四川省成都市青田华侨中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析

四川省成都市青田华侨中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标系中，点M（3，m）在角α的终边上，点N（2m，4）在角α+的终边上，则m=(

) A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．1参考答案：D考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，列出关系式，然后求解即可．解答： 解：由题意，tanα=，tan（α+）==∴=，∴m=﹣6或1，当m=﹣6时，点M在第四象限的前半部分，而点N在第二象限，故选：D．点评：本题考查三角函数的定义的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．2.已知函数的反函数，则的图象

（

）A．关于点对称

B．关于点对称

C．关于点对称

D．关于点对称参考答案：B3.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A． B．4 C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是由三棱柱截得的，代入体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是由三棱柱截得的，如图所示，故体积V==，故选：C．4.已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于(

)A．10°B．20°C．70°D．80°参考答案：C考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．解答： 解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0，点P在第一象限，OP的斜率tanα===cot20°=tan70°，由α为锐角，可知α为70°．故选C．点评：本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．5.已知几何体三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（

）A．6π B．5π C．4π D．3π参考答案：B几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为，故选B．6.下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（

） A． B．

C． D．参考答案：C略7.已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=xa过点P（，），则a的值为(

)A．﹣1 B． C．2 D．3参考答案：B【考点】基本不等式．【专题】不等式．【分析】先根据基本不等式等号成立的条件求出m，n的值，得到点P的坐标，再代入到函数的解析式中，求得答案．解：=（m+n）（+）=1+16++≥17+2=25，当且仅当n=4m，即m=，n=时取等号，∴点P（，），∴=，∴α=．故选：B【点评】本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式，属于基础题．8.已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sincos，则实数a等于（）A．﹣ B．﹣ C．± D．±参考答案：B【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：2sin2﹣1=﹣cos=﹣，2sincos=﹣，∵角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），sinθ=2sincos，∴=﹣，∴a=﹣，故选B．【点评】本题考查正弦函数的定义，考查二倍角公式，属于中档题．9.下列命题中，真命题是（）A．?x0∈R，≤0 B．?x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件参考答案：D【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2H：全称命题；2I：特称命题；2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；【解答】解：因为y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．10.（5分）（2015?庆阳模拟）设不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为（）A．10B．15C．20D．25参考答案：D【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的交点坐标，即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图，则区域D为△ABC，由，得C（4，﹣2），由，得，即A（4，3），由，得，即B（﹣6，﹣2），则三角形的面积S=，故选：D【点评】：本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为，则R=

．参考答案：设三点分别为A、B、C，球心为O，由题意知∠AOB=∠AOC=∠BOC=，所以AB=BC=CA=R，所以小圆半径为，小圆周长为，解得R=.12.已知函数，则，则a的取值范围是

。参考答案：13.过点（1，0）且与直线平行的直线方程是_______（一般式）参考答案：略14.i是虚数单位，计算的结果为

．参考答案：﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：i是虚数单位，===﹣i．故答案为：﹣i．【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．15.已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，?=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），Sn=，当Sn最大时，n=．参考答案：8或9【考点】数列的求和；平面向量的基本定理及其意义．【专题】等差数列与等比数列；平面向量及应用．【分析】由已知条件采用累加法求得=+（n﹣1），求出?的通项公式，利用等差数列的性质进行求解即可．【解答】解：∵=，∴向量为首项为，公差为的等差数列，则=+（n﹣1），则?=?[+（n﹣1）]=2+（n﹣1）?=4（n﹣1）=，由?=≥0，解得n≤9，即当n=9时，?=0，则当n=8或9时，Sn最大，故答案为：8或9．【点评】本题考查了数列递推式，训练了累加法去数列的通项公式，是中档题16.要制作一个长为，宽为（，单位：），高为的无盖长方体容器，容器的容量为，若该容器的底面造价是每平方米元，侧面造价是每平方米元，则当

时，该容器的总造价最低，最低造价为

元．参考答案：

17.已知正四棱锥的底面边长为1，高为1，则这个正四棱锥的外接球的表面积为．参考答案：

【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的面积公式解之即可．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记球心为O，PO=AO=R，PO1=1，OO1=R﹣1，或OO1=1﹣R（此时O在PO1的延长线上），在Rt△AO1O中，R2=+（R﹣1）2得R=，∴球的表面积S=．故答案为．【点评】本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，记函数.求：（I）函数的最小值及取得小值时的集合；（II）函数的单调递增区间.参考答案：解：（Ⅰ）

…………3分

=，

…………5分

当且仅当,即时，，此时的集合是.

……………8分（Ⅱ）由，所以,

所以函数的单调递增区间为.

……………

12分略19.（本小题满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。参考答案：解析：（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望EX=（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而P(A2)=P(X=2)=,P(A3)=P(X=3)=,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=20.在△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c．虚数x=2+ai是实系数方程x2﹣cx+8=0的根．（1）求边长a，c．（2）若边长a，b，c成等比数列，求△ABC的面积．参考答案：解：（1）由题意可得虚数x1=2+a与x2=2﹣a是实系数方程x2﹣cx+8=0的两个根．由根与系数的关系可得解得（2）∵边长a，b，c成等比数列，∴b2=ac，解得b=根据余弦定理cosB===由同角三角函数的基本关系可得sinB==所以S△ABC===略21.已知函数.（Ⅰ）若函数在处取得根值，求的值和函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由题意知，，且，解得.此时，令，解得或，令，解得，则函数的单调递增区间是和，单调递减区间是（Ⅱ），当时，在上恒成立，则函数在区间上单调递增，∴当时，；当时，令，解得，令，解得，则函数在区间（）上单调递减，在上单调递增，，即，解得；综上所述，实数的取值范围为.22.为了加强中国传统文化教育，某市举行了中学生成语大赛．高中组和初中组参赛选手按成绩分为A、B等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，统计如下：（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，据此资料你能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？

优秀合格合计高中组45

55初中组

15

合计

（Ⅱ）若参赛选手共2万人，用频率估计概率，试估计其中A等级的选手人数；（Ⅲ）若6名选手中，A等级的4人，B等级的2人，从这6名选手中依次不放回的取出两名选手，求取出的两名选手皆为A等级的概率．注：K2=，其中n=a+b+c+d．P（K2＞K0）0.100.050.005K02.7063.8417.879

参考答案：【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据已知的2×2列联表，即可将2×2列联表补充完整；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：优秀率为0.75，优秀等级人数约为2×0.75=1.5万人；（Ⅲ）分别求得这6名选手中依次不放回的取出两名选手，取出的两名选手皆为A等级个数，利用古典概型公式，即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表：

优秀合格合计