江西省重点高中2023届高三第一次模拟数学（文）试题及参考答案

江西省重点中学2022-2023学年高三第一次模拟测试数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知集合，，则的子集个数为A．4 B．8 C．16 D．322．已知，则（

）A． B． C． D．3．“”是“”成立的条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分又不必要4．某商场一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况的统计如折线图所示，则下列说法正确的是（

）A．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B．支出最高值与支出最低值的比是5:1C．第三季度平均收入为60万元D．利润最高的月份是2月份5．已知是等比数列,公比为,前项和是，若成等差数列，则A．时， B．时，C．时， D．时，6．中，，，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知，若，则的值为A． B． C． D．8．已知下列命题，其中正确命题的个数是（

）①以直角三角形的一边为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆锥②以直角梯形的一腰为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆台③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面④一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台.A．0 B．1 C．2 D．39．已知双曲线与抛物线的一个交点为.为抛物线的焦点.若.则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．10．如图是一个几何体的三视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积为A．12 B．14 C．16 D．1811．已知，为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则的最小值为（

）A． B． C． D．12．已知，函数在R上单调递增，且对于任意实数a，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有且只有三个不同的交点，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)13．，则的值为________.14．给出以下命题：①若集合A={x，y}，B={0，x2}，A=B，则x=1，y=0；②若函数f(x)的定义域为(-1，1)，则函数f(2x+1)的定义域为(-1，0)③函数f(x)=的单调递减区间是(-∞，0)∪(0，+∞)其中正确的命题有___________.(写出所有正确命题的序号)15．从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位偶数.（用数字作答）16．如图，在中，，，所在平面垂直平面，正方体的棱为的斜边，M为中点，在正方体绕棱旋转过程中，直线与平面所成角的正切值的最大值为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．数列满足：，，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18．已知对某校的100名学生进行不记名问卷调查，内容为一周的课外阅读时长和性别等进行统计，如表：（1）课外阅读时长在20以下的女生按分层抽样的方式随机抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求这2人课外阅读时长不低于15的概率；（2）将课外阅读时长为25以上的学生视为“阅读爱好”者，25以下的学生视为“非阅读爱好”者，根据以上数据完成2×2列联表：非阅读爱好者阅读爱好者总计女生男生总计能否在犯错概率不超过0.01的前提下，认为学生的“阅读爱好”与性别有关系？附：，0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819．在四棱锥中，，，平面，为的中点，．(1)求证：；(2)求证：平面；20．已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知，是椭圆上的两个不同的动点，以线段为直径的圆经过坐标原点.是否存在以为圆心的定圆恒与直线相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由.21．已知函数，a为常数，.(1)当时，求在处的切线方程；(2)①讨论函数的单调性；②，不等式恒成立，求a的取值范围.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为（t为参数），抛物线C的极坐标方程为．(1)求直线l和抛物线C的直角坐标方程；(2)求直线l被抛物线C截得的弦长.23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数．(1)若关于的不等式有解，求实数的取值范围；(2)若正实数，满足，当取（1）中最大值时，求的最小值．

答案部分1-12BABABCCBBDDD13．4∵∴∴14．①②/②①解：①若集合，，，，当，所以：与集合的元素的互异性相矛盾，故舍去，或解得，，综上，，故正确；②若函数的定义域为，则，解得，所以函数的定义域为；故正确．③函数的单调递减区间是和；故错误．故答案为：①②.15．396取不到0时有个，取到0时有个，∴共有个.故答案为：396.16．取中点，连接，，，四边形为平行四边形，，直线与平面所成角即为直线与平面所成角；设，则，，过作平面，垂足为，则直线与平面所成角为，平面，，，，，，，又平面，，平面，平面，，，当，即平面时，取得最大值，最大值为，即直线与平面所成角的正切值的最大值为.故答案为：.17．（1）；（2）．（1），∵，又，∴数列是首项为4，公比为2的等比数列，∴，∴．（2）由（1）知，，∴．令，赋值累加得：，∴．∴．考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式．18．（1）；（2）列联表见解析，能.解：（1）课外阅读时长在20以下的女生共有2+4+8=14人，按分层抽样的方式随机抽取7人，时长在，的女生分别有1人（设为a）、2人（设为）、4人（设为），从7人中随机抽取2人包含的基本事件为：共21件，这2人课外阅读时长不低于15所包含的事件有：共6件，这2人课外阅读时长不低于15的概率（2）非阅读爱好者阅读爱好者总计女生162440男生402060总计5644100则在犯错概率不超过0.01的前提下，认为学生的“阅读爱好”与性别有关系.19．（1）在中，，，．取中点，连AF，EF，，，平面ABCD，平面ABCD，，又，即，平面，∴平面，平面，∴，，∴，平面，，∴平面，平面，∴.（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则，平面PAB，平面PAB，平面PAB，在中，，，．而，平面PAB，平面PAB，平面PAB，，平面，∴平面平面，平面，平面.证法二：延长DC，AB，设它们交于点N，连PN，，，为ND的中点为PD中点，平面PAB，平面PAB，平面PAB.20．（1）；（2）存在，.解：由题意知，又椭圆的方程为设，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，以线段为直径的圆过坐标原点，且坐标原点到直线的距离当直线的斜率不存在时，由题知，坐标原点到直线的距离综上所述，存在以为圆心的定圆恒与直线相切，定圆的方程为.21．(1)；(2)①答案见解析，②.（1）由题设，，则，所以，而，则在处的切线方程为，整理得.（2）①由且，当时，在上，上，当时，在上，上，上，当时，在上，当时，在上，上，上，综上，时在上递减，上递增；时在上递增，上递减，上递增；时在上递增；时在上递增，上递减，上递增；②令，问题转化为在上恒成立，而，由①知：当时，在上