线性代数的过去、现在、未来

线性代数的过去、现在、未来以及运用线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有说服力。同样，行列式和矩阵如导数一样（虽然dy/dx在数学上不过是一个符号，表示包括^y/Ax的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz，1693年）。1750年克莱姆（Cramer）在他的《线性代数分析导言》（Introductiond1'analysedeslignescourbesalge'briques）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的Cramer克莱姆法则）。1764年，Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程，Bezout证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对行列式理论进行系统的阐述（即把行列’式理论与线性方程组求解相分离）的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。Laplace在1772年的论文《对积分和世界体系的探讨》中，证明了Vandermonde的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（Jacobi）也于1841年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西（Cauchy），他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。高斯（Gauss）大约在1800年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，

高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯-约当消去法则最初是出现在由WilhelmJordan撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家CamilleJordan误认为是"高斯-约当”消去法中的约当。矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。1848年英格兰的J.J.Sylvester首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。1855年矩阵代数得到了ArthurCayley的工作培育。Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换ST的系数矩阵变为矩阵S和矩阵T的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的Cayley-Hamilton理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由Cayley在1858年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母A来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式det(AB)=det(A)det(B)为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论，数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积(既vxw不等于wxv)的向量代数是由HermannGrassmann在他的《线性扩张论》(DielinealeAusdehnungslehre)一书中提出的。(1844)。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为1的矩阵，或简单矩阵。在19世纪末美国数学物理学家WillardGibbs发表了关于《向量分析基础》(ElementsofVectorAnalysis)的著名论述。其后物理学家P.A.M.Dirac提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由Peano于1888年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。线性代数在数学中的地位线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石(二、三元线性方程组的解法)则早在两千年前出现(见于我国古代数学名著《九章算术》)。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。

该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代数的应用线性代数是代数的一个分支，它以研究向量空间与线性映射为对象；由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点.1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中•线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。由于它的简便，所以就代数在数学和物理的各种不同分支的应用来说，线性代数具有特殊的地位.此外它特别适用于电子计算机的计算，所以它在数值分析与运筹学中占有重要地位。线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代数有什么用？线性代数有什么用？这是每一个圈养在象牙塔里，在灌输式教学模式下的，，被学习，，的学生刚刚开始思考时的第一个问题。我稍微仔细的整理了一下学习线代的理由，竟然也罗列了不少，不知道能不能说服你：1、 如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你有帮助；

2、 如果你想继续深造，考研，必须学好线代。因为它是必考的数学科目，也是研究生科目《矩阵论》、《泛函分析》的基础。例如，泛函分析的起点就是无穷多个未知量的无穷多线性方程组理论。3、 如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好，因为瑞典的匚戈丁说过，没有掌握线代的人简直就是文盲。他在自己的数学名著《数学概观》中说：要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的。它是第二代数学模型，其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论。…，如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。4、 如果毕业后想找个好工作，也必须学好线代：想搞数学，当个数学家（我靠，这个还需要列出来，谁不知道线代是数学）。恭喜你，你的职业未来将是最光明的。如果到美国打工的话你可以找到最好的职业（参考本节后附的一份小资料）。想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网络的主要工具；进行IC集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算。想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞图像处理，大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量的后期电脑制作没有线代的数学工具简直难以想象。想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（WassilyLeontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一个重要议题是线性规划。许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。线性规划的知识就是线代的知识啊。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行LU分解；作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗？这个工程分析中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组。知道马尔科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列，看看，矩阵、向量又出现了。矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中，甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。说实在的，我也没有足够经验讲清楚线代在各个工程领域中的应用，只能大概人云亦云地讲述以上线代的一些基本应用。因为你如果要真正的讲清楚线代的一个应用，就必须充分了解所要应用的领域内的知识，最好有实际的工程应用的经验在里面；况且线性代数在各个工程领域中的应用真是太多了，要知道当今成为一个工程通才只是一个传说。总结一下，线性代数的应用领域几乎可以涵盖所有的工程技术领域。如果想知道更详细的应用材料，建议看一下《线性代数及应用》，这是美国DavidC.Lay教授写的迄今最现代的流行教材。国内的教材可以看看《线性代数实践及MATLAB入门》，这是西电科大陈怀琛教授写的最实用的新教材。下面简要谈一下线性代数的具体应用。线性代数研究最多的就是矩阵了。矩阵又是什么呢？矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。也就是说如果你抽象出某种变化的规律，你就可以用代数的理论对你研究的数表进行变换，并得出你想要的一些结论。另外，进一步的学科有运筹学。运筹学的一个重要议题是线性规划，而线性规划要用到大量的线性代数的处理。如果掌握的线性代数及线性规划，那么你就可以讲实际生活中的大量问题抽象为线性规划问题。以得到最优解：比如你是一家小商店的老板，你可以合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。如果你是一个大家庭中的一员，你又可以用规划的办法来使你们的家庭预算达到最小。这些都是实际的应用啊！总之，线性代数历经如此长的时间而生命力旺盛，可见她的应用之广！多读读书吧，数学是美的，更是有用的！线性代数中二次型的应用领域和意义应用领域：线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域意义：二次型应该说是处于一个比较重要的地位，利用二次型可以把任何一个方阵JORDAN标准化，对研究矩阵非常有用!线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量空间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用8维向量来表示8个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国，美国，英国，法国，德国，西班牙，印度，澳大利亚），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）显示这些国家某一年各自的GNP。这里，每个国家的GNP都在各自的位置上。作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。我们可以简单地说数学中的线性问题——那些表现出线性的问题一一是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一！线性方程组线性代数是研究什么的呢？简单讲，就是研究怎样解线性方程组的。当然，线性方程组在中学就学过，比如下面就是一个线性方程组的例子：一个庙里有一百个和尚，这中间有大和尚有小和尚，这一百个和尚每顿饭总共要吃一百个馒头，其中大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚？那么，假设大和尚的数目是X,小和尚的数目是X,那么由第一个条件,总共有100个和尚，可以知道x+x=100而由第二个条件，大和尚一个人吃3个馒头，小和尚一个人吃1/3个馒头,吃的馒头的总数是100个，那么就得第二个方程TOC\o"1-5"\h\zC1 …3x+3x=100将上面两个方程联立，就得线性方程组：\o"CurrentDocument"'气+x2=100 (1)\o"CurrentDocument"<3x+-x=100 (2)〔1 32要解这个方程组有两种办法，其实质是一样的，一种叫消元法，从(1)式解出乂］得x=100-x将其代入到(2)式，得3x(100-x2)+3x2=1009x(100-x)+x=300600=8x2x=75x=100-75=25因此算出共有75个小和尚，25个大和尚.或者用加减法，先将(1)式乘3得3x+3x=300 (3)用此(§)式减去(1)式得13x-3x=200同样能够解得x=75而其实，更多元的线性方程组也是同样的解法.那么，为什么还要开线性代数这门课程专门研究解线性方程组的问题呢？线性代数要研究的是解有许多变元的线性方程组，即变量的个数要比上例多得多，可能会多到几十个变元，上百个变元，甚至成千上万个变元.因此，线性代数给出的一般的线性方程组的形式是：ax+ax+ +ax=b111 122 1nn1ax+ax+ +ax=b<211 222 2nn2…ax+ax+ +ax=bn11 n22 nnnn那么，既然变元如此之多，一定不能用人工手算，必然要用计算机来进行计算.因此，如果没有计算机的发展，线性代数这门课也就没有什么用.实际上，线性代数正是为了用计算机解线性方程组提供理论基础。那么，为什么解线性方程组的问题在实际的科学技术的研究领域中得到广泛地运用呢？首先，什么叫线性什么叫非线性呢？当一个变量x和另一个变量y成正比关系的时候，比如说x=ay那么，称x与y呈线性关系，因为它们的这个函数关系绘制的图形是一条直线.当然，这条直线还穿过原点，因此称它们是齐次线性关系。不穿过原点的直线也是一种线性关系，当然就是非齐次的，比如x=ay+b当然，在一个系统中有多个变元，那么线性关系可以描述为ax+ax+•••+&x=b可见这也是一不线性方程组.那么什么叫做非线性关系呢？比如下面一些例子：x=ay2x=alny+b等等都是非线性关系.当然也有非线性方程组，比如下面这个方程组：「一.一Lx2+y2=5<ylnx=0就是非线性的，它的一个解是x=1,y=2。那么，为什么线性代数得到广泛运用，也就是说，为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事，而并非解非线性方程组是经常的事呢？这是因为，大自然的许多现象恰好是线性变化的。按照辩证唯物主义的观点，世间的一切事物都是在不断地运动着的.所谓运动，从数学上描述，就是随时间而变化，因此，研究各个量随时间的变化率，即导数，与各个量的大小之间的关系，就是非常重要的.在物理学方面，整个物理世界可以分为机械运动，电运动，还有量子力学的运动.而机械运动的基本方程是牛顿第二定律，即物体的加速度同它所受到的力成正比，这是一个基本的线性微分方程.由此根据不同的力学系统，又可以构成更为复杂的微分方程.电运动的基本方程是麦克思韦方程组，这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比，而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比，因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组.而量子力学中描绘物质的波粒二象性的薜定谔方程，也是线性方程组.在计算机出现之前，要解线性微分方程组是非常难的事情，通常是要努力地找各种函数的原函数，将一些积分算出来.因此，找原函数的技术得到广泛研究.因为，一旦找到了原函数，积分的运算量就没有那么大了.这就是到今天为止的高等数学教育还残留有过去的传统，即对各种原函数的求解技巧津津乐道的重要原因.但是，实际情况中，原函数并不总是存在的，因此总需要数值解.而在计算机出现之前，数值解通过人工计算，是相当耗时费力的.而在计算机被大量使用之后，情况就出现了改观，计算机在极短的时间内，比如在0.1秒的时间，就可以做成千上万的乘法和加法.因此，通过程序来求解线性微分方程组就是常见的事.而微分方程组在通过计算机程序作数值求解的时候，实际上是将线性微分方程组化成了有许多变元的线性方程组.而在计算机被大量使用之后，情况就出现了改观，计算机在极短的时间内,比如在0.1秒的时间，就可以做成千上万的乘法和加法.因此，通过程序来求解线性微分方程组就是常见的事.而微分方程组在通过计算机程序作数值求解的时候，实际上是将线性微分方程组化成了有许多变元的线性方程组.而在经济学和会计学方面，线性方程组也是得到广泛的运用的.比如上面这个例子实际上是一个经济学的例子，是给一个庙的和尚作伙食供给时的问题.而实际过程如果不是一个庙，而是一家公司，这家公司的职员也不是分为两等，而是许多等，他们的薪水不同，消耗的生产或者办公器材的多少也不同，投资多少也不同，这样也可以构成大量的线性方程组.那么，计算机是怎样解线性方程组的呢，还是用上面这个例子来说明，即线性方程组是|七厂广10。<3x+-x=100〔1 32首先说保存，计算机保存这个线性方程组，也就是保存这个方程组中每个变元的系数以及等号右边的常数，因此也就是要保存阵列11 10031/3100这6个数，所谓计算解这个线性方程组，当然也就是要对这个阵列进行处理.因此，将这个数的阵列用一个字母B表示，也就是写成「11100「B="3100_这在线性代数的术语中叫做矩阵，在大学的学习中，用一个字母来表示许多数，甚至包括成千上万的数，这种办法是在线性代数的课程中首先遇到的.而在线性代数以外的课程也沿用这种办法.比如在计算机的图像处理中，一个图像由成千上万个象素点构成，也可以只用一个字母来表示一个图像.上面的矩阵B被称作是线性方程组的增广矩阵，那么，给定一个增广矩阵，也就是给定了一个线性方程组.而计算机解线性方程组是采用加减法来进行的.比如说，上面的矩阵中，将第一行的每个数都乘上-3以后加到第二行，也就相当于将第一个方程乘上-3后左右分别加到第二个方程的两边，这样得到的第二行的第一个数就变成0了，这样矩阵B就变成「1 1 100-_°-3-200_第二行现在对应方程-3%=-200,那么对此方程两边乘上-3/8,就可得x2=75,那么对于计算机的操作来讲，也就是将第二行的所有数都乘上-3/8,这样阵列就变成「111000175这对应于线性方程组x+x=100'x=751 2那么，再将上面的方程组中第一个方程减去第二个方程，就得x=25,这对应于将上面的矩阵的第一行的各个元素减去第二行的各个元素，这样得到矩阵「1025「0175这样，计算机只要通过将某一行乘某一个数，或者某一行乘上某一个数加到另一行的这种办法，经过处理直到右边的两列成为对角线上是1,其它地方是0，那么最右边一列就是方程组的解.那么，线性代数的问题就这么容易解决了么？没有那么简单。首先是一个线性方程组要有解，才能够解出解，而实际过程中建立的线性方程组就有可能出错，比如会计的帐对不上，这时候线性方程组就无解，下面是一个明显的无解方程组的例子：Jx+2x=3|x+2x=4l1 2怎么可能x+2x即等于3又等于4呢？这是矛盾的.因此，无解方程组也就是矛盾方程组1位如果将上面的第2个方程乘上2,形成这样一个方程组Jx+2x=312x+4x=8侦1 2那么就不太容易看出来.而我们的目的是要通过程序让计算机自动判定方程组有没有解，那么在成百上千个方程中判定有没有解，就不是一件容易的事,就需要研究解的存在性的理论。还有一个愿望就是，虽然方程组有解，但希望能够有一个唯