弹性力学参考

本文格式为Word版，下载可任意编辑——弹性力学参考第一章教学参考资料

(一)本章的学习要求及重点

1.弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别。

2.弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处。3.弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。(二)本章内容提要

1.弹性力学的内容─弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

2.弹性力学中的几个基本物理量：

体力——分布在物体体积内的力、记号为fx'fy'fz'。量纲为L-2MT-2，以坐标正向为正。面力——分布在物体表面上的力，记号为fx'fy'fz'。量纲为L-2MT-2，以坐标正向为正。

应力——单位截面面积上的内力，记号σx…txy…，量纲为L-2MT-2，以正面正向为正，负面负向为正；反之为负。

形变——用线应变εx，εy和切应变γxy表示，量纲为1，线应变以伸长为正，切应变以直角减小为正。位移——一点位置的移动，记号为u，v，w，量纲为L，以坐标正向为正。3.弹性力学中的基本假定?

理想弹性体假定—连续性，完全弹性，均匀性，各向同性。小变形假定。4.弹性力学问题的研究方法

已知：物体的边界形状，材料性质，体力,边界上的面力或约束。求解：应力、形变和位移。解法：在弹性体区域V内，

根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件，建立物理方程。

在弹性体边界S上，根据面力条件，建立应力边界条件，根据约束条件，建立位移边界条件。然后在边界条件下，求解区域内的微分方程，得出应力、形变和位移。(三)弹力的发展简史

与其他任何学科一样，从这门力学的发展史中，我们可以看出人们认识自然的不断深化的过程：从简单到繁杂，从粗糙到确切，从错误到正确的蜕变历史。大量数学家、力学家和试验工做了幸勤的摸索和研究工作，使弹性力学理论得以建立，并且不断地深化和发展。

1.发展初期（约于1660~1820）—这段时期主要是通过试验摸索了物体的受力与变形之间的关系。1678年，胡克通过试验，发现了弹性体的变形与受力之间成比例的规律。1807年，杨做了大量的试验，提出和测定了材料的弹性模量。伯努利（1705）和库仑（1776）研究了梁的弯曲理论。一些力学家开始了对杆件等的研究分析。

2.理论基础的建立（约于1821~1855）—这段时间建立了线性弹性力学的基本理论，并对材料性质进行了深入的研究。纳维（1820）从分子结构理论出发，建立了各向同性弹性体的方程，但其中只含一个弹性常数。柯西（1820－1822）从连续统模型出发，建立了弹性力学的平衡（运动）微分方程、几何方程和各向同性的广义胡克定律。格林（1838）应用能量守衡定律，指出各向异性体只有21个独立的弹性常数。此后，汤姆逊由热力学定理证明白上述结果。同时拉梅等再次确定了各向同性体只有两个独立的弹性常数。至此，弹性力学建立了完整的线性理论，弹性力学问题已经化为在给定边界条件下求解微分方程的数学问题。

3.线性理论的发展时期（约于185~1907）在这段时期，数学家和力学家应用已建立的线性弹性理论，去

解决大量的工程实际问题，并由此推动了数学分析工作的进展。圣维南（1854~1856）发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，并提出了圣维南原理。艾里（1862）提出了应力函数，以求解平面问题。赫兹（1882）求解了接触问题。克希霍夫（1850及以后）解决了平板的平衡和震动问题。还有，爱隆对薄壳作了一系列工作等等。弹性力学在这段时期得到了飞跃的发展。

4.弹性力学更深入的发展时期（1907~至今）1907年以后，非线性弹性力学迅速地发展起来。卡门（1907）提出了薄板的大挠度问题；卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；力学工还提出了大应变问题，非线性材料问题（如塑性力学等）等等。同时，线性弹性力学也得到进一步的发展，出现了大量分支学科，如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性力学、粘弹性力学、各向异性弹性力学等。

弹性力学的解法也在不断地发展。首先是变分法（能量法）及其应用的迅速发展。贝蒂（1872）建立了功的互等定理，卡斯蒂利亚诺（1873~1879）建立了最小余能原理，以后为了求解变分问题出现了瑞利－里茨（1877，1908）法，伽辽金法（1915）。此外，赫林格和瑞斯纳（1914，1950）提出了两类变量的广义变分原理，胡海昌和鹫津（1954，1955）提出了三类变量的广义变分原理。

其次，数值解法也广泛地应用于弹性力学问题。迈可斯（1932）提出了微分方程的差分解法，并得到广泛应用。

在20世纪30年代及以后，出现了用复变函数的实部和虚部分别表示弹性力学的物理量，并用复变函数理论求解弹性力学问题的方法，萨文和穆斯赫利什维利作了大量的研究工作，解决了大量孔口应力集中等问题。

1946年之后，又出现了有限单元法，并且得到迅速的发展和应用，成为现在解决工程结构分析的强有力的工具。

弹性力学及有关力学分支的发展，为解决现代繁杂工程结构的分析创造了条件，并促进了技术的进步和发展。

(四)弹力的主要解法

1.解析法─根据弹性体的静力学、几何学、物理学等条件，建立区域内的微分方程组和边界条件，并应用数学分析方法求解这类微分方程的边值问题，得出的解答是确切的函数解。

2.变分法（能量法）─根据变形体的能量极值原理，导出弹性力学的变分方程，并进行求解。这也是一种独立的弹性力学问题的解法。由于得出的解答大多是近似的，所以常将变分法归入近似的解法。3.差分法─是微分方程的近似数值解法。它将弹力中导出的微分方程及其边界条件化为差分方程（代数方程）进行求解。

4.有限单元法─是近半个世纪发展起来的十分有效、应用十分广泛的数值解法。它首先将连续体变换为离散化结构，再将变分原理应用于离散化结构，并使用计算机进行求解的方法。5.试验方法─模型试验和现场试验的各种方法。

对于大量工程实际问题，由于边界条件、外荷载及约束等较为繁杂，所以往往应用近似解法─变分法、差分法、有限单元法等求解。

其次章教学参考资料

（一）本章学习要求及重点

本章系统地介绍了平面问题的基本理论：基本方程和边界条件，及两种基本解法。这些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。因此，学好平面问题的基本理论，就可以便利地学习其他各章。为此，我们要求学生深入地理解本章的内容，把握好以下几点：1.两类平面问题的定义。

2.在平面区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方程的建立。3.在平面边界上的位移和应力边界条件的建立，及圣维南原理的应用。4.按位移求解方法和按应力求解方法。5.关于一点应力状态的分析。

为了稳固地理解和把握平面问题的基本理论，要求学生做到:（1）明白地了解上述有关问题的提出和分析的方法；（2）自己动手推导公式，以加深理解；（3）对上述内容进行总结，把握其要点。（二）本章内容提要

1.平面问题包括平面应力问题和平面应变问题。它们的特征是：平面应力问题，（1）

（2）应力和应变均只是平面应变问题，（1）

只有平面应变

函数。

存在；

只有的函数。

平面应力存在；

（2）应力、应变和位移只是的

平面应力问题对应的弹性体寻常为等厚度薄板，而平面应变问题对应的弹性体寻常为常截面长柱体。这两类平面问题的平衡微分方程、几何方程、应力和位移边界条件都完全一致，只有物理方程的系数不同。

假使将平面应力问题的物理方程作方程。

2.平面问题的基本方程和边界条件（平面应力问题）平面问题中共有八个未知函数，即（1）平衡微分方程

的变换，便可得到平面应变问题的物理

。它们必需满足区域内的基本方程：

（2）几何方程

（3）物理方程

和边界条件：（1）应力边界条件

（在

（2）位移边界条件

（在

3.按位移求解平面问题（平面应力问题）位移分量u和v必需满足以下全部条件：（1）用位移表示的平衡微分方程

上）

上）

（2）用位移表示的应力边界条件

（在

（3）位移边界条件

（在

4.按应力求解平面问题（平面应力问题）应力分量

（1）平衡微分方程

必需满足以下全部条件：

上）

上）

（2）相容方程

（3）应力边界条件（假设全部为应力边界条件，

）

（在

5.在常体力状况下，按应力求解可进一步简化为按应力函数（1）相容方程

（2）应力边界条件（假设全部为应力边界条件，

）。

上）求解。

必需满足以下全部条件：

（在

（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。求出应力函数

后，可以按下式求出应力分量，

上）

（三）按位移求解的简化

按应力求解平面问题，原先具有三个未知函数应力函数

。艾里求出了平衡微分方程的通解，可以用

的过程，也就证明白

的存在性。

应满足

表示三个应力分量，且能完全满足平衡微分方程。导出

因此，按应力求解平面问题，均可改为按应力函数的相容方程也化为较简单的重调和方程

求解：其中的未知函数只有一个，且

在按位移求解平面问题中，大量力学家也想找出更简便的途径。下面介绍两种方法，可用来简化平面问题按位移求解的方法。（1）引用位移势函数的方法假定位移是有势的，即位移分量

可以分别用一个势函数

的导数来表示，

将上式代入按位移求解的平衡微分方程，得出

若不计体力，则上述方程可以归纳为

其中C为任意常数。

于是，求解平衡微分方程的解答得出位移

，就化为求解泊松方程（b）的解答

，求出

后，可由式（a）

，再由几何方程和物理方程得出应力，并使它们分别满足位移或应力边界条件。

，使原先的两个未知函数

，简化为一个位移势函数

。

引用位移势函数

它应满足的泊松方程也简单得多，因而使求解的方法得到简化。其局限性是，其中人为地假定了位移是有势的，且使相应的体积应变（2）引用位移函数的方法假定位移分量

可以用位移函数

和

表示为如下形式：

，即弹性体中各点的体积应变均等于同一常量。

将式（c）代入用位移表示的平衡微分方程，若不计体力，就得到

于是，求解位移分量

的问题，就化为求解位移函数

的问题。

都是重调和函数，

应满足重调和方程（d）。求出位移函数移或应力边界条件。

后，便可以得出位移和应力分量，并使它们分别满足位

引用位移函数，同样可以使求解的方程得到简化，如式（d）所示。但位移的表达式（c）同样是假定的，只能用来求解某些问题，而不能代表任何问题的解都符合式（c）的假定，即不具有普遍性。（四）平面问题的位移连续性条件――相容方程的导出这里仿照空间问题相容方程的导出，给出平面应变问题（于相容方程的导出和证明。（1）位移函数位移函数a.必需存在；b.而且相容。（2）求出

的导数。

存在（有解），则必然连续，即具有连续性。

，只有

且仅为

的函数）中关

具有连续性的充分必要条件是，其导数

由几何方程，并引入微分体的转动分量出

，由切应变和转动分量两式，得

（3）

的导数必需满足相容性条件，即

将式（e）、（f）代入式（g），整理后得

由此可见，从（4）转动分量

导数的相容性条件导出，式（h）必需成立。存在且具有连续性的条件是，

的导数存在。

a.其导数存在─从式（h）可见，只要形变分量存在，则b.其导数必需相容，即满足

将式（h）代入式（i），整理后便得出

这就是平面问题的相容方程。（5）归纳起来讲，位移

存在且具有连续性的条件是，形变分量满足相容方程（j）。

第三章教学参考资料

（一）本章学习重点及要求

本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中采用应力函数φ作为基本未知数进行求解，并以直角坐标来表示问题的解答。在学习本章时，应重点把握：1.按应力函数φ求解时，φ必需满足的条件。2.逆解法和半逆解法。3.由应力求位移的方法。

4.从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹力学和材料力学解法的异同。

在早期应用逆解法和半逆解法，曾经得出大量平面问题的解答。但是对于有繁杂荷载和边界条件的工程实际问题，是难以用这些方法找出函数式解答的。我们可以采用弹性力学的近似解法来求解工程实际问题。因此，我们不要求读者去求解新的问题的解答，而是要求读者了解弹性力学问题是如何求解的，如何满足有关的方程和边界条件的。从而使读者能阅读和理解弹性力学已有的解答，并应用到工程实践中去。（二）本章内容提要

1.按应力函数φ求解时，φ必需满足：(1)区域A内的相容方程，（2）s=sσ上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件）（3）多连体的位移单值条件。

2.在半逆解法中寻觅应力函数φ时，寻常采用以下方法来假设应力分量的函数形式（1）由材料力学解答提出假设，（2）由边界受力状况提出假设，（3）用量纲分析方法提出假设。3.在校核应力边界条件时，必需注意以下几点（见（四））。

4.学习本章的重点，是把握弹性力学问题按应力求解的方法。要求读者在把握这些基本理论之后，能阅读和理解弹性力学文献，并将已有的解允许用到工程实践中去。

5.对于工程实际问题，由于边界形状和受力、约束条件较为繁杂，难以得出微分方程的函数式解答。因此，并不要求读者去求解新的解答，只要求能把握基本理论，并能应用弹性力学近似解法（见后面几章）去解决工程实际问题。（三）重力坝的材力解法

一般重力坝的分析，采用的是材料力学的解法，称为重力法。其解法的要点是：对重力坝进行分层计算，对每一水平层，

1.假设σy沿水平的x向为直线分布，即σy=a(y)+b(y)x，并由偏心受压公式确定每一层的a和b。2.将σy代入平衡微分方程（2-2）的其次式，并对x积分，可得出切应力txy的表达式，txy=a1(y)+b1(y)x+c1(y)x2再由上，下游切应力的边界条件，及水平截面上的总水平力的平衡条件来确定a1,b1及c1。

3.将txy代入平衡微分方程（2-2）的第一式，并对x积分，可得出水平向正应力σx的表达式，σx=a2(y)+b2(y)x+c2(y)x2+d2(y)x3其中的a2…d2可由上下层对y的导数（差分形式）及上下游边界条件确定。重力法至今仍列入重力坝的规范中，作为设计的方法。这是由于:

重力坝中最主要的应力σy为直线分布，符合楔形体的解答及坝体上部2/3区域的实际情形；(1)重力法计算简单；

(2)在中低坝中倾复和滑移的稳定性是设计中的主要控制因素，因此应力可简单地按上述方式进行分析。从弹性力学观点来看，重力法中虽然考虑了平衡微分方程，但没有满足相容方程；又由于实际重力坝的下部是与地基联接的，下部的边界条件也没有进行考虑。因此，对于近代工程中出现的高坝和其他繁杂形式的坝体，可以用弹性力学的近似解法—有限单元法进行较确切的分析。（四）校核应力边界条件时，应注意以下几点：

1.应首先校核主要边界（大边界），在主要边界上必需确切满足应力边界条件（式（2-15））。2.其次校核次要边界条件（小边界、局部边界），在次要边界上，若确切的应力边界条件不能满足时，可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（等效的主矢量、主矩的条件）来代替。后者虽然是近似的应力边界条件，但应用于小边界，只影响局部区域的应力，对整个弹性体的解答没有明显的影响。

3.应力边界条件只在边界上才成立，因此，必需把边界的方程代入边界条件。4.应力边界条件中的应力、面力及法线的方向余弦，应按各自的符号规则来确定。5.对于斜边界，须按一般的应力边界条件（2-15）来表示。

6.所有边界上的应力边界条件（主要边界上的两个确切的边界，次要边界上的三个积分的边界条件）都必需满足。当平衡微分方程和其他边界条件都已满足时，可以推论出最终一个次要边界条件上的三个积分边界条件，必需满足的，因此可以不必校核。

7.确切的（严格的）应力边界条件（2-15），一般是二个函数方程，可以用来确定待定的函数；近似的三个积分的应力边界条件，是三个代数方程。因此，边界条件的数目与待定系数的数目并不一定相符。8.应力边界条件表示在边界上，面力（外力）与内部应力之间的统一关系，这种统一关系可以用两种方式来表达：

(1)在边界上取出一个微元体，列出应力边界条件；

(2)在同一边界面上，应力等于对应的面力（数值相等，方向一致）也得出应力边界条件。

9.在平衡微分方程中考虑到二阶微量；而在应力边界条件中，考虑到一阶微量，因此，体力不出现在应力边界条件中。

第四章教学参考资料

（一）本章的学习重点及要求

1.本章建立了在极坐标系中，平面问题的基本方程和按应力求解的方法，并介绍了一批有实用价值的解答。

2.对于圆型、环型或由经向线和环向线围成的物体，宜用极坐标求解。由于用极坐标表示这些物体的边界十分简单，从而使边界条件简化，求解便利。

3.极坐标是一种最简单的曲线坐标。在极坐标中，平面内的任一点用经向坐标极坐标

和直角坐标

和环向坐标

表示。

相比，除了都是正交坐标系外，两者有以下区别：在直角坐标系中，和

和

的量纲都是长度L。

坐标线是直线，

的坐标线都是直线，有固定的方向，在极坐标中，而

坐标线（=常数）和

坐标线（=常数）在不同的点有不同的方向；

坐标线为圆孤曲线；的量纲为L，而的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的差异。

4.读者应理解和把握在极坐标系中基本方程的建立和按应力求解的方法，并与直角坐标系中的基本方程进行对比，了解两者的相像之处和不同之处。

5.有关常微分方程的一些解答见《弹性力学简明教程学习指导》附录。（二）本章内容提要

1.极坐标中的基本方程和边界条件（1）平衡微分方程

（2）几何方程

（3）物理方程（平面应力问题）

当物体的边界面为

面或

面时，位移或应力边界条件都十分简单。

2.从直角坐标系到极坐标系的物理量的变换式

变量转换：函数转换：

转换为

矢量转换：

导数转换：一阶导数（二阶和高阶导数可以类推）：

拉普拉斯算子：

应力转换：

3.极坐标中按应力函数（1）区域内的相容方程

求解，

应满足：

（2）边界上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件）。

（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。当不记体力时，应力分量的表达式为

4.轴对称应力和相应的位移应力函数：应力：

位移（平面应力问题）：

（三）相容方程的通解极坐标中满足相容方程

的应力函数

的通解，可以表达如下：

上式中第一行的前三项代表轴对称的应力分布，第四项代表半平面体受均布法向和切向荷载的应力解答，第五项给出纯剪的解答。其次行中的第一项代表

在面上荷载沿

为线性分布的解答，其余各项代表一般圆环被径项力弯曲

时的解答，综合其次行所有各项，可得无限大板上作用一集中力之解。

第三行也可得到相像于其次行的解答，只是力的方向改变了最终两行代表与

和

。

成比例的法向力和剪力作用于圆环的内外边界上的解答。

对于整圆环，还须考虑位移的单值条件。

第五章教学参考资料

（一）本章学习重点及要求

1.弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变和位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件建立微分方程和边界条件，并由此求解应力、形变和位移。从数学上看，弹性力学问题可化为微分方程的边值问题，通过求解，得出函数式的确切解答。

但是对于工程实际问题，由于荷载、边界等较为繁杂，难以求出函数式的解答。从弹性力学基本理论建立以来，为了解决工程实际问题，人们就探讨了各种可供应用的近似解法。弹性力学中最主要的近似解法是变分法、差分法和有限单元法分法。

2.差分法是微分方程的一种近似数值解法。在差分法中，将连续函数用一些结点上的函数值来代替，并从而将微分方程及其边界条件变换为差分(代数)方程，使问题易于求解。在这种方法中，采用了将函数离散的手段。

3.变分法是弹性力学中另一独立的求解方法。

在变分法中根据平衡状态时的能量处于微小值的条件，建立变分方程，并进行求解。弹性力学中的变分方程和微分方程是沟通的，可以相互导出。

由于变分法得出的往往是近似的解答，所以也将变分法归入弹性力学的近似解法。

4.有限单元法是20世纪中期发展起来的弹性力学近似解法。在有限单元法中,首先将区域离散化，把连续体变换为离散化结构；然后将连续体的能量微小值条件应用到离散化结构，从而建立求解的方法。有限单元法应用计算机进行计算，可以有效地解决各种繁杂的工程问题。

5.对于工程技术人员来讲，这些弹性力学的近似解法，是用来解决实际问题的有效手段。因此，读者不仅要理解，而且要能应用这些近似解法。（二）本章内容提要1.导数的差分公式

抛物线差分公式,

线性向前差分公式,

线性向后差分公式,2.应力函数相容方程

的差分解法

边界条件

应力公式

3.变分法是研究泛函及其极值的求解方法。

弹性力学中的位移变分法，是取位移函数为宗量，由总势能处于微小值的条件来导出变分方程，然后进行求解的。以以下出平面应力问题的有关变分公式及方程。4.弹性体的功和能总势能

外力功外力势能

形变(内力)势能

5.在虚位移上弹性体的功和能虚位移(位移变分)

,是在约束条件允许下，在平衡状态附近的微小位移增量。

虚位移状态当虚位移发生时，外力的虚功外力势能的变分

其中u，v为实际平衡状态下的位移。

形变势能的变分6.变分方程

⑴在封闭系统中，假定没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则依照能量守恒定律，在虚位移过程中，形变势能的增加应等于外力势能的减少，即

上式也可以改用以下各形式表示和解释。⑵位移变分方程

⑶虚功方程

⑷最小势能原理

其中

。或者表示为，

⑸位移变分方程的又一形式

7.位移变分法

⑴瑞利－里茨法：设定位移试函数，

预先满足

上的约束边界条件，再满足瑞利－里茨变分方程，

⑵伽辽金法：设定位移势函数预先满足分方程，

上的约束边界条件和

上的应力边界条件，再满足伽辽金变

8.对变分法的简单评价

⑴位移变分法适用于具有各种边界条件的问题，因此，它的适用范围广泛。

⑵变分法中设定试函数时，一般总是局限于某种函数的范围内，不是完全任意的。因此，变分法得出的寻常是近似解。

⑶由于位移解答是近似的，在求导运算后要降低精度。因此在位移变分法中，应力的精度低于位移的精

其中

固定边边界条件

简支边边界条件

自由边边界条件

7．圆板轴对称弯曲的一般解是

其中

由边界条件确定。

（三）板的分类

不同厚度的板具有不同的内力和变形特征。按板的厚度，可以分为：1．厚板—其板厚与板面尺寸之比，约为

即三个方向的几何尺寸接近于同阶大小。因此，

空间问题的各物理量也为同阶大小，均应考虑而不宜忽略。2．薄板—大约为

又按抗弯刚度的大小分为：

小挠度薄板—这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是，（1）由于具有一定的刚度，其横向挠度

即符合小变形假定；（2）在中面位移中，w是主要的，而纵向位移u,v很小，可以不计；

（3）在内力中，仅由横向剪力计。

与横向荷载q成平衡，纵向轴力（平行于中面的内力）N的作用可以不

大挠度薄板—其抗弯刚度较小，因此，（1）挠度w与板厚不能忽略；（3）纵向轴力N也应考虑入横向的平衡条件之中。3．薄膜—大约为

由纵向轴力N与横向荷载q成平衡。（四）薄板弯曲问题的变分法

为同阶大小；（2）在中面位移中，u,v

其抗弯刚度微小，相应的弯曲内力主要

下面我们来介绍一下薄板弯曲问题的变分法。这也是解决实际问题的很有效的方法。在薄板弯曲问题中，由于不计形变分量

因此形变势能为

（a）

将形变分量（式（9-4））和应变分量（式（9-5））代入上式，并注意w是(x,y)

的函数。对z进行积分，得出薄板的形变势能为

薄板在横向荷载作用下的外力功和外力势能为

因此，薄板弯曲问题的总势能极值条件是

求解薄板弯曲问题的里兹法是，首先设定挠度w的试函数，

使之预先满足位移边界条件（关于挠度及转角的条件），再满足里兹变分方程，

由上式可解出系数

。

求解薄板弯曲问题的伽辽金法是，令设定的挠度w不仅满足位移边界条件，也满足应力边界条件（关于弯矩和总剪力的条件），即满足全部边界条件。然后再满足伽辽金变分方程，

其中体力

已转化为等效的面力，归入q元中。将

（书中式（9-5），（9-6））代入，对z

进行积分，得出薄板的伽辽金变分方程为

由上式解出系数

。

试用变分法求解其挠度。

例题3四边固定的矩形薄板，受有均布荷载解：薄板的固定边条件是

取挠度表达式为

上式已满足全部边界条件和对称性条件。若只取一项，

此题中全部为位移边界条件且已满足，可以应用伽辽金法求解。将

并考虑到

代入式（d），求出

对于正方形薄板，a=b,得出挠度解答为

最大挠度发生在x=y=0点，

与确切解

（五）薄板弯曲问题和平面问题的比较

相比，大出5%左右。

薄板弯曲问题和平面问题都是二维问题，可以比较如下。基本未知函数基本方程边界条件平面问题应力函数薄板弯曲问题挠度位移边界条件应力边界条件（(固定边)混合边界一个位移边界条件，另一个为应力边界条件条件从上两表可见，两者的方程相像；但薄板弯曲问题的边界条件，特别是固定边和简支边，比平面问题的边界条件要简单的多，因此，薄板弯曲问题的解答也就比平面问题的解答多。（六）应用叠加方法

应用叠加方法，可将莱维提出的单三角级数解用于解决各种边界条件的薄板问题(参见《弹性力学简明

教程学习指导》)。

例如，对于图9-8的问题，二邻边为支边，另二邻边可表示为解答的叠加为四边简支矩形板，受q作用的解，可以用纳维解法或莱维解法求出：

，其中

分别为q=0，两对边简支，

而另外有一边为广义简支边（在边界上分别受弯矩的作用，其中表示）的解，应用莱维解法可求出。由此得出解答，

，然后再由条件

均为未知，用待定系数

求出系数

，从而得出解答

。

又例如，图9-9的薄板，二邻边为支边，另二邻边为自由边，也可以按图示方法求解。令

分别见图9-9所示。其中

为四边简支板，受q作用的解，

分别对应

为q=0，两对边简支，而另外有一边为广义简支边（其中弯矩为0，而挠度为未知，分别用待定系数表示）的解，

应用莱维解法可求出

；

为两邻边简支，两邻边自由，在角点A受强迫位移（未知）

作

用的解（参见习题9-3）。并叠加得到及角点条件

，求出

及

从而得出解答

然后再由条件。

以下（三）—（七）均参见“弹性力学简明教程学习指导〞（三）空间问题的位移势函数和位移函数

按位移求解空间问题，也可以引用位移势函数和位移函数，以简化求解的方法。读者同样应注意，这些人为假定的位移势函数或位移函数，不具有普遍性，只能用来解决某些问题。但作为解决问题的思路和方法，是值得我们参考和借鉴的。1.用位移势函数求解空间问题

假设位移u,v,w是有势的函数，它们可以分别用位移势函数

的导数来表示，即

将上式代入用位移表示的平衡微分方程（8－2），若不计体力，则得

（a）

式(a)可以归并为

（b）

其中C为任意常数。若取C=0，则上式成为拉普拉斯方程，

为调和函数，即

（8－7）

将式（8－6）代入应力公式（8－1），则应力也可以用位移势函数表示为

（8－8）

求解的方法是：（1）由8））；（3）使位移和应力满足位移势函数的局限性是，

求出势函数和

；（2）由

求位移（式（8－6））及应力（式（8－

上的边界条件。

因此，它只适用于弹性体内各点均

是人为假定的，且体积应变

无体积应变的情形（如纯剪切问题）。2.用伽辽金位移函数求解空间问题伽辽金假定位移可以表示为如下形式，

其中ξ,η,ζ均为x,y,z函数。由于(x,y,z)具有对等性，上式也用对等的公式表示。将位移表达式（8－9）代入用位移表示的平衡微分方程(8－2)，若不计体力，则得

式（8－10）是ξ,η,ζ应满足的方程，可见它们都是重调和函数。

应力也可以用位移函数来表示。于是，求解空间问题的位移u,v,w就化为求解ξ,η,ζ函数的问题，它们都应满足重调和方程（8－10），并在边界上满足相应的边界条件。引用这种位移函数，其未知函数的数目并没有减少，但使它们应满足的方程简化了。

力学家曾应用上述位移势函数和位移函数解出一些空间问题的解答，有时还采用二者组合的方式来解。（四）空间轴对称问题的位移势函数和位移函数

1.对于空间轴对称问题，当不计体力时，位移分量可以用位移势能数

表示为

（8－11）

代入用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程（书中式（a）），若不计体力，得

这两式可归结为

，若取

，则位移势函数应满足拉普拉斯方程

（8－12）

相应于式（8－11）的应力分量为

（8－13）

于是，按位移势函数

求解时，

应满足拉普拉斯方程（8－12），并在边界上满足位移或应力的边界条

件。采用位移势函数的局限性，宛如平面问题中的位移势函数一样，依旧是体积应变为零，即

2.引用拉甫位移函数求解空间轴对称问题拉甫引用位移函数ζ（ρ,z）来表示位移分量，

（8－14）

代入用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程，两式都得出

（8－15）

将式（8－14）代入几何和物理方程，便可得出应力用ζ表示的表达式

（8－16）

于是，对于空间轴对称问题，可以引用位移函数ζ来进行求解。ζ应满足重调和方程（8－15），并在边界上满足位移或应力边界条件。（五）空间问题的应力函数

在按应力求解空间问题中，力学家也提出了几种应力函数以简化问题的求解。当然这些应力函数不具有普遍性，是人为假定的。例如，马克斯韦提出以下应力函数，令

，并

此组应力分量(c)能完全满足无体力的平衡微分方程（7－1），因此，条件等就可以了。

此外，力学家还提出了其他几种应力函数，读者可参见[6],[7]。（六）扭转问题的差分法

扭转问题的差分法，可以应用抛物线差分公式表示如下。

只须满足相容方程及边界

可应用辛卜生的数值积分公式计算。

切应力公式，

（七）弹性力学的一般原理

以下简要介绍弹性力学中具有普遍意义的原理