北京通州区北关中学高三数学理下学期期末试卷含解析

北京通州区北关中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数g(x)=1－2x，=,则f()等于A．1

B．3 C．15

D．30参考答案：C略2.已知实数，满足，则使不等式恒成立的实数的取值集合是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A3.若复数,,则（

）A．B．

C．

D．参考答案：A，选A.4.某程序框图如图2所示，现将输出值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是则数组中的A.32 B.24 C.18 D.16参考答案：A5.已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数为

（

）A．3

B．π-3

C．3-

D．-3参考答案：C6.已知为定义在上的奇函数，且当时，（为常数），则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A． B．⊥（） C．⊥（） D．（）⊥（）参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．【解答】解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．【点评】考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．8.运行如图所示的程序框图，当输入时，输出的x为（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：D9.已知集合，则A∩B的元素有()A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B10.已知函数，则方程的不相等的实根个数为（）A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于

参考答案：

12.若实数满足，且，则的值为

.参考答案：13.已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+（n≥2），则数列{an}的前9项和等于

．参考答案：27【考点】数列递推式．【分析】通过an=an﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵an=an﹣1+（n≥2），∴an﹣an﹣1=（n≥2），∴数列{an}的公差d=，又a1=1，∴an=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+?d=9+36×=27，故答案为：27．14.将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数的单调递增区间为

.参考答案：15.从圆x2+y2=4内任取一点p，则p到直线x+y=1的距离小于的概率．参考答案：【考点】几何概型．【分析】利用点到直线的距离公式求出满足条件的点的弧长、几何概型的计算公式即可得出．【解答】解：由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=1的距离为=，故到直线x+y=1距离为的点在直线x+y=0和x+y+2=0上，满足P到直线x+y=1的距离小于的点位于两直线之间的弧上，且两段弧度和为90°．故概率P==．故答案为：16.命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】特称命题．【分析】若命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．【解答】解：若命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．17.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x，y）的值依次记为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8），则t为．参考答案：81考点：循环结构．3794729专题：图表型．分析：由已知中程序框图，我们可以模拟程序的运行结果，并据此分析出程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8）时，t的取值．解答：解：由已知中的程序框图，我们可得：当n=1时，输出（1，0），然后n=3，x=3，y=﹣2；当n=3时，输出（3，﹣2），然后n=5，x=32=9，y=﹣2×2=﹣4；当n=5时，输出（9，﹣4），然后n=7，x=33=27，y=﹣2×3=﹣6；当n=7时，输出（27，﹣6），然后n=9，x=34=81，y=﹣2×4=﹣8；当n=9时，输出（81，﹣8），故t=81．故答案为：81．点评：本题考查循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用利用框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n2﹣2n．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）当n=1时，求得a1，n≥2时，an=sn﹣sn﹣1，验证后合并可得an的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=6n﹣5，将裂项，求和时出现正负相消，问题得到解决．【解答】解：（Ⅰ）由已知得n=1，a1=s1=1，若n≥2，则an=sn﹣sn﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=6n﹣5，n=1时满足上式，所以an=6n﹣5．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知==

故Tn=b1+b2+…+bn==．19.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，=+++……+．试比较与的大小．参考答案：（1）（2）见解析【知识点】递推公式；等比数列的通项公式；数列的和；D1D3D4

解析：（1）由，

……………1分由，其中于是

…3分整理得，

…4分所以数列是首项及公比均为的等比数列.

…5分

…6分（2）由（1）得于是………8分

…9分又，问题转化为比较与的大小，即与的大小设…10分当时，，∴当时单调递增，

∴当时，，而，∴当时，

…12分

经检验=1，2，3时，仍有

…13分

因此，对任意正整数，都有即

…14分【思路点拨】（1）根据已知条件中的递推关系式先得到，再由由，整理即可；（2）借助于已知条件把问题问题转化为比较与的大小，即与的大小，进而证明即可。20.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，其中，AB∥CD，BC=CD=2AB=2，侧面PAB⊥底面ABCD，且，棱PB与底面ABCD所成角为，（I）求二面角B—PC—D的大小。（II）若存在一个球，使得P，B，C，D四点都在此球面上，求该球的体积。参考答案：解析：（I）在平面PAB内，过点P作BA的垂线，交BA的延长线于点O侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊥AB，棱AB与底面ABCD所成角为PO⊥面ABCD，，BO=2又，AB∥CD，BC=CD=2，四边形OBCD是正方形

……（3分）如图，以点O为坐标原点，以OB所在的直线为x轴，以OD所在的直线为y轴，以OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系。则A（1，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）设面PBC的法向量为，面PCD的法向量为由

有

令，解得：同理，可得

……（6分）所以二面角B—PC—D为120°。

……（7分）（II）取PC中点M（1，1，1），则易求得点M到P，B，C，D四点的距离都相等，

……（9分）所以，P，B，C，D四点在以点M为球心，以PC为直径的球上。

……（10分）所球的体积为

……（12分）注：其它解法，参照评分标准给分。21.极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x铀正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（Ⅰ）求曲线C1化成直角坐标方程及直线l的普通方程，并求曲线C1上的点到直线l的最小值．（Ⅱ）求证：．参考答案：考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把曲线C1化成直角坐标方程及直线l的普通方程，求出圆心到直线的距离d，d﹣r即为曲线C1上的点到直线l的最小值；（Ⅱ）设点A，B，C的极坐标分别为（ρ1，φ），（ρ2，φ+），（ρ3，φ﹣），把三点代入曲线C1解析式，表示出ρ1=4cosφ，ρ2=4cos（φ+），ρ3=4cos（φ﹣），代入计算即可得证．解答：（Ⅰ）解：把x=cosθ，y=sinθ，ρ=x2+y2代入得：C1：x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，直线l方程化简得：y=2（x+2），即y=x+2，∵圆心（2，0）到直线l的距离d==2，则曲线C1上的点到直线l的最小值d﹣r=2﹣2；（Ⅱ）证明：设点A，B，C的极坐标分别为（ρ1，φ），（ρ2，φ+），（ρ3，φ﹣），∵点A，B，C在曲线C1上，∴ρ1=4cosφ，ρ2=4cos（φ+），ρ3=4cos（φ﹣），∴|OB|+|OC|=ρ2+ρ3=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=4cosφ=ρ1，则|OB|+|OC|=|OA|．点评：此题考查了参数方程化为普通方程，将参数方程正确的化为普通方程是解本题的关键．22.本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为