山东省济宁市济宁一中2022-2023学年数学高一下期末联考模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列的通项公式是，则等于（）A．70 B．28 C．20 D．82．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=A． B． C． D．3．已知曲线C的方程为x2+y2＝2（x+|y|），直线x＝my+4与曲线C有两个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1或m＜﹣1 B．m＞7或m＜﹣7C．m＞7或m＜﹣1 D．m＞1或m＜﹣74．圆与圆的位置关系是()A．相切 B．内含 C．相离 D．相交5．设向量，，若三点共线，则（）A． B． C． D．26．已知，，，，那么（）A． B． C． D．7．等差数列的前项和为.若,则（）A． B． C． D．8．若直线与直线平行，则的值为A． B． C． D．9．在中，分别为角的对边，若的面积为，则的值为（）A． B． C． D．10．已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，角、、所对应边分别为、、，，的平分线交于点，且，则的最小值为______12．已知、、分别是的边、、的中点，为的外心，且，给出下列等式：①；②；③；④其中正确的等式是_________（填写所有正确等式的编号）.13．如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.14．如图，四棱锥中，所有棱长均为2，是底面正方形中心，为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________.15．若点为圆的弦的中点，则弦所在的直线的方程为___________.16．已知圆是圆上的一条动直径，点是直线上的动点，则的最小值是____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在等差数列{an}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．18．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点为线段上靠近点的三等分点．求点的坐标：若点在轴上，且直线与直线垂直，求点的坐标．19．设为数列的前项和，．（1）求证：数列是等比数列；（2）求证：．20．已知向量，，，.（1）求的最小值及相应的t的值；（2）若与共线，求实数m.21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=2，点M，N分别是边AB，CD上的点，且MN∥BC，.若将矩形ABCD沿MN折起使其形成60°的二面角(如图)．(1)求证:平面CND⊥平面AMND；(2)求直线MC与平面AMND所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

因为，所以，所以=20.故选C.2、B【解析】

试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故选B．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.3、A【解析】

先画出曲线的图象，再求出直线与相切时的，最后结合图象可得的取值范围，得到答案．【详解】如图所示，曲线的图象是两个圆的一部分，由图可知：当直线与曲线相切时，只有一个交点，此时，结合图象可得或．故选：A．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应有直线与圆的位置关系，合理结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．4、D【解析】

写出两圆的圆心，根据两点间距离公式求得两圆心的距离，发现，所以两圆相交。比较三者之间大小判断位置关系。【详解】两圆的圆心分别为：，，半径分别为：，，两圆心距为：，所以，两圆相交，选D。【点睛】通过比较圆心距和半径和与半径差直接的关系判断，即比较三者之间大小。5、A【解析】

利用向量共线的坐标表示可得，解方程即可.【详解】三点共线，，又，，，解得.故选：A【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需掌握向量共线，坐标满足：，属于基础题.6、C【解析】由于故，故，所以.由于，由于，所以，故.综上所述选.7、D【解析】

根据等差数列片段和成等差数列，可得到，代入求得结果.【详解】由等差数列性质知：，，，成等差数列，即：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列片段和性质的应用，关键是根据片段和成等差数列得到项之间的关系，属于基础题.8、C【解析】试题分析：由两直线平行可知系数满足考点：两直线平行的判定9、B【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．10、B【解析】∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、18【解析】

根据三角形面积公式找到的关系，结合基本不等式即可求得最小值.【详解】根据题意，，因为的平分线交于点，且，所以而所以，化简得则当且仅当，即，时取等号，即最小值为.故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式和基本不等式，考查计算能力，属于中等题型12、①②④.【解析】

根据向量的中点性质与向量的加法运算,可判断①②③.【详解】、、分别是的边、、的中点,为的外心,且,设三条中线交点为G,如下图所示:对于①,由三角形中线性质及向量加法运算可知,所以①正确;对于②,,所以②正确;对于③,,所以③错误;对于,由外心性质可知,所以故正确.综上可知,正确的为①②④.故答案为:①②④.【点睛】本题考查了向量的线性运算,三角形外心的性质及应用,属于基础题.13、【解析】

以为原点建立平面直角坐标系，利用计算出两点的坐标，设出点坐标，由此计算出的表达式，，进而求得最值.【详解】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则①，由得②，由①②解得，故.设，则，当时取得最小值为.故填：.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积的坐标表示以及数量积求最值，考查二次函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.14、.【解析】

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与直线所成角的余弦值．【详解】解：四棱锥中，所有棱长均为2，是底面正方形中心，为中点，，平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设直线与直线所成角为，则，直线与直线所成角的余弦值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．15、；【解析】

利用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦．【详解】圆标准方程为，圆心为，，∵是中点，∴，即，∴的方程为，即．故答案为．【点睛】本题考查垂径定理．圆中弦问题，常常要用垂径定理，如弦长（其中为圆心到弦所在直线的距离）．16、【解析】

由题意得，＝＝﹣＝，即可求的最小值．【详解】圆，得，则圆心C（1，2），半径R＝，如图可得：＝＝﹣＝，点是直线上，所以＝（）2＝，∴的最小值是＝.故答案为：．【点睛】本题考查了向量的数量积、转化和数形结合的思想，点到直线的距离，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解析】

（1）等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，求得（），再由数列的裂项相消求和可得Tn，再由不等式的性质即可得证．【详解】（1）等差数列{an}的公差设为d，2a9＝a12+13，a3＝7，可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，解得a1＝3，d＝2，则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）Snn（3+2n+1）＝n（n+2），（），前n项和Tn（1）（1）（）．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18、（1）（2）【解析】

（1）由题意利用线段的定比分点坐标公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出点P的坐标．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出点Q的坐标．【详解】设，因为，所以，又，所以，解得，从而．设，所以，由已知直线与直线垂直，所以则，解得，所以．【点睛】本题主要考查了线段的定比分点坐标公式，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题，着重考查了推理与运算能力．19、（1）见解析；（2）见解析.【解析】

（1）令，由求出的值，再令，由得，将两式相减并整理得，计算出为非零常数可证明出数列为等比数列；（2）由（1）得出，可得出，利用放缩法得出，利用等比数列求和公式分别求出数列和的前项和，从而可证明出所证不等式成立.【详解】（1）当时，，解得；当时，由得，上述两式相减得，整理得.则，且.所以，数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）可知，则．因为，所以.又因为，所以．综上，．【点睛】本题考查利用前项和求数列通项，考查等比数列的定义以及放缩法证明数列不等式，解题时要根据数列递推公式或通项公式的结构选择合适的方法进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20、（1）时，最小值为；（2）.【解析】

(1)利用向量的模长公式计算出的表达式然后求最值.

(2)先求出的坐标，利用向量平行的公式得到关于m的方程，可解得答案.【详解】（1）∵，

∴当时，取得最小值.（2）.∵与共线，∴，则.【点睛】本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题.21、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）转化为证明MN⊥平面CND；（2）过点C作CH⊥ND与点H，则MH是MC在平面AMND内的射影，所以∠CMH即直线MC与平面AMND所成的角.【详解】（1）∵在矩形ABCD中，MN∥BC，∴MN⊥ND，MN⊥NC，