyQ(xy)x2yf(xP(x,y)dxQ(x,y)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分,所以PQ,[xy(xy)f(x)y]

[x2yf由此f(x满足的微分方程f(x)f(x)齐次方程f(xf(x)0的通解为yc1cosxc2sinx.又用比较系数法求的非齐次方程的一个特解y0x22.因此方程f(xf(x)x2的通解是yc1cosxc2sinxx2利用题目给出的初值条件f(0)0,f(0)1可以得到c12c21.f2cosxsinxx20设f(x)xsinxx(xtf(t)dt，其中f(x连续，求f00 对f(x)xsinxx(xt)f(t)dt两边求导，00f(x)xcosxsinxxf0

f(xxsinx2cosxf(x,f(x)f(x)xsinx2cos齐次方程f(xf(x0的通解是C1cosxC2sinf(x)f(x)xsinx2cosy*(x)x(AxB)cosxx(CxD)sinABCDy*1x2cosx3xsin yf(x)1x2cosx3xsinxCcosxCsin 由f(x的表达式直接看出f(0)0,又有f(x的表达式(*)看出f(0)0.件得到CC0,于是f(x)1x2cosx3xsinx 设全微分方程[xy(xyf(xy]dxx2yf(x)]dy0,其中f(x有二阶连f(00,f(01.f(x以及全微分方程的通解解题思:这是一道综合题其中涉及到全微分和二阶线性常系数方程如果P(x,y)dxQ(x,y)dy是某个二元函数u(x,y的全微分,PQ. f(x满足的微分方程,然后利用题目给出的初值条件求解微分方程,f(x解:P(x,yxy(xy

f(x)y,Q(x,y)x2y

f(x)P(x,y)dxQ(x,y)dy是某个二元函数u(x,y的全微分,所以PQ,[xy(xy)

f(x)y]

[x2y

ff(x满足的微分方程

f(x)

f(x)x2f(xf(x0yc1cosxc2sinx.y0x22.f(x

f(x)x2yc1cosxc2sinxx2f(00,f(01可以得到c12c21.f2cosxsinxx2y

1

1

y0

y1x

y2u(xy1u''x

1

u'x

x解出ux)xx通 y(x)CxC 求微分方程yyxcosx的通解解题思路:在用比较系数法求该方程的特解时,x和cosx之和,yyxy1yycosxy2.y*y1y2解首先求出对应的齐次方程的通解:yc1cosxc2