福建省泉州市介福中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

福建省泉州市介福中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则“”是“”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2..已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为(

)(A)直角三角形

(B)等边三角形

(C)钝角三角形

(D)等腰直角三角形参考答案：B略3.已知角在第一象限且，则 （

） A．

B．

C． D．参考答案：C略4.命题“使得”的否定是

A．,均有B．,均有

C．使得D．,均有参考答案：B5.已知λ∈R，向量=（3，λ），=（λ﹣1，2），则“λ=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量的平行关系求出λ的值，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：由“∥”，得：λ（λ﹣1）=6，解得：λ=3或﹣2，故“λ=3”是“∥”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了向量的平行关系以及充分必要条件的定义，是一道基础题．6.已知函数（）图象上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是（

）A． B． C．和

D．参考答案：C试题分析：因为函数上任一点的切线方程为，即函数在任一点的切线斜率为,即知任一点的导数为.由,得或,即函数的单调递减区间是和.故选C.考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数中的应用.7.已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数，则(

)（A）、

（B）、（C）、

（D）、参考答案：D∵，∴，∴，∴的周期为，∴，，，又∵奇函数在区间上是增函数，∴在区间上是增函数，∴，故选D.8.在等比数列中，，公比.若，则=(

)（A）9

（B）10

（C）11

（D）12参考答案：C略9.庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”;乙说:“丁能中奖”;丙说:“我或乙能中奖”;丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁参考答案：A本题考查学生的逻辑推理能力.由四人的预测可得下表:中奖人预测结果甲乙丙丁甲????乙????丙????丁????1.

若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意2.

若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意3.

若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意4.

若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确.选A10.如图所示的程序框图输出的结果为30，则判断框内的条件是（

）A．？ B． C． D．参考答案：B当S=0，n=1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=2，n=2；当S=2，n=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=6，n=3；当S=6，n=3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=14，n=4；当S=14，n=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=30，n=5；当S=30，n=5时，满足退出循环的条件，故判断框内的条件是n＜5？，故选：B．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为的学生．参考答案：37考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大（8﹣3）×5，由此能求出结果．解答：解：这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为12+（8﹣3）×5=37．故答案为：37．点评：抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．12.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是

▲

.参考答案：13.已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为．参考答案：（x+3）2+y2=4【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（﹣1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆C的标准方程即可．【解答】解：设圆心C（x，0），则圆的半径r=|BC|=|x+1|∴圆心C到直线l的距离|CD|=，弦长|AB|=2，则r==|x+1|，整理得：x=1（不合题意，舍去）或x=﹣3，∴圆心C（﹣3，0），半径为2，则圆C方程为（x+3）2+y2=4．故答案为：（x+3）2+y2=4．14.若圆为参数）与直线有公共点，则实数的取值范围

参考答案：15.函数的定义域为

.参考答案：【知识点】函数的定义域及其求法．B1【答案解析】解析：由，得，解得：﹣3＜x≤0．∴函数f（x）=的定义域为：（﹣3，0]．故答案为：（﹣3，0]．【思路点拨】直接由根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0联立不等式组求解．16.已知集合，则

．参考答案：17.如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线上从左向右依次取点，，其中是坐标原点，使都是等边三角形，则的边长是

．参考答案：512三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2+2alnx．（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（3）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，由导数的几何意义得f′（2）=1，解得即可；（2）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意x＞0；（3）根据函数的单调性与导数的关系可得g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即﹣+2x+≤0在[1，2]上恒成立．即a≤﹣x2在[1，2]上恒成立．利用导数求出函数h（x）=﹣x2在[1，2]上的最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+2alnx的导数为f′（x）=2x+，由已知f'（2）=1，即4+a=1，解得a=﹣3．（2）f（x）=x2﹣6lnx的导数为f′（x）=2x﹣，x＞0．由f′（x）＞0，可得x＞，f′（x）＜0，可得0＜x＜，即有f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；（3）由g（x）=+x2+2alnx，得g′（x）=﹣+2x+，由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即﹣+2x+≤0在[1，2]上恒成立．即a≤﹣x2在[1，2]上恒成立．令h（x）=﹣x2，在[1，2]上h′（x）=﹣﹣2x＜0，所以h（x）在[1，2]为减函数．h（x）min=h（2）=﹣，所以a≤﹣．19.已知函数f（x）=（x﹣2）ex和g（x）=kx3﹣x﹣2（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求k的取值范围；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求k的最大值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的性质；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求出g'（x）=3kx2﹣1，通过①当k≤0时，②当k＞0时，函数g（x）在区间（1，2）不单调，判断导数的符号，得到函数有极值，即可求k的取值范围；（2）构造h（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2，转化h（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，通过h'（0）=0，对时，时，判断函数的单调性，以及函数的最值，是否满足题意，求出k的最大值．【解答】解：（1）g'（x）=3kx2﹣1…①当k≤0时，g'（x）=3kx2﹣1≤0，所以g（x）在（1，2）单调递减，不满足题意；…②当k＞0时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以，解得…综上k的取值范围是．…（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2依题可知h（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立

…h'（x）=（x﹣1）ex﹣3kx2+1，令φ（x）=h'（x）=（x﹣1）ex﹣3kx2+1，有φ（0）=h'（0）=0且φ'（x）=x（ex﹣6k）…①当6k≤1，即时，因为x≥0，ex≥1，所以φ'（x）=x（ex﹣6k）≥0所以函数φ（x）即h'（x）在[0，+∞）上单调递增，又由φ（0）=h'（0）=0故当x∈[0，+∞）时，h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增又因为h（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，满足题意；…②当6k＞1，即时，当x∈（0，ln（6k）），φ'（x）=x（ex﹣6k）＜0，函数φ（x）即h'（x）单调递减，又由φ（0）=h'（0）=0，所以当x∈（0，ln（6k）），h'（x）＜h'（0）=0所以h（x）在（0，ln（6k））上单调递减，又因为h（0）=0，所以x∈（0，ln（6k））时h（x）＜0，这与题意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍．…综上，即k的最大值是．…【点评】本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，同时考查分类讨论思想的应用，难度比较大，考查分析问题解决问题的能力．20.（本小题满分16分）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k+an－k+1+…an－1+an+1+…an+k－1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”.（1）证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.

参考答案：证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而，当时，，所以，因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，，①当时，.②由①知，，③，④将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，则，所以，在①中，取，则，所以，所以数列是等差数列.21.（14分）已知函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（1，2）上是单调函数，求a的取值范围．参考答案：考点： 函数的单调性及单调区间．专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用．分析： 本题考察函数的单调性．（Ⅰ）先写出函数的定义域，然后求导数，分a=0，a＞0，a＜0，利用导数的符号讨论函数的单调性即可，（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的函数单调性，对a进行分类讨论，又x∈（1，2），分成a≤0，0＜2a≤1，1＜2a＜2，2a≥2四种情况进行讨论．解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x≠a}.．①当a=0时，f（x）=x（x≠0），f'（x）=1，则x∈（﹣∞，0），（0，+∞）时，f（x）为增函数；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，x＞2a或x＜0，由于此时0＜a＜2a，所以x＞2a时，f（x）为增函数，x＜0时，f（x）为增函数；由f'（x）＜0得，0＜x＜2a，考虑定义域，当0＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜2a时，f（x）为减函数；③当a＜0时，由f'（x）＞0得，x＞0或x＜2a，由于此时2a＜a＜0，所以当x＜2a时，f（x）为增函数，x＞0时，f（x）为增函数．由f'（x）＜0得，2a＜x＜0，考虑定义域，当2a＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜0时，f（x）为减函数．综上，当a=0时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（﹣∞，0），（2a，+∞），单调减区间为（0，a），（a，2a）．当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（﹣∞，2a），（0，+∞），单调减区间为（2a，a），（a，0）．（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．②当0＜2a≤1时，即时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（2a，+∞）单调增，即在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．③当1＜2a＜2时，即时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（1，2）上不具有单调性，不合题意．④当2a≥2，即a≥1时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（0，a），（a，2a）为减函数，同时需注意a?（1，2），满足这样的条件时f（x）在（1，2）单调减，所以此时a