2024届安徽巢湖市高二数学第一学期期末考试试题含解析

2024届安徽巢湖市高二数学第一学期期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列中，，()，则（）A. B.C. D.22．某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是A.总体是：1100名同学的总成绩 B.个体是：每一名同学C.样本是：50名同学的总成绩 D.样本容量是：503．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线5．“”是“直线与直线垂直”的A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6．已知数列满足，且，那么（）A. B.C. D.7．一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（）A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件8．曲线在处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.9．若双曲线的一个焦点为，则的值为（）A. B.C.1 D.10．命题“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使11．已知，则下列说法错误的是（）A.若，分别是直线，的方向向量，则直线，所成的角的余弦值是B.若，分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则直线l与平面所成的角的正弦值是C.若，分别是平面，的法向量，则平面，所成的角的余弦值是D.若，分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则直线l与平面所成的角的正弦值是12．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于（）A.0 B.3C. D.0或3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线与A，C，B，D四点，则四边形ABCD面积的最小值为___________14．设，若不等式在上恒成立，则的取值范围是______.15．已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为__________16．若等比数列满足，则的前n项和____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列和正项等比数列满足（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和18．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过点且与椭圆E交于两点.求的最大值.19．（12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.（Ⅰ）求证：EF//平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥C—PBD的体积.20．（12分）如图，在长方体中，，．点E在上，且（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值22．（10分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】由已知条件求出，可得数是以3为周期的周期数列，从而可得，进而可求得答案【题目详解】因为，()，所以，所以数列的周期为3，，故选：A2、B【解题分析】采用逐一验证法，根据总体，个体，样本的概念，可得结果.【题目详解】据题意：总体是1100名同学的总成绩，故A正确个体是每名同学的总成绩，故B错样本是50名同学的总成绩，故C正确样本容量是：50，故D正确故选：B【题目点拨】本题考查总体，个体，样本的概念，属基础题.3、A【解题分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断【题目详解】根据题意，已知数列的通项公式为，若数列为单调递增数列，则有（），所以，因为，所以，所以当时，数列为单调递增数列，而当数列为单调递增数列时，不一定成立，所以“”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，故选：A4、D【解题分析】由到直线的距离等于到点的距离可得到直线的距离等于到点的距离，然后可得答案.【题目详解】因为到直线的距离等于到点的距离，所以到直线的距离等于到点的距离，所以动点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线故选：D5、B【解题分析】先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【题目详解】因为直线与直线垂直，则，即，解得或；因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.故选B【题目点拨】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.6、D【解题分析】由递推公式得到，，，再结合已知即可求解.【题目详解】解：由，得，，又，那么故选：D7、A【解题分析】根据事件的关系进行判断即可.【题目详解】由题意可知，事件与为互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.故选：A.【题目点拨】本题考查事件关系的判断，考查互斥事件和对立事件概率的理解，属于基础题.8、D【解题分析】求出函数的导数，再求出并借助导数的几何意义求解作答.【题目详解】由求导得：，则有，因此，曲线在处的切线的斜率为，所以曲线在处切线的倾斜角是.故选：D9、B【解题分析】由题意可知双曲线的焦点在轴，从而可得，再列方程可求得结果【题目详解】因为双曲线的一个焦点为，所以，，所以，解得，故选：B10、B【解题分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案【题目详解】存在量词命题的否定，只需把存在量词改成全称量词，并把后面的结论否定，所以“，使”的否定为“，有”，故选：B.11、D【解题分析】利用空间角的意义结合空间向量求空间角的方法逐一分析各选项即可判断作答.【题目详解】对于A，因分别是直线的方向向量，且，直线所成的角为，则，A正确；对于B，D，因分别是直线l的方向向量与平面的法向量，且，直线l与平面所成的角为，则有，B正确，D错误；对于C，因分别是平面的法向量，且，平面所成的角为，则不大于，，C正确.故选：D12、D【解题分析】根据，且构成等比数列，利用“”求解.【题目详解】设等差数列的公差为d，因为，且构成等比数列，所以，解得，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、512【解题分析】设出直线的方程与抛物线方程联立，结合抛物线的定义、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【题目详解】抛物线焦点的坐标为，由题意可知：直线存在斜率且不为零，所以设直线的斜率为，所以直线的方程为，与抛物线的方程联立得：，设，所以，由抛物线的定义可知：，因为直线互相垂直，所以直线的斜率为，同理可得：，所以四边形ABCD面积为：，当且仅当时取等号，即当时取等号，故答案为：51214、【解题分析】构造，利用导数求其最大值，结合已知不等式恒成立，即可确定的范围.【题目详解】令，则且，若得：；若得：；所以在上递增，在上递减，故，要使在上恒成立，即.故答案为：.15、【解题分析】由题意得双曲线的右焦点F(c,0)，设一渐近线OM的方程为，则另一渐近线ON的方程为．设，∵，∴，∴，解得∴点M的坐标为，又，∴，整理得，∴双曲线的渐近线方程为答案：点睛：（1）已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程（2）求双曲线的渐进线方程的关键是求出的关系，并根据焦点的位置确定出渐近线的形式，并进一步得到其方程16、##【解题分析】由已知及等比数列的通项公式得到首项和公比，再利用前n项和公式计算即可.【题目详解】设等比数列的公比为，由已知，得，解得，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可；（2）根据等比数列求和公式直接求解.【题目详解】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，因为，所以因此；（2）数列的前n项和【题目点拨】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18、（1）（2）【解题分析】（1）设椭圆的左，右焦点分别为，．利用椭圆的定义求出，然后求解，得到椭圆方程；（2）当直线的斜率存在时，设，，，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式得到弦长的表达式，再通过换元利用二次函数的性质求解最值即可【小问1详解】依题意，设椭圆的左，右焦点分别为，则，，，，椭圆的方程为【小问2详解】当直线的斜率存在时，设，，，，由得由得由，得设，则，当直线的斜率不存在时，，的最大值为19、(1)见解析（2）【解题分析】本试题主要是考查了线面平行的判定和三棱锥体积的求解的综合问题．培养了同学们的推理论证能力和计算能力（1）根据已知的条件关键是分析出EF//PA，利用线面平行判定定理得到（2）根据上一问中的结论可知PM⊥平面ABCD.然后利用转换顶点的思想求解棱锥的体积解：（Ⅰ）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在CPA中，EF//PA，且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF//平面PAD（Ⅱ）取AD的中点M，连接PM，∵PA=PD，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥平面ABCD.在直角PAM中，求得PM=，∴PM=20、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出，，的坐标，证明，，即可得证；（2）由（1）知，的法向量为，直接写出平面法向量，按照公式求解即可.【小问1详解】在长方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系因为，，所以，，，，，则，，，所以有，，则，，又所以平面小问2详解】由（1）知平面的法向量为，而平面法向量为所以，由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为21、（1）（2）证明见解析【解题分析】（1）根据周长为8，求得a，再根据离心率求解；（2）方法一：设，，得到直线和直线的方程，联立求得Q的横坐标，根据在椭圆上，得到，然后代入Q的横坐标求解；方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点P横坐标，再由的直线方程联立，得到P，Q的横坐标的关系求解.【小问1详解】解：∵的周长为8，∴，即，∵离心率，∴，，∴椭圆C的标准方程为【小问2详解】方法一：设，则直线斜率，∵，∴直线斜率，∴直线的方程为：，同理直线的方程为：，联立上面两直线方程，消去y，得，∵在椭圆上，∴，即，∴，∴所以与的面积之比为定值4方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，则直线的方程为，∵，∴直线的方程为，将代入，得，∵P是椭圆上异于点，