偏微分方程数值解

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数学与计算科学学院

实验报告

试验项目名称用Eular方法求解一阶常微分方程数值解所属课程名称偏微分方程数值解实验类型验证性实验日期2023-3-26

班级信计12-2班学号202353100215姓名张洪清成绩

一、试验概述：学会使用显性Eular方法和隐形Eular方法应用显性Eular方法和隐形Eular方法求解一般一阶常微分方程的近似数值解。学会用MATLAB解决数学问题。1、Eular方法：一阶线性微分方程初值问题?y'?f(x,y),a?x?b??y(a)?y0a?x0?x1??xn?b（1）xn?x0?nh,h为步长方程离散化：差分和差商y'(x0)?y1?y0y1?y0?x1?x0hy1?y0hy1?y0?hf(x0,y0)（2）f(x0,y0)?yn?1?yn?hf(x0,y0)通过初始值y0，依据递推公式（2）逐步算出y1,y2,,yn就为显性的Eular方法。2、隐形Eular方法：?y?y0?hf(x1,y1)?1（3）?yn?1?yn?hf(xn?1,yn?1)公式（3）即为隐式Eular公式。

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1.硬件环境2.2.软件环境MATLAB7.0二、试验内容：（试验步骤）试验任务利用显性和隐形Eualar方法求解以下一阶线性微分方程组的近似数值解：?dy1??0.04y?104yy112?dt?dy472?2dt?0.04y1?10y1y2?3?10y2??dy372?3?10y2?dt?y(0)?1,y(0)?0,y(0)?023?11.利用显性Eular法方求解利用MATLAB进行求解，编写脚本文件如下：文件名：asxz.m%显性Eular方法f0=1;g0=0;z0=0delta=0.01;time=1;t=0:delta:time;f=zeros(size(t));

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g=zeros(size(t));z=zeros(size(t));f1=zeros(size(t));g1=zeros(size(t));z1=zeros(size(t));f(1)=f0;g(1)=g0;z(1)=z0;fori=2:length(t)f1(i-1)=-0.04*f(i-1)+10000*f(i-1)*g(i-1);f(i)=f(i-1)+f1(i-1)*delta;g1(i-1)=0.04*f(i-1)-10000*f(i-1)*g(i-1)-3*10^7*g(i-1)^2;g(i)=g(i-1)+g1(i-1)*delta;z1(i-1)=3*10^7*g(i-1)^2;z(i)=z(i-1)+z(i-1)*delta;Fun=f+g+zendfigureplot(t,f,'o');xlabel('t');ylabel('y1');title('t-y1变化图')第3页共4页

figureplot(t,g,'o');xlabel('t');ylabel('y2');title('t-y2变化图')figureplot(t,z,'o');xlabel('t');ylabel('y3');title('t-y3变化图')figureplot(t,Fun);xlabel('t');ylabel('y1+y2+y3');title('t-y1+y2+y3变化图')A.步长delta=0.001时进行数据测试。结果如下：迭代一次时，结果与方程描述内容相符。第4页共5页

迭代二次时，结果与方程描述内容基本相符。迭代三次时，结果与方程描述内容基本相符。迭代1000次时，模拟结果已经严重脱离事实，应选中择delta为0.001时，该迭代方法不收敛。时间与个变量直接的变化关系如下图：第5页共6页

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从上述图形可以明显看出，在迭代的不断进行时，各变量与时间的变化越来越大，且严重脱离了方程所描述的现实意义。B.选中择delta=0.00000001时，模拟结果如下：迭代第一次，与A中结果一致。迭代其次次，第7页共8页

跌二次迭代结果明显优于一中。跌三次迭代结果，并未产生误差。地1000次迭代结果，结果明显是收敛的。时间与个变量直接的变化关系如下图：第8页共9页

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从图中能够明了看出，当delta=0.00000001时，模拟结果与方程所表示的显示意义相吻合。说明白显性Eualr方法的收敛性是与步长的选择是相关。这就对我们们选择步长造成了困难，由于选择的步长不适合有可能得出错误的结论。（收获体会）通过这次课程设计，是我对偏微分方程的数值解问题有了更进一步的认识与了解.对于同一个常微分方程，有着不同的数值解法.不同的解法可能会得到不同的结果，即精度问题.并且各种方法之间都是密切联系，彼此推导而得的.各种方法的步骤也不尽一致，有的较为烦琐，有的十分简便.而运用MATLAB软件对其进行编程求解将更便利快捷的得到答案.由常微分方程的数值解法也进一步的了解到在实际生活中，同一个问题会有好多种不同的解法，而且其结果也不一定会一致.因此，在平常的生活学习当中，我们应当学会多思考.同一问题的不同方法，以及分析各方法的利弊.同时，MATLAB软件在数学问题中求解的关键作用是我认识的工具的重要性，强大的理论支持还要辅以有力的工具才能更好的得到发挥.在做课程设计的过程中虽然遇到了一些问题，但经过一次又一次的思考，一遍又一遍的检查终究找出了原因所在，也暴露出了在这方面的知识欠缺和经验不足.此次设计也让我明白了思路即出路，有什么不懂不明白的地方要及时请教或上网查询，只要认真钻研，动脑思考，动手实践，就没有弄不懂的知识.总而言之，本次课程设计使我收获颇丰.

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三、指导教师评语及成绩：评语等级评语1.试验报告按时完成,字迹明白,文字表达流畅,规律性强优良中2.试验方案设计合理3.试验过程（试验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4试验结论正确.成绩：指导教师签名：批阅日期：及格不及格附录：源程序

程序1：%显性Eular方法f0=1;g0=0;z0=0delta=0.00000001;time=0.00001;t=0:delta:time;f=zeros(size(t));g=zeros(size(t));z=zeros(size(t));f1=zeros(size(t));g1=zeros(size(t));z1=zeros(size(t));f(1)=f0;g(1)=g0;z(1)=z0;fori=2:length(t)f1(i-1)=-0.04*f(i-1)+10000*f(i-1)*g(i-1);f(i)=f(i-1)+f1(i-1)*delta;g1(i-1)=0.04*f(i-1)-10000*f(i-1)*g(i-1)-3*10^7*g(i-1)^2;

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g(i)=g(i-1)+g1(i-1)*delta;z1(i-1)=3*10^7*g(i-1)^2;z(i)=z(i-1)+z(i-1)*delta;Fun=f+g+zendfigureplot(t,f,'o');xlabel('t');ylabel('y1');title('t-y1变化图')figureplot(t,g,'o');xla