全初中数学“一线三等角”模型解析

初中数学“一线三等角”模型解析一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，通常称为“K字模型”，也有部分地方称为“M形图”。起源与基本类型DE绕A点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置。基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”性质1.一般情况下，如下左图，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等。（若CE=ED，则△AEC≌△BDE）3.中点型“一线三等角”如右上图，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“一线三等角”的各种变式应用1.“一线三等角”应用的三种情况。a.图形中已经存在一线三等角，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段。3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似。如上图，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。模型建立例如图2，已知E是矩形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC于点F，试说明：ΔADE∽ΔBFE。分析：要证明ΔADE与ΔBFE相似，已经知道∠A=∠B=90°，只需要再找出另外一对相等的角即可。解答：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°∵EF⊥DE∴∠DEF=90°，∠2+∠3=90°又∵∠1+∠3=90°∴∠1=∠2∴ΔADE∽ΔBFE小结：此时，在直线AB上，∠A=∠DEF=∠B=90°，一条线上有3个直角，两边的ΔADE与ΔBFE相似。这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”。通过例题，我们已经证明，“一线三垂直”可以得出相似三角形，那普通的3个等角又会怎样呢？变式1如图3，已知等边三角形ABC，点D、E分别为BC，AC上的点，∠ADE=60º。（1）图中有相似三角形吗？如果有，请说明理由。（2）如图4，若将∠ADE在ΔABC的内部（∠ADE两边不与BC重合）绕点D逆时针旋转一定的角度，得到的两三角形仍相似吗？分析：（1）此时，在直线BC上，∠B=∠ADE=∠C=60°，一条线上有3个等角，两边的ΔABD与ΔDEC相似吗？（2）旋转后，变化中的不变量是什么？ΔABD与ΔDEC相似吗？解答：（1）在等边三角形ABC中，∠B=∠C=60°∵∠ADE=60º∴∠2+∠3=120°又∵∠1+∠3=120°∴∠1=∠2∴ΔABD∽ΔDCE另外：ΔADE与ΔACD也相似。∵∠DAE=∠CAD（公共角）∠ADE=60º=∠DCA∴ΔADE∽ΔACD（2）旋转后，变化中的不变量是∠ADE的大小那么，依然可以有：∵∠2+∠3=120°又∵∠1+∠3=120°∴∠1=∠2∴ΔABD∽ΔDCE小结：此时，一条线上的三个等角由90°变成了60°，两边的三角形依然相似。那么，更一般的等角呢？变式2如图5，隐藏变式1图形中的线段AE，在得到的新图形中，（1）如果∠B=∠C=∠ADE=50º，图中有相似三角形吗？（2）如图6，若∠B=∠C=∠ADE=∠α，∠α为任意角，还有相似三角形吗？分析：等角由90°变为60°，三角形依然相似。再变为50º，任意角α，虽然等角的大小发生了变化，但等量关系没变。解答：（1）∵∠B=∠C=∠ADE=50º∴∠2+∠3=130°又∵∠1+∠3=130°∴∠1=∠2∴ΔABD∽ΔDCE（2）∵∠B=∠C=∠ADE=α∴∠2+∠3=180°-α又∵∠1+∠3=180°-α∴∠1=∠2∴ΔABD∽ΔDCE小结：现在，我们已经从特殊角过渡到任意角，证明在一条线上，只要有3个等角，两边的三角形就一定相似。这个相似的基本模型就是“一线三等角”。模型应用打开我们的新年礼包：已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）分析：观察这个图形，∠α不是特殊角，要求sinα的值，首先要把角α放在一个直角三角形中，于是过点B作垂线，构造直角三角形ABF。又已知△ABC是等腰直角三角形，要用到∠ACB为直角和AC=CB的特殊条件，及平行线之间的等距条件，所以分别过点A、B作垂线，构造“一线三等角”的相似基本图形。解答：由“一线三等角”，得ΔACD∽ΔCBE由AC=AB