2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编：函数的概念及其表示章节综合

2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编

函数的概念及其表示章节综合

一、单选题

1.（2019•北京师大附中高一期末）已知函数y=/（x）是定义域为R的偶函数，当xNO时,

|sin[^|xj(O<x<

，若关于X的方程"（x）F+4（x）+6=0（a，6eR）,有且仅有6个不同实数根，则实数

4r+l(x>l)

。的取值范围是（）

2.（2021•北京二中高一期末）如图，动点尸在正方体的对角线上，过点尸作垂直于平面

B8QQ的直线，与正方体表面相交于M,N.设8P=x,MN=y,则函数y=/（幻的图象大致是（）

3.（2。2「北京二中高一期末）已知函数小）=2Cg（x）=32，w（f,若对任意打”，+

00），总存在X2GR,使f（力）=g（X2）,则实数。的取值范围是

A，B-[|,+0°)C-D.1,|U：,2

4.(2019・北京・中央民族大学附属中学高一期末)已知函数〃x)=H+3)x<o,则〃-⑼的值是()

A.1B.-1C.0D.-2

5.(2021•北京•清华附中高一期末)已知函数/(力二f-4x在[0,向上的值域为[T0],则实数m的取值范围是

()

A.(0,2]B.[2,4]C.(0,4]D.(^o,2]

1

6.(2020・北京・清华附中高一期末)函数6=1"丫+1)的定义域为()

A.(—l,+oo)B.(-1,0)u(0,+oo)

C.(0,+e)D.[—l,4-oo)

二、填空题

—x+4,x43

7.(2018•北京・101中学高一期末)已知函数“x)=iOg|X,x>3，定义函数g(x)=f(x)-k,若函数g(x)无零点，

3

则实数k的取值范围为.

8.(2019•北京师大附中高一期末)函数；；：，则//(J)=.

9.(2020.北京.首都师范大学附属中学高一期末)函数〃”=咋,(；_3)的定义域为.

三、解答题

10.(2018•北京,101中学高一期末)已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断，定义：

fi(x)=min{f(t)|a<t<x}(xG[a,b]),

h(x)=max{f(t)|a<t<x}(x([a,b]).

其中，min{f(x)|xGD}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x《D}表示函数f(x)在D上的最大

值.若存在最小正整数k,使得f2(x)-fi(x)<k(x-a)对任意的xd[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k

阶收缩函数

(1)若f(x)=sinx,xG[-y,y],请直接写出f|(X),h(X)的表达式；

(2)已知函数f(x)=(x-1)2,x6[-l,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应

的k；如果不是，请说明理由.

11.(2020.北京.清华附中高一期末)若函数/(X)定义域为R,且存在非零实数T,使得对于任意的

xwRJ(x+T)=斤(x)恒成立，称函数“X)满足性质尸(T)

⑴分别判断下列函数是否满足性质P(T)并说明理由

①f(x)-sin2/rx②g(x)=cos2G

⑵若函数.f(x)既满足性质p(2),又满足性质P(3),求函数”X)的解析式

⑶若函数f(x)满足性质尸(L01),求证：存在x°eR,使得了小)<0.001

12.(2019•北京J01中学高一期末)正四棱锥S-48CD的底面边长为2,侧棱长为x.

(1)求出其表面积S(x)和体积V(x)；

(2)设/(》)=渭，求出函数Ax)的定义域，并判断其单调性(无需证明).

V(x)

13.(2021.北京.101中学高一期末)已知函数"x)=l+k3(_2<x42).

(1)求函数f(x)的值域：

(2)若函数g(x)=log〃x的图像与函数/(x)的图像有交点，请直接写出实数。的取值范围.

14.(2021•北京♦清华附中高一期末)已知函数f(x)=ox+§,a,beR,且该函数的图象经过点(-1,0),(21)

(I)求a,b的值；

(II)已知直线y="+〃*Nl)与x轴交于点T,且与函数“X)的图像只有一个公共点.求|。7|的最大值.(其中。

为坐标原点)

参考答案

1.c

且关于x的方程"(x)r+，(%)+b=O,a,b£R有且仅有6个不同实数根,

•**x2+ax+b=0的两根分别为％=w1<*2va或。<%<1[vZ<]；

由韦达定理可得芭十/=-。，

559559

若％=—,1<为<一，则=<一。<=,即J；

444224

599

若0<X]41,1<Xjv—,则1<~a<—,即—<a<—1；

444

—599

从而可知—<a<—或—<a<—1；

244

故选C.

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现

欢。))的形式时，应从内到外依次求值.

(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记

要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

2.B

【详解】

试题分析：由题意知，MNL平面BBQQ,则MN在底面ABCD上的射影是与对角线AC平行的直线，故当动点P

在对角线BDi上从点B向Di运动时，x变大y变大，直到P为BDi的中点时，y最大为AC.然后x变小y变小，

直到y变为0,因底面ABCD为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样.故答案为B.

考点：函数的图像与图像项变化.

点评：本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，

考查了作图和读图能力.属于中档题.

3.C

【分析】

对a分a=O,aVO和a>0讨论，a>0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围.

【详解】

当〃=0时，函数/(x)=2/，的值域为［1,+8),函数g(x)的值域为［0,++8),满足题意.

当。<0时，>=/+2“。<0)的值域为(2a,+oo),)，=acosix+2(xN0)的值域为口+2,-。+2］,

因为4+2-2〃=2-。>0,所以a+2>2a,

所以此时函数g(x)的值域为(2用+8),

由题得24V1,即4V即〃V0.

当。>0时，>二工2+2。(为<0)的值域为(2凡+8)，尸acosx+2(xN0)的值域为［-。+2,〃+2］,

2［—a+2V1

当生:时，-a+2W2a,由题得｛,..l<a<2.

3［a+2>2a

当0<“<2时，-a+2>2a,由题得2a<l,所以“V!.所以0<a<?.

322

综合得“的范围为a<g或19W2,

故选C.

【点睛】

本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

平和分析推理能力.

4.A

【分析】

根据自变量满足的范围代入对应表达式求解即可.

【详解】

/(-10)=/(-7)=/H)=/(-l)=/(2)=log22=l.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了分段函数的求值.属于基础题型.

5.B

【分析】

根据二次函数的图象和性质，结合定义域与值域的概念可以得到实数m的取值范围.

【详解】

函数〃X)=X2-4X在［0,2］上单调递减，在［2,+00)上单调递增，

〃0)=1,〃2)=<〃4)=0户>4时〃尤)>0,0<犬<4时>4<〃》)<0,

函数/(x)=x2—4x的部分图象及在［0,向上的的图象如图所示.

所以为使函数〃”=必-以在［0,向上的值域为［Y,0］,实数〃?的取值范围是［2,4］,

6.B

【分析】

解不等式加(x+l)#0,且x+l>0,即可求出函数的定义域.

【详解】

解：要使函数有意义，则加(x+l)*0,且x+l>0,

即x>-l且XHO,

故函数的定义域为“|x>-1且XKO},

故选：B

7.［-1,1)

【分析】

由分段函数的解析式得函数在［3,+8)上"*)=陛,递减，可得f(x)<T；在(-%3)上f(x)=-x+4递减，可得

f(x)>l,即f(x)的值域为(e,—1)51，+8),由y=f(x)的图象与y=k无交点，即可得结果.

【详解】

-x+4,x<3

函数f(x)=<log卢x>3，

、3

可得x>3时，"x)=bgd递减，

3

可得f(x)<-l；

当x<3时，f(x)=-x+4递减，可得f(x)21,

即有f(x)的值域为(―匕—1)31，+8),

由函数g(x)=f(x)-k,若函数g(x)无零点，

y=f(x)的图象与y=k无交点，

则f(x)—k=O无解，即f(x)=k无解，

所以k的范围是卜1,1).

故答案为[-1,1).

【点睛】

函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇

偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数y=/(x)-g(x)的零点=函数

y=/(x)-g(x)在X轴的交点O方程，(x)-g(x)=o的根O函数y=/(x)与y=g(x)的交点.

8.-

9

【分析】

先求/(；)的值，再求/的值.

【详解】

由题得/(；)=log2；=-2,

所以//G)=/(-2)=3-2=1,

故答案为/

【点睛】

本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

9.(3,4)54,+°0)

【分析】

根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数/(力的定义域.

【详解】

依题意有]_3片1，解得x43,4)54,”).

故答案为(3,4)口(4,.)

【点睛】

本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.

TT'TTTTTT

10.(1)fi(x)=-l,xe[-y,-]•f2(x)=sinx,xe[-y,小⑵存在k=4

【详解】

77"yr

试题分析：(1)由题息可得：fl(x)=-1,x€[-y,y];fl(X)=sinx,X€[-y,y]；(2)由函数f(X)=(X-1)

2,Xe[-1,4],写出fl(x)和f2(x)的解析式，根据f2(x)-fl(x)<k(x-a)对任意的Xd[a,b]成立，分段列出不

等式，求出函数最值代入，可得k的取值范围,即存在k=4,使得f(x)是[-1,4]上的4阶收缩函数.

试题解析：

JTTTTTTT

(1)由题意可得：fi(x)=-1,x€[-y,—}•f2(x)=sinx,xe[-y,

4,XG[-1,3),

(2)fi(x)=f2(x)

[0,xe[l,4].C,XG[3,4].

3+2x-x~,xE[1—,1)»

h(x)-fi(x)=<4,xe[1,3),

(\XG[3,4],

当x£[-l,1)时，3+2x-x2<k(x+l),所以kN3-x,所以k%；

4

当x£[l,3)时，4<k(x+l),所以Q-所以kN2；

x+l

(r-1)2Q

当x£[3,4]时，(x-1)2<k(x+l),所以kN上,所以k2二.

x+l5

综上所述，k>4,即存在k=4,使得f(x)是[-1,4]上的4阶收缩函数.

11.(1)①②满足性质尸(1),理由见解析

⑵小)=0

(3)证明见解析

【分析】

(1)计算〃x+l)=/(x),g(x+l)=g(x),得到答案.

(2)根据函数性质变换得到2/(x+l)=3/(x),3/(x-l)=2/(x),/(x+l)=2/(x-1),解得答案.

(3)根据函数性质得到/(-〃xl.01)=丁焉./(1.01),^^^^,.0,10001/(1.01)1，当〃>N时满足条件，得到答案.

(1)

/(x+l)=sin[27i(x+l)]=sin(27ix+27r)=sin27tr=/(X),故/(x)满足P(l)；

g(x+l)=COS[2TT(X+1)]=COS(2TU+2JI)=COS2nx=g(x),故g(x)满足尸⑴.

(2)

f(x+2)=2〃x)且〃x+3)=3/(x),

故〃x+3)=/(x+l+2)=2/(x+l)=3/(x),

f(x+2)=f(x-l+3)=3f(x-l)=2f(x),/(x+l)=2/(x-l),解得/(x)=0.

(3)

/(x+1.01)=1.01/(x),

Sj/(x+1.01)=1.012/(^-l-01)=1.013/(^-2xl.01)=--=1.01n+7(x-nxl.01),

取x=0得到“L01)=L01""(fxl.01),即

取N=logLoJOOO〃(1.01)|,当〃〉N时，7r•41.01)<0.001,

故存在％=--xl.01满足./•(%)<0.001.

12.(1)S(x)=4+4&W，V(x)=^\lx2-2；(2)x>42./(x)是减函数.

【分析】

(1)画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；(2)结合表达

式，可求出x的范围，即定义域，然后判断其为减函数.

【详解】

(1)过点S作平面A3C£>的垂线，垂足为O,取A8的中点E,连结OE,SE,

因为S-AB8为正四棱锥，所以成?=34。=1,AE=1,SE=yJSA^-AE2=Vx2-1-

SO=>]SE2-EO2=&-1-1=SJX2-2-

所以四棱锥的表面积为S(x)=4xgxAB-SE+A8-BC=4G^T+4,

_S(x)_4&-1+4_3J--1+3\x>0

X2

⑵J~V(x)~4r^~—~JX-2，卜2-120解得*>0，

U[X2-2>0

“x)是减函数.

【点睛】

本题考查了四棱锥的结构特征，考查了表面积与体积的计算，考查了学生的空间想象能力与计算能力,