湖南省永州市祝兴中学2021年高三数学理期末试题含解析

湖南省永州市祝兴中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象关于x轴对称的图象大致是（

）参考答案：B2.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，现给出下列命题：①若，则；

②若③若④若.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：B3.设向量，满足||=，||=，且·=1，则|﹣2|=（）A．B．12 C． D．8参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件，进行数量积的运算即可求出的值，进而便可得出的值．【解答】解：=8﹣4+8=12；∴．故选A．4.复数的虚部是A． B．2 C． D．参考答案：C依题意，故虚部为.所以选C.

5.如图，中，，若，则=（A）2

（B）4（C）6

（D）8参考答案：C略6.已知cos（）=，则sinθ=（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：C【分析】利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得sinθ的值．【解答】解：∵cos（）=，∴cos（﹣θ）=2﹣1=﹣=sinθ，即sinθ=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．7.已知向量=（sin（α+），1），=（1，cosα﹣），若⊥，则sin（α+）等于(

) A．1 B．﹣1 C． D．﹣参考答案：A考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：由垂直和数量积的关系可得sin（α+）+cosα﹣=0，由两角和与差的正弦函数展开后重新组合可得结论．解答： 解：∵=（sin（α+），1），=（1，cosα﹣），且⊥，∴sin（α+）+cosα﹣=0，即sinα+cosα+cosα=，∴sinα+cosα=1，即sin（a+）=1故选：A点评：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及数量积的运输，属中档题．8.执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（

）A． B．

C．

D．参考答案：C略9.定义运算，则符合条件的复数对应的点在（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】由题知：

所以所以

所以对应点为（），位于第二象限。10.下列图像中，有且只有一个是函数的导数的图象，则的值为………………….（

）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数对应的点位于复平面的第

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象限.参考答案：答案：一12.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为_______钱.参考答案：由题意,设这五人所得钱分别为，则，且，所以，所以乙所得为钱.

13.若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：①；

②；③；

④.其中是“柯西函数”的为

（填上所有正确答案的序号）参考答案：①

④14.若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为

．参考答案：15.函数的值域为

参考答案：，当且仅当，即时取等号，所以函数的值域为。16.抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为

参考答案：

17.设Sn为等比数列{an}的前n项和，，则__________．参考答案：.【分析】设等比数列的公比为，由，解得，进而可求解的值，得到答案.【详解】由题意，设等比数列的公比为，由，即，解得，又由，即.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分）在等差数列中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12,

q=．

（1）求an与bn；

（2）设数列{Cn}满足cn=，求{}的前n项和Tn。参考答案：略19.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＜0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）在△ABC中，内角A，B，C满足2sin2=g（C+）+1，且其外接圆的半径为1，求△ABC的面积的最大值．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由图知周期T，利用周期公式求出ω，由f（）=1，结合|φ|＜求出φ，利用三角函数图象平移求出g（x）的解析式；（2）利用三角函数恒等变换与三角形内角和定理，化简求C的值，由正弦、余弦定理，基本不等式求出ab≤1，从而求出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）由图知，=4×（+），解得ω=2；∵f（）=sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得φ=2kπ+，k∈Z，由于|φ|＜，因此φ=；∴f（x）=sin（2x+），∴f（x﹣）=sin=sin（2x﹣），即函数y=g（x）的解析式为g（x）=sin（2x﹣）；（2）∵2sin2=g（C+）+1，∴1﹣cos（A+B）=1+sin（2C+），∵cos（A+B）=﹣cosC，sin（2C+）=cos2C，cosC=cos2C，即cosC=2cos2C﹣1，所以cosC=﹣或1（不合题意舍去），可得：C=；由正弦定理得=2R=2，解得c=，由余弦定理得cosC==﹣，∴a2+b2=3﹣ab≥2ab，ab≤1，（当且仅当a=b等号成立），∴S△ABC=absinC=ab≤，∴△ABC面积最大值为．【点评】本题考查了三角函数周期公式、图象平移与三角函数恒等变换、内角和定理以及正弦、余弦定理，基本不等式的应用问题，是综合题．20.（本小题满分10分）已知抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，过作抛物线准线的垂线，垂足为．（1）若点与点的连线恰好过点，且，求抛物线方程；（2）设点在轴上，若要使总为锐角，求的取值范围．参考答案：【答案解析】（1）；（2）且

解析：（1）由题意可知：的中点.且点A在抛物线上，代入得：所以抛物线方程为：.

---4分（2）设，根据题意：为锐角得：且，

即，对都成立.令对都成立1

若，即时，只要使成立，

整理得：，且，所以．2

若，即，只要使成立，得

所以.由①、②得的取值范围是且．……10分【思路点拨】(1)由抛物线的定义的,又,所以A为PF中点，且点A在抛物线上，代入得：所以抛物线方程为：.

（2）把条件用向量表示：设，根据题意为锐角得：且，然后转换向量的坐标运算求m范围.21.已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.参考答案：解：(Ⅰ)由,.①当时,显然时,,当时,,所以此时的单调递增区间为,递减区间为,②同理当时,的单调递增区间为,递减区间为,③当时,不是单调函数;.(Ⅱ)由题知,,得,所以.

所以,且,

令时,可知恒成立,即一定有两个不等实根,

且注意到,所以不妨设,又,于是可知

时,,又时,

即在上递减,在上递增,依题意可知,于是只须,又以上事实对恒成立.故,得;(Ⅲ)分析:要证成立,

即证,

也即证,成立,而这是我们众所周知的超越不等式,下面用综合法证明.证明过程:

由(Ⅰ)知当时,在上递增,所以也所以在上式中分别令得,,以上同向正数不等式相乘得两边同除以得,,即证略22.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设、分别表示化学、物理成绩.例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人.已知与均为B等级的概率为0.18.（1）求抽取的学生人数；（2）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，

求的值；（3）物理成绩为C等级的学生中，已知,,随机变量