2023届全国高考甲卷文科数学模拟试题（二）及答案解析

新高卷全国甲卷文科数学模拟试题（二）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则（

）A． B．8i C． D．3．设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．公比不为1的等比数列满足，若，则的值为（）A．8 B．9C．10 D．115．是一款具有社交属性的健身，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小吴根据记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论不正确的是（

）A．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数B．月跑步里程最大值出现在10月C．月跑步里程逐月增加D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小6．已知实数满足约束条件则的最大值是（

）A．3 B． C． D．7．金堂县主城区为开提升城市新形象，对一街边旧房拆除后，打算改建成矩形花圃，中间划分出直角三角形区域种玫瑰，直角顶点在边上，且距离点，距离点，且、两点分别在边和上，已知，则玫瑰园的最小面积为（

）A． B． C． D．8．函数的大致图像为（

）A． B．C． D．9．函数，（，，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是（

）A．函数的最小正周期是B．函数在上单调递减C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称D．若圆C的半径为，则函数的解析式为10．已知，，，则（

）A． B． C． D．11．沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（

）A．沙漏的侧面积是B．沙漏中的细沙体积为C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是841秒12．如图所示的三角数阵，其中第m行（从上到下），第n列（从左到右）的数表示为，且，当时，有，则下列说法不正确的是（

）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．写出过抛物线上的点且与圆相切的一条直线的方程________．14．已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30--7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是___________________15．已知向量，满足，，，则在上的投影为___________.16．如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：①当为的中点时，平面；②存在点，使得；③直线与所成角的余弦值的最小值为；④三棱锥的外接球的表面积为.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~22题为必考题，每个试题考生都必须作答.第23、24题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.高考在三角（17题）或数列（18题）选择一个命制解答题；定时训练建议练17.17．已知的最小正周期为．(1)求的值；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求角B的大小以及的取值范围．18．已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项的和.19．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，统计数据如下表：平均每天锻炼的时间/分钟人数203644504010将学生平均每天体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表：锻炼不达标锻炼达标总计男女20110总计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？(2)在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出5人，进行体育锻炼体会交流.从参加交流的5人中，随机选出2人做重点发言，求这2位重点发言人恰好一男一女的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63520．如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，．(1)证明：平面ABE；(2)若，，，求三棱锥的体积．21．如图，双曲线的中心在原点，焦距为，左、右顶点分别为A，B，曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得（其中，为点P，T的横坐标），若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．23．已知函数．(1)当时，证明：当时，；(2)当时，恒成立，求a的取值范围．24．在平面直角坐标系xoy中，曲线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程.(1)求曲线的普通方程；(2)若直线与曲线有两个不同公共点，求的取值范围.25．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为，正实数，，满足，求证：.答案解析1．D【解析】因为，所以.故选：D2．A【解析】因，有,则，所以.故选：A3．B【解析】如图，长方体中，平面.在平面内，除直线外，其他所有与平行的直线，都与平面平行，但是平面与平面不平行；若，根据面面平行的定义可知，平面内的直线都与平面平行.所以，“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．C【解析】由题意得：在等比数列中，由可得又故选：C5．C【解析】由所给折线图可知：月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，故选项A正确；月跑步里程最大值出现在10月，故选项B正确；月跑步里程并不是逐月递增，故选项C错误；1月至5月的月跑步里程相对6月至11月，波动性更小，故选项D正确．故选：C．6．B画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界点的位置，此时取得最大值为.故选：B.7．A【解析】如图所示，设，则，，所以，，所以，又、两点分别在边和上，所以，，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的最小值为，故选：A.8．B【解析】因为是由向左平移一个单位得到的，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，所以的图像关于对称，故可排除A，D选项；又当或时，，，所以，故可排除C选项.故选：B.9．D【解析】由函数图象，可得点的横坐标为，所以函数的最小正周期为，所以A不正确；又由，且，即，根据五点作图法且，可得，解得，因为，可得，结合三角函数的性质，可得函数在是先减后增的函数，所以B错误；将函数的图象向左平移个单位后，得到，可得对称轴的方程为，即，所以不是函数的对称轴，所以C错误；当时，可得，即,若圆的半径为，则满足，即，解得，所以的解析式为，所以D正确.故选：D.10．D构造函数，在上单调递增，所以，即，也即，则.，设，，设，，所以在上递增，，即，在上单调递增，所以，即，构造函数，，在上递增，所以，即，即.综上所述，.故选：D【意识培养】利用导数来比较代数式的大小，主要是通过构造函数法，然后利用导数研究所构造函数的单调性，由此来比较出代数式的大小.在比较大小的过程中，如果无法一次比较出大小关系，可通过多次比较大小（放缩法）来进行比较.11．B【解析】A选项，设下面圆锥的母线长为，则cm，故下面圆锥的侧面积为，故沙漏的侧面积为，故A错误；B选项，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高度的，所以细沙形成的圆锥底面半径为cm，高为cm，故底面积为，所以沙漏中的细沙体积为，B正确；C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为，其中此锥体的底面积为，故高度为cm，C错误；D选项，秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D不正确.故选：B12．B【解析】因为,所以有，所以A对，B错，而，，所以因此C对，因此D对.13．或或（写出其中一个即可）由题意可知，，解得，所以，点或.又圆的圆心，半径.①当点时当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设斜率为，此时直线方程为，即.因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离，即，整理可得，，解得，代入直线方程整理可得，直线方程为.②当点时当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设斜率为，此时直线方程为，即.因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离，即，整理可得，，解得，代入直线方程整理可得，直线方程为.综上所述，直线方程为或或.故答案为：.14．由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时分、6时分，则，，则试验包含的所有区域是，，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为或或，则他们能搭乘同一班公交车的概率．故答案为：15．因为，所以，则在上的投影为.故答案为：16．①④【解】对①：当H为DE的中点时，取中点为，连接，因为分别为的中点，故可得//，，根据已知条件可知：//，故//，故四边形为平行四边形，则//，又平面平面，故//面，故①正确；对②：因为平面，平面，故，又四边形为矩形，故，则两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则，设，，若，则，不满足题意，故②错误；对③：，，，，，，，，令，设，，，则，当时，根据对勾函数的性质得，则，当时，有最小值，最小值为，故③错误；对④：由题可得平面，又面为正方形，，AB⊥平面BCF，则AB，BC，CF两两垂直，AF为三棱锥的外接球的直径，又，∴三棱锥的外接球表面积为，故④正确.故答案为：①④17．（1）∵，由函数的最小正周期为．即，得，∴，故；（2）∵，∴由正弦定理得，∴．∵，∴．∵，则.∵，∴，∴，∴，∴.18．（1）当为奇数时，，所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，所以，当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以；（2）.19．（1）依题意，补充完整的列联表如下：锻炼不达标锻炼达标总计男603090女9020110总计15050200由列联表中数据，计算得到的观测值为.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.（2）“锻炼达标”的学生有50人，男生､女生人数比为，用分层抽样方法从中抽出5人，男生有3人（记作，女生有2人（记作）.从参加交流的5人中，随机选出2人的所有可能为：，共10种，其中选出的2人恰好一男一女的有：，共6种.位重点发言人恰好一男一女的概率.20．（1）证明：连接交于点，取的中点，连接，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，所以，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，即，因为平面，平面，所以平面ABE，（2）取的中点为，连接，因为，，所以为等边三角形，所以，，因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面，所以平面，所以点到平面的距离为，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为，因为是直角梯形，，，，，所以，所以.21．（1）由已知可设双曲线方程为，椭圆方程，所以双曲线方程：，椭圆方程为：；（2）设，，，，，P、A、N三点共线，，P、B、M三点共线，，相除：，令，则设：，联立椭圆方程：，易得，所以，∴，，若存在，即，，得，又P在第一象限，所以，；法二：，，，，，直线AP：，，显然，由，又因为P在双曲线上，满足，即，所以，即，同理BP：，可得，所以，若存在，即，而P在第一象限，所以，即.22．（1）由题意椭圆交x轴于，设椭圆长半轴为a，则，与G交于y轴，即交点为，设椭圆短半轴为b，则，故G的标准方程为.（2）联立，可得，解得，当时，，此时与G有两个不同的交点，故的取值范围为.（3）证明：由题意直线交G于（l的倾斜角正弦值的绝对值小于等于），设l的倾斜角为，则，故或，则或，即，当时，关于y轴对称，直线l与y轴交点设为C，则，此时以为邻边作平行四边形，,故，由题意在椭圆C上，即，解得，∴；当时，联立，消去y，化简整理得︰，需满足，设点的坐标分别为，由韦达定理可知∶则以为邻边作平行四边形，则,∴,由于点P在椭圆C上，所以，即，化简得：，经检验满足，又，由于，∴，则，故，故，综合上述可知，即的最小值与的正切值相等.23．（1）法一：首先证明，，理由如下：构造，，则恒成立，故在上单调递减，故，所以，，，，，故在上恒成立，所以在单调递增，故法二：，，，且，令，则，令，则在上恒成立，所以单调递减，又，其中，故，故，使得，且当时，，当时，，所以先增后减，又，，∴在上恒成立，所以单调递增，；（2）法一：，，下证：，，，且在处取等号，令，则，故单调递增，故，且在处取等号，在（1）中已证明；令，则，故单调递增，故，且在处取等号，当时，，当时，即时