河南省郑州市第一百零六中学2021年高二数学理联考试卷含解析

河南省郑州市第一百零六中学2021年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点P在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心，a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.2

D．参考答案：D因为线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，所以=2c,所以,因为直线PF1与以坐标原点O为圆心，a为半径的圆相切于点A，所以OA=a，因此，因为PF1=4AF1，所以

2.已知的值如表所示：如果与呈线性相关且回归直线方程为，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石参考答案：B【考点】BF：随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．4.函数y=|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】对数函数的图象与性质．【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y=|lg（x+1）|的图象可由函数y=lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y=lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项【解答】解：由于函数y=lg（x+1）的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与X轴的交点是（1，0），故函数y=lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y=|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选A5.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的等于（

）A．21

B．22

C．23

D．24参考答案：C6.满足等式1m1(8)=121(n)(n的正整数对(m,n)有(

)

A、1对

B、2对

C、3对

D、3对以上参考答案：B7.设全集，集合，则（

）A.(－5,－2]

B.[4,5)

C.(－5,－2)

D.(4,5)参考答案：A集合，全集，，，集合.故选A.

8.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（

）A．650

B．1250

C．1352

D．5000参考答案：B9.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)

B.∪

C.

D.∪参考答案：B略10.某种帐篷的三视图如图（单位：m）,那么生产这

样一顶帐篷大约需要篷布（）

A．50

B．52

C．54

D．60

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝_____参考答案：-112.函数的值域是________________.参考答案：13.已知函数,若存在实数a、b、c、d，满足，且，则的取值范围是______________.参考答案：(0,4)【分析】根据函数的性质得出之间的关系，从而可求得取值范围．【详解】设，则与的图象的交点的横坐标依次为（如图），∵，且，，∴，，∴，，∴，∵，∴，故答案为(0,4)．【点睛】本题考查函数零点与方程根的分布，解题关键是确定之间的关系及范围．如本题中可结合图象及函数解析式得出．14.函数y＝x2＋x－1在(1，1)处的切线方程为________________________．参考答案：-．设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，把两点坐标代入椭圆方程后将两式相减得：15.如图平面直角坐标系xOy中，椭圆，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则=

．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】连结A2P，可得△OPA2是边长为a的正三角形，由此算出PA1、PO的方程，联解求出点P的横坐标m=﹣1．由A2P与圆A1相切得到A2P⊥PA1，从而得到直线A2P的方程，将PA2的方程与椭圆方程联解算出Q点横坐标s=．由=，把前面算出的横坐标代入即可求得的值．【解答】解：连结PO、PA1，可得△POA1是边长为2的等边三角形，∴∠PA1O=∠POA1=60°，可得直线PA1的斜率k1=tan60°=，直线PO的斜率k2=tan120°=﹣，因此直线PA1的方程为y=（x+2），直线PO的方程为y=﹣x，设P（m，n），联解PO、PA1的方程可得m=﹣1．∵圆A1与直线PA2相切于P点，∴PA2⊥PA1，可得∠PA2O=90°﹣∠PA1O=30°，直线PA2的斜率k=tan150°=﹣，因此直线PA2的方程为y=﹣（x﹣2），代入椭圆，消去y，得x2﹣x+=0，解之得x=2或x=．∵直线PA2交椭圆于A2（2，0）与Q点，∴设Q（s，t），可得s=．由此可得====．故答案为：．【点评】本题给出与椭圆相关的直线与圆相切的问题，求线段的比值．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．16.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)。参考答案：14017.过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为．参考答案：x+2y﹣4=0【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意可得，两式相减可得由中点坐标公式可得，，==﹣∴所求的直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0故答案为x+2y﹣4=0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．参考答案：略19.已知函数的极小值为.（1）求f(x)的单调区间；（2）证明：（其中为自然对数的底数）.参考答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）详见解析【分析】（1）先由函数的极小值为，求出，利用导数的应用，求函数单调区间即可；（2）不等式恒成立问题，通常采用最值法，方法一,令，可以证明，方法二,要证，即证，再构造函数证明即可得解.【详解】（1）由题得的定义域为，，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）方法一：要证，即证，令，则，当时，单调递增；当时，，单调递减.所以.由题知.因为，所以，即.方法二：由（1）知.解得，要证，即证.当时，易知.令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即.令，则，所以在区间内单调递增，所以，即，所以，则当时，，所以.综上，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间及证明不等式，属综合性较强的题型.20.（本题满分12分）已知函数在是增函数，在为减函数．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）求证：当时，方程有唯一解；（Ⅲ）当时，若在内恒成立，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ），在上恒成立，∴，∴．………2分又，在上恒成立，∴，∴．…4分∴∴

…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，方程为，即．设，由， ………………6分令，∵，∴，解得

．令，∵，∴，解得

． ……8分递增区间为，递减区间为即在处有一个最小值，即当且时，，∴只有一个解．所以当时，方程有唯一解．…9分（Ⅲ）∵，∴当,为减函数，最小值为．…10分令，则．∵，，∴在恒成立．∴函数在为增函数，其最大值为．…11分依题意，解得为所求范围． …12分21.（本小题满分15分）已知函数，其中．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）判断并证明的单调性；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：当