第7课时幂函数学案

第二知识块基本初等函数第7课时幂函数考纲解读：1．理解幂函数的概念，熟悉幂函数的解析式，会画简单幂函数的图象；2．熟练掌握幂函数(为有理数)的性质和图象之间的关系；3．理解当与时幂函数在第一象限的图象和增减性，并运用它进一步分析解决有关幂函数的问题；重难点：1、掌握常见的幂函数的图象和性质，解决有关问题．2、幂函数的图象和性质的总结，熟练运用幂函数的性质解决相关问题，特别是含参数讨论的一类问题．考点梳理1．幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点；（2）当时，幂函数在上；当时，幂函数在上；（3）当时，幂函数是；当时，幂函数是．3．幂函数的性质：（1）都过点；（2）任何幂函数都不过象限；（3）当时，幂函数的图象过．4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从到分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于对称．热点题例例1、已知幂函数（）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，求函数的解析式．变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）（2）（3）（4）（5）例2、比较下列各组中值的大小：（1）；（2），．（3）（4），变式训练2：已知函数满足，且f（8）=4，则_________（填“＞、=、＜”）．例3、已知函数（m∈Z）为偶函数，且f（3）<f（5），求m的值，并确定f（x）的解析式．变式训练3：讨论函数在时，随着x的增大其函数值的变化情况．随堂训练1、(2022年江苏无锡模拟)幂函数的图象经过点，则满足的的值是__________．2、(2022年安徽蚌埠质检)已知幂函数的部分对应值如下表：1eq\f(1,2)1eq\f(\r(2),2)则不等式的解集是__________．3、(2022年广东江门质检)设，函数，.当时，的值域为__________．4、证明幂函数在上是增函数．5、已知函数，且（1）求的值；（2）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为。若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由。思维方法总结1、幂函数如果指数是负数，一定要先转化为正数（倒数关系）；2、如果指数是分数，要转化为根式。3、幂函数和我们前面所学的指数函数和对数函数不同，它的性质不能一概而论。4、求幂函数定义域的关键是：将分数指数幂写成根式参考答案例1、解析：∵是幂函数，∴，解得t＝－1，t＝0或t＝1，∴当t＝０时，，是非奇非偶函数，不满足条件．当t＝1时，是偶函数，但在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．当时，满足题设．综上所述，实数t的值为－1，所求解析式为．评注：涉及求与幂函数有关的参数问题，掌握幂函数的概念和性质是解题的关键．解含参问题有时还应注意分类讨论．变式训练1：解：（1）定义域，值域，奇函数，在上单调递增．（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，在上单调递减．（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增．（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减．（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减．例2、解析：（1）∵幂函数在［０，＋∞）上为增函数，又＞，∴；（2）∵幂函数在（０，＋∞）上为减函数，又＞，∴>．（3），．∵幂函数在（０，＋∞）上单调递减，且＜＜，∴．∴（4）∵＞0，∴幂函数在（０，＋∞）上是增函数．又＜，∴＜．又0＜＜1，指数函数在（0，＋∞）上是减函数，且＞，∴＜．综上可得＜．变式训练2：解析：的原型函数是（为常数），又f（8）=4，∴，∴．于是，显然该函数是偶函数，且在区间（０，＋∞）上是增函数，在（－∞，０）上是减函数，．例3、分析：函数（m∈Z）为偶函数，已限定了必为偶数，又m∈Z，f（3）<f（5），只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定f（x）的解析式．解：∵f（x）是偶函数，∴应为偶数．又∵f（3）<f（5），即，整理，得．∴，解得．又∵m∈Z，∴m=0或1．当m=0时，为奇数（舍去）；当m=1时，为偶数．故m的值为１，．变式训练3：解：（１）当，即或时，为常函数；（２）当，即或时，此时函数为常函数；（３）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；（４）当，即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（５）当，即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（６）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．随堂训练1、解析：设幂函数为，图象经过点，则2、解析：由表知故3、解析：当时，；当时，，根据指数函数与幂函数的单调性，是单调递增函数，，所以时，的值域为4、证明：设，则即此函数在上是增函数5、解：（1）∵，∴，即，∵，∴。