2023版高中物理 第一章 机械振动 3 简谐运动的图像和公式学案 教

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3简谐运动的图像和公式

[学习目标]1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息.

一、简谐运动的图像1.图像的建立

以横轴表示做简谐运动的物体的运动时间t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x.

2.图像的特点：简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线.3.由简谐运动的图像，可找出物体振动的周期和振幅.二、简谐运动的表达式及相位简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ).

(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间.(2)A表示振幅.

(3)ω称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期T及频率f的关系：2π

ω＝＝2πf.

T所以表达式也可写成：

x＝Asin??2πt＋φ?或x＝Asin(2πft＋φ).

?

?T?

(4)2πft＋φ代表简谐运动的相位；其中φ是t＝0时的相位，称为初相位或初相.[即学即用]

1.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图1所示，根据图像，判断以下说法的正误.

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图1

(1)质点振动的频率是4Hz.()(2)质点振动的振幅是2cm.()(3)在t＝3s时，质点的速度最大.()(4)在t＝4s时，质点所受的合外力为零.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×

2.有一弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时(t＝0)具有正的最大位移，则它的振动方程是x＝m.

π

答案0.008sin(4πt＋)

2

一、简谐运动的图像[导学探究]

1.甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图像：

如图2所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸.

图2

(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？

(2)乙同学匀速向右渐渐拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？

(3)分析白纸渐渐拖动时画出的曲线，沿OO′与垂直OO′方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么物理意义？答案(1)是一条垂直于OO′的直线.(2)轨迹如下图，类似于正弦曲线.

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(3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(假使以平衡位置为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿OO′方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以平衡位置为出发点)或位置.

2.绘制简谐运动的x－t图像

图3

如图3所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摇摆，并垂直于摇摆平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线.若以漏斗的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立x轴，垂直于振动方向建立t轴，则这些曲线就是漏斗的位移—时间图像.为什么这些曲线能描述漏斗的位移随时间变化的规律？

答案当单摆(漏斗)摇摆时，薄板从左向右匀速运动，所以薄板运动的距离与时间成正比，因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻摆球(漏斗)离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律.[知识深化]

1.对x－t图像的理解

x－t图像上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子

位移随时间变化的规律，不是振子的运动轨迹.2.图像的应用

(1)确定振动物体在任一时刻的位移.如图4所示，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝7cm，

x2＝－5cm.

图4

(2)确定振动的振幅.由图可知，振动的振幅是10cm.

1

(3)确定振动的周期和频率.由图可知，T＝0.2s，频率f＝＝5Hz.

T(4)确定各质点的振动方向.例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在t3

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时刻，质点正向着平衡位置运动.

(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又由于|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|.例1如图5所示为某一弹簧振子做简谐运动的图像，则()

图5

A.振动的振幅为6mB.振动的周期为6s

C.t＝1.5s时和t＝2.5s时，振子的速度一致

D.t＝2.5s时，振子的加速度正在减小，沿x轴的负方向答案C

解析由题图知，振子运动的周期为T＝4s；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由题图知，振幅A＝3cm，故A、B错误；在t＝1.5s时和t＝2.5s时，据题图可知，振子关于平衡位置对称，所以两时刻速度大小相等，方向一致，沿x轴的负方向，故C正确；t＝2.5s时，振子正远离平衡位置，位移增大，其加速度增大，故D错误.

针对训练如图6甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、

b两点之间做简谐运动(以向右为正方向)，其振动图像如图乙所示.由振动图像可以得知

()

图6

A.振子的振动周期等于t1

B.在t＝0时刻，振子的位置在a点C.在t＝t1时刻，振子的速度为零D.从t1到t2，振子正从O点向b点运动

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答案D

解析振子的振动周期是振子完成一个周期性变化所用的时间，由题图乙直接读出其周期T＝2t1，故A错误；由题图乙知在t＝0时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，所以振子的位置在O点，故B错误；在t＝t1时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大，故C错误；从t1到t2，振子的位移从0变化到正向最大，说明振子正从O点向b点运动，故D正确.

二、简谐运动的表达式及相位差[导学探究]

1.将两个一致的单摆向同一方向拉开一致的角度，然后同时静止释放.两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？

答案它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致〞，相位一致，相位差为0.

2.将两个摆长一致的单摆向相反方向拉开一致的角度，然后同时静止释放，观测两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案它们各时刻的位移总是相反，相位差为π.

3.图7是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识写出此图像的函数表达式，并说明各量的物理意义.

图7

2π答案表达式x＝Asin(t＋φ)，式中A表示振幅，T表示周期，φ表示初相位.φ＝