弹性地基梁理论－第三讲

弹性地基梁理论1.

概述定义：弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁。如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁，等等。通过这种梁，将作用在它上面的荷载，分布到较大面积的地基上，既使承载能力较低的地基，能承受较大的荷载，又能使梁的变形减小，提高刚度降低内力。地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放的，地基介质可以是岩石、粘土等固体材料，也可以是水、油之类的液体介质。弹性地基梁是超静定梁，其计算有专门的一套计算理论。1.

荷载种类和组合弹性地基梁与普通梁的区别：2.

弹性地基梁的计算模型计算模型分类：.由于地基梁搁置在地基上，梁上作用有荷载，地基梁在荷载作用下与地基一起产生沉陷，因而梁底与地基表面存在相互作用反力，的大小与地基沉降y有密切关系，很显然，沉降越大，反力也越大，因此在弹性地基梁的计算理论中关键问题是如何确定地基反力与地基沉降之间的关系，或者说如何选取弹性地基的计算模型问题。局部弹性地基模型2.半无限体弹性地基模型

局部弹性地基模型1867年前后，温克尔（E.Winkler）对地基提出如下假设：地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即

式中,y为地基的沉陷，m；k为地基系数，，其物理意义为：使地基产生单位沉陷所需的压强；p为单位面积上的压力强度，。这个假设实际上是把地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹簧。当地基表面上某一点受压力p时，由于弹簧是彼此独立的，故只在该点局部产生沉陷y，而在其他地方不产生任何沉陷。因此，这种地基模型称作局部弹性地基模型。

（3.1）

优点：可以考虑梁本身的实际弹性变形，消除了反力直线分布假设中的缺点。局部弹性地基模型缺点：没有反映地基的变形连续性，当地基表面在某一点承受压力时，实际上不仅在该点局部产生沉陷，而且也在邻近区域产生沉陷。由于没有考虑地基的连续性，故温克尔假设不能全面地反映地基梁的实际情况，特别对于密实厚土层地基和整体岩石地基，将会引起较大的误差。但是，如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石，则地基情况与图中的弹簧模型比较相近，这时将得出比较满意的结果。2.半无限体弹性地基模型

优点：缺点：本章所讨论的弹性地基梁计算理论采用局部弹性地基模型。

3.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其初参数解

基本假设：1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式左图所示为局部弹性地基梁上的长为l、宽度b为单位宽度1的等截面直梁，在荷载及Q作用下，梁和地基的沉陷为，梁与地基之间的反力为。在局部弹性地基梁的计算中，通常以沉陷函数作为基本未知量，地基梁在外荷载、Q作用下产生变形，最终处于平衡状态，选取坐标系xoy，外荷载，地基反力，梁截面内力及变形正负号规定如右图所示。1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式为建立应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段，考察该段的平衡有：得：

得：化简得：

将上式对于x求导得：略去二阶微量得：（3.2）

（3.3）

（3.4）如果梁的挠度已知，则梁任意截面的转角Q，弯矩M，剪力Q可按材料力学中的公式来计算，即:1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式此即为弹性地基梁的挠曲微分方程式令百，录若晕地基幼梁宽舟度为b，则释有2.对应忙齐次肾微分益方程暴的通刮解上面程推导江得弹匀性地纸基梁蜻的挠肌曲微就分方狡程式夜是一毙个四复阶常法系数布线性剃非齐站次微篮分方造程，吓令式彻中，即陶得对鲜应齐钥次微柱分方槐程：由微水分方距程理蕉论知哥，上割述方载程的建通解蚂由四歼个线方性无圈关的渔特解魔组合苗而成冒。为判寻找围四个标线性效无关差的特含解，镇令并代掏入上为式有占：或由复普数开林方根骄公式滤得：是与趟梁和涝地基火的弹浮性性孤质相乖关的鹊一个担综合磁参数蔑，反团映了疤地基惩梁与肿地基征的相盖对刚麻度，判对地晴基梁侍的受胞力特劲性和殿变形圆有重扯要影沉响，坝通常绑把称为特征系数，称为换算长度。（3.棍7）（3.胞8）（3.期9）2.对应恐齐次腊微分阿方程抚的通其解由上毙式（3.么8），口分别好令时k=魔1,榆2,军3时，扭即可券得四孝个线已性无苗关的表特解拳，将慌其进课行组吵合并贪引入未四个兵积分葱常数其，即洞得齐蔽次微寨分方晶程式朋（3.蛛7）的亲通解竹；利用斩双曲卵函数破关系眠：且令则有式中B1、B2、B3、及B4均为滥待定摘积分毒常数式（3.膜10）和快式（3.酒11）均橡为微卫分方捐程（3.忙7）的吉通解骆，在亭不同航的问猎题中灰，有芒各自透不同邀的方台便之时处。（3.锣10）（3.朴11）（一录）初爬参数色法3.初参口数解由式修（3.拌11），距再据蚕式（3.豪5）有（3.败12）式（3.12）中积分常数B1、B2、B3、B4的确定是一个重要环节，梁在任一截面都有四个参数量，即挠度y、转角、弯矩M、剪力Q、而初始截面（x=o）的四个参数、、、就叫做初参数。用初美参数闻法计役算了暗弹性巨地基仁梁的剑基本轨思路耳是，把四驾个积糠分常若数改任用四侮个初伐参数老来表堤示，这道样做鸡的好犁处是:使积独分常峡数具启有明药确的冤物理脸意义;根据滋初参坚数的混物理闷意义丛来寻后求简繁化计译算的稀途径轮。3.初参愈数解（二果）用睛初参盯数表覆示积域分常羞数如图3.养4所示活，梁馆左端猴的四低个边毛界条停件（鸟初参赢数）蝴为（3.栽13）将上抬式代召入式数（3.堪12），嘴解出秩积分搏常数馅得：（3.川14）3.初参虹数解再将窄式（3.衣14）代偶入式团（3.谜12），掉并注意意搏，则有（3.阔15）3.初参这数解其中、并、陵、荣称惯为双曲护线三融角函卸数，它扮们之贺间有泽如下铅微分驻关系唱：式（3.寺15）即蜜为用初寄参数眯表示谊的齐鸦次微翼分方牧程的;，该式患的一怕个显副著优猪点是根式中魄每一子项都陷具有姑明确句的物较理意但义;如式逢（3.舒15）中投的第鹊一式庭中，表示雄当原肌点有违单位摔挠度猜（其渗他三见个初纽奉参数器均为瓜零）材时梁并的挠根度方颗程，表示原点信有单轨位转睬角时油梁的挥挠度仓方程，等邻等；另一婆个显情著优删点是，在按四个登待定肆常数犯、年、羽、宪中有两捏个参芝数可傍由原锦点端业的两四个边方界条愤件直葱接求砌出，删另两还个待莫定初序参数疮由另刻一端苗的边影界条观件来避确定。这剧样就页使确朴定参觉数的索工作烂得到朗了简干化。马表3.洋1列出姥了实浊际工财程中泻常遇陷到的滥支座攻形式陶反荷经载作咐用下导梁端遇参数谅的值得。3.初参肤数解3.初参特数解式（3.商7）等街价于阁地基忌梁仅洋在初杜参数什作用矮下的怨挠曲况微分兄方程替，式刑（3.隔6）等脚价于由地基篇梁既剥有初它参数无作用任，又脊有外颜荷载瓶作用乱的挠旱曲微道分方蝴程，享其特耀解项仗就是奏仅在慈外荷箱载作色用下黄引起叉的梁禁挠度安的附桶加项擦。下线面根弹据梁俘上作脏用的万各种狐形式黑荷载泥分别授加以欣讨论匹。4.弹性倦地基亩梁挠说曲微庄分方沟程的潜特解（一倦）集谋中荷茶载作曲用的封特解涂项1、集婶中力兼作用宜的特贪解项晨。如图3.匀5为一筒弹性馆地基紫梁，O端作损用有肾初参鸭数疏、批、欢、株，A点有德集中锻力p。设y1为OA段的者挠度容表达寸式，y2为AB段的联挠度吃表达退式，瞧由梁尿上无张分布浮荷载宗作用浙，故OA和AB段的掘挠曲夸微分锐方程若分别拦为4.弹性舒地基统梁挠化曲微第分方泰程的哈特解其中式（3.豆16肠a）的舍解可寄用梁观端初聋参数顽来表教示，岩即（3.形17）式（3.碍16竭b）的坟解可辩用初参嘉数作功用下妻的解y1与集换中力pi单独纺作用喘下引养起的贫附加首项叠伏加，即将式垂（3.伐18）代涉入式槽（3.溪16浊b），仁并注胆意式咱（3.笨16勾a）有（3.退19）比较尽式（3.鸟16压a）和口式（3.壤16量b）知旗，式仙（3.处19）解愤的形煌式与拔式贝（3.采17）相带同，盛不同口之处毁是将x换为蕉，馋四个陆初参失数应找解释予为侍处的茫突变掌挠度天，转牧角胸，称弯矩，剪快力济，故凯有（3.甜20）4.弹性柱地基绒梁挠差曲微稿分方单程的暗特解由A点的凳变形锄连续券条件样和受扮力情区况有代入死式（3.闷20）,并据滩式（3.勒5）得（3.匪21）当榨时，爸取特第解项送为零企。4.弹性逝地基顿梁挠窝曲微增分方馒程的氧特解2、集税中力慎偶mi作用恨的特旗解项槽。由pi作用乓下特嘉解项负的推捡导结忘果可慎知，幅挠度贩附加捧项形丙式与廊初参亚数Q。作村用下森的挠唯度相贱同，怪只是竿坐标沾起点针与符移号不厨同。筋同理啊，在集既中力冰偶mi作用驻下挠狭度附贿加项挖与初惠参数M。作全用下秤挠度款也具搂有相首同的焰形式，如抽图3.枕6所示其，Mo遭=M震i，故有当因时灰，取奥特解父项为弯零。4.弹性峡地基凶梁挠警曲微芦分方踪蝶程的程特解（二傲）分丝式布荷跨载作贵用下洲的特穗解项分布脖荷载壳可分收解成斗多个乞集中毯力，滔按集龄中力种求特娃解项天，为劝此，而在x截面理左边刷，离炼端点齐的距槽离为u处取召微段du，微文段上景荷载药为qd夕u，此微荷陷载在晶它右姥边的梅截面x处引宵起的染挠度及特解身项为（档如图3.榨7）而x截面扒以左遍所有贴荷载扣引起折的特怕解项为（3-右23）下面背讨论毒分布仓荷载慎的几获种特狗殊情探况。4.弹性消地基愁梁挠乘曲微顾分方启程的舞特解1、均暗布荷恼载如图3.捕7，荷远载均宾布于ab段，能对于oa段显蚁然没刃有附劳加项，当腔时鱼，积分船限是咸，由概式（3.牢23）及雪式（3.坑5）有（3.乎24）当乒时絮，积分诱限是预（xa、xb），由式文（3.匆23）及轨式(3通.5眨)有（3.帖25）4.弹性峡地基厕梁挠宋曲微宜分方古程的音特解当荷以载满旁跨均债布时薯，积航分限燥是（o、x），价故有（3.岂26）2、三勉角形索分布搭荷载如图3.抗8所示解，三侨角形巩荷载米分布眨于ab段，鸭有(3鞠.2付7)当妇时，积分动限为,由式杜（3.刻27）及唇式隐（3.括5）得4.弹性赖地基起梁挠愧曲微仓分方识程的膨特解（3.恐28）当时，积分限是，同理得（3.佛29）当三腥角形掌荷载拨布满朽全跨会时，积筒分限农是（o、x）有（3.伪30）3、梁销全跨缎布满婚梯形氏荷载穴的特渔解项朽。如图3.吴9所示颠的地汤基梁嫩在梯艺形荷情载作箩用下执的特候解项肢只须评把式(3民.2尿6)与式盾（3.希30）两式谨叠加玻即可慈。4.弹性紧地基肤梁挠涂曲微授分方呢程的妨特解4.弹性南地基狠梁挠纷曲微校分方袖程的帝特解（三领）弹寸性地秒基梁蓄在拌、驾、看、蝴、夜、倍、失、安共同杀作用册下挠探曲微柴分方备程的塌通解如图3.遭10所示湿的弹穴性地忆基梁联，同丘时作吼用有集中怜力、营力偶逼、均甜布载连、三遣角载时，柄综合听各种派荷载佛的影漏响，阅就可夸得出惧挠度屑的一聪般公夫式，颠进行颗微分抢运算置后，藏还可预得出尽转角铲、弯锁矩及眉剪力致的一芹般公采式，乱即4.弹性陷地基拿梁挠价曲微乞分方垂程的仪特解

式（3.31）中，当，时，pi、mi两项取值为零。（3.省31）4.弹性响地基翁短梁胞、长玩梁及塘刚性虚梁短梁（又扛称有微限长冬梁）仰（图3.势11（a））岭，当尿弹性短地基葛梁的株换算壤长度梯时坝，属辛于短饼梁，缺它是路弹性弄地基肆梁的担一般腐情况畜。长梁：无党限长振梁（片图3.帅11（b））晃、半具无限洋长梁妖（图3.炉11（c））黄。当跳换算筐长度相时览，属弊于长以梁；停若荷篮载作茶用点膀距梁点两端唉的换僵算长眨度均勒时，聚可忽器略该驾荷载知对梁驻端的燃影响虑，这伐类梁赌称为羡无限谋长梁鸡；若毅荷载数作用简点仅您距梁睛一端阻的换诞算长兰度铁时，尊可忽瘦略该肺荷载箩对这鉴一端掏的影秃响，拾而对瞧另一全端的浆影响敢不能益忽略怀，这看类梁帮称为缓半无桂限长蛇梁，序无限浮长梁涉可化疼为两杀上半惯无限窑长梁叮。刚性血梁（3.危11（b））汽，当柱换算泡长度庄时也，属长于刚验性梁本。这抗时，屯可认躺为梁罪是绝举对刚请性的纠，即EI怒→∞或2→色0。上节赞的结雀果，盾能直绪接用艘于计正算各给种几射何尺库寸及俭弹性畅特征惨值重的弹脾性地韵基等敢截面训直梁刊。在则工程露实践咐中，黎经计宗算比哭较及君分析泥表明赵，可狂根据邪不同响的换蔽算长抖度兼，将册地基择梁进捡行分齿类，阅然后情采用尼不同隆的方考法进与行简怪化。盾通常可将弹剥性地茅基梁昏分为仍三种勇类型刘。弹性励地基筋梁的将分类长梁怒、短搜梁和恩刚性渗梁的危划分减标准住主要轻依据梁的劈燕实际书长度吵与梁述和地戴基的躲相对刚刚度岭之乘烛积，划管分的仆目的颠是为码了简羞化计赏算。豪事实牙上，鸡长梁枕和刚粗性梁桃均可唯按上昌一节泼介绍兴的公裕式进奶行计汉算，息但长散梁、辜刚性习梁与机短梁爷相比鲁有其非自身蜜的一舅些特框点，潜较短尤梁相象比，背计算拐可以君进一广步简诱化。1.长梁系的计合算（一圈）无崭限长凶梁作竟用集虽中力Pi的计磁算如图3.峰12所示董，梁域上作序用有窗集中岸力Pi，由趟于力职作用餐点至漆两端宜点均蒸满足斩，螺故把参梁看斤作无绞限长旗梁。槐又因暑梁上炒分布芹荷载哈，轿为便削于分骂析，霸现采风用梁纽奉挠曲耐方程承齐次狡解式趁的形碰式，皆即由条宇件膝；又注由对闷称条昆件知毛：位考虑望地基怒反力膛与外忍载Pi的平巷衡条党件：式（3.者10）可敞写为（3.海32）最后淡可得田无限色长梁动右半跌部分袖的挠聪度、傍转角帽、弯狐矩及瞎剪力守：1.长梁感的计螺算（3.筝33）其中对于灵梁的疑左半洗部分系，只链需将塞式（3.共33）中Q和改变牺符号旷即可夹。（二相）无条限长陆梁在财集中汉力偶mi作用宪下的走计算如图3.禁13药(a垒)所示恳无限撑长梁里，作抢用集牺中力伞偶，尽管mi作用点并不一定在梁的对称截面上，但只要mi作用点到两端满足，则mi作用点，就可看作是梁的对称点，因而可把梁分为两根半无限长梁（图3.13(b)、（c）)。梁对称截面上的反对称条件为代入截式（3.列10）得A1域=A膝2=石A3买=0及玩，允最后蛋得无判限长腾梁右笑半部贵分的赏变形飘及内搏力为绩：（3.避34）对于画左半榜部分循，只休需将谜上式太中y与M变号艰即可暂。（二乞）无腾限长副梁在共集中廉力偶mi作用德下的预计算（三府）半福无限滴长梁皮作用妻初参仔数的涌计算如图简（3.汁14）所烧示的俱半无核限长涛梁，爽梁端被作用有初桌参数狠，因召，故填可借历助挠井曲方酬程齐父次解革的结附果，望为了还方便伤分析己，采膀用式渐（3.晶11）的责形式克：由忙代入奖上式液得故有B1不=-敌B3，B2泛=-忘B4再由得最后含得（3.和35）如梁茄端作袍用有唯初参盟数母、笛，则犁可得被、粮与昌、以之间腐的关训系为（三棒）半饭无限辩长梁搂作用消初参候数的注计算（四却）半港无限酿长梁栋在梯衣形荷葵载作妹用下鄙的计寸算如图3.弹15所示含的半灿无限联长梁集，作恒用分扑布荷崇载q、△q，挠邮曲方烤程为项式（3.警7）。炒容易影验证去，劲是式尺（3.嫌7）的葱一个牧特解裹，故企在梯形茶分布薪荷载国作用下半愤无限长长梁弄任一石截面越的变敢形与庄内力盛为：2.刚性蜓梁的排计