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如果平面曲线由极坐标给出，如右图：由所围成的图形称为曲边扇形。其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为

◆极坐标系下的平面图形的面积P243（扇形面积近似替换）例7求双纽线所围平面图形的面积。

◆极坐标系下的平面图形的面积计算例题解例6求心形线所围平面图形的面积。解练习求由下列给定曲线所围成的图形公共部分的面积。解练习求由曲线所围成的图形面积。解旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）

旋转一周所得的立体（演示）。可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或轴。最基本的情形是曲边梯形绕轴或轴旋转的情形。◆旋转体的体积示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。aby=f(x)dcx=g(y)◆旋转体的体积计算公式1、旋转轴为x

轴（演示）

由x=a,x=b，y=0,y=f(x)

（a<b,f(x)>0)所围成的曲边梯形绕x

轴旋转一周而成的旋转体的体积为

由y=c,y=d,x=0,x=g(y)

（c<d,g(y)>0)所围成的曲边梯形绕y

轴旋转一周而成的旋转体的体积为2、旋转轴为y

轴（演示）oxyP(h,r)◆旋转体的体积计算公式例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线，直线x=h及x轴围成一个直角三角形，将它绕x轴旋转构成一个底半径为r，高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积。xx+dx解如图所示任取，形成区间体积元素为直线OP的方程为所求体积为练习：连接坐标原点O及点P(h,r)的直线，直线y=r及y轴围成一个直角三角形，将它绕y轴旋转构成一个底半径为h，高为r的圆锥体，计算圆锥体的体积。例3计算由曲线y=x2

与x=y2

所围成的平面图形绕y

轴旋转一周而成的立体的体积。解如图所示V2V1◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式x1y=x31xy=x31绕x轴旋转一周绕x轴旋转一周1y=x31y轴轴◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y

轴旋转一周绕y轴旋转一周1y=x3y例4求由曲线及所围成的图形绕直线旋转一周而构成的旋转体的体积。yO-223x4思考：绕x轴旋转呢21◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周◆旋转体的体积例题选举例2

求星形线绕轴旋转构成旋转

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