第04讲空间的平行直线（3种题型）（原卷版）

第04讲空间的平行直线（3种题型）【知识梳理】一、公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))⇒a∥c；二、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等；推论1、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补；推论2、如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；【考点剖析】题型一：公理4例1.如图所示为一长方体木料，经过木料的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．【变式1】设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；上述命题中错误的是（写出所有错误命题的序号）【变式2】已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).则四边形EFGH的形状是【变式3】（2021·上海市控江中学高二期中）空间四边形中，､､､分别是､､､的中点，且，则四边形的形状是___________.【变式4】在四面体中，、分别是、的重心，连接、分别延长并交、于点、，则、、、中，与平行的直线的条数是（）A．条 B．条 C．条 D．条题型二：等角定理及其推论例2.（2022·全国·高一专题练习）若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行【变式1】已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于（）A．30°B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对【变式2】已知a，b，c是空间中的三条直线，a∥b，且a与c的夹角为θ，则b与c的夹角为

【变式3】（2021·上海·华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）如果OA//O1A1，OB//O1B1，∠AOB=，则∠A1O1B1=_______________【变式4】（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）设与的两边分别平行，若，则___________.【变式5】（2021·全国·高一课时练习）如果，，那么与之间具有什么关系？题型三：公理4、等角定理及其推论的综合应用例3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【变式1】下列命题中，错误的命题的序号是：①.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等②.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等③.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补④.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行【变式2】（2021·广东·忠信中学高一阶段练习）如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）求证：．【变式3】（2021·全国·高一课时练习）在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.【过关检测】一、概念填空1．（2022·高一课时练习）（1）基本事实：平行于同一条直线的两条直线_______________．（2）等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________或___________图形语言作用判断或证明两个角相等或互补[微思考]如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？______________二、单选题2．（2023春·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（

）①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③3．（2023·上海·高二专题练习）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（

）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB与不平行 D．OB与不一定平行4．（2021·高一课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（

）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直5．（2023·全国·高一专题练习）给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（2023·上海·高二专题练习）下列命题中，正确的结论有(

)①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、多选题7．（2023·上海·高二专题练习）(多选题)下列说法中，正确的结论有（

）A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行四、填空题8．（2022秋·上海嘉定·高二校考阶段练习）设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.9．（2023·全国·高一专题练习）在长方体中，与平行的棱有____________(填写所有符合条件的棱)10．（2021·高一课时练习）空间中有两个角、，且角、的两边分别平行.若，则________.11．（2021·高一课时练习）基本事实4基本事实4：平行于同一条直线的两条直线_____.12．（2021·高一课时练习）等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____.13．（2021·高一课时练习）如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且有一组边方向相反，那么这两个角的关系是______.五、解答题14．（2021·高一课时练习）长方体中，分别为棱的中点.（1）求证：；（2）求证：.15．（2023·全国·高一专题练习）在长方体中，求证：（1）；（2）.16．（2023春·全国·高一专题练习）已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若，证明:四边形EFGH为梯形.17．（2022春·高一课时练习）如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．19．（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.20．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.（1）证明:，，.（2）求的值.21．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．22．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考阶段练习）如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）求证：．23．在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）作出直线A1C与平面B1EFD的交点（写出作图步骤）．24.在正方体中，分别是的中点.求证：空间四边形是菱形.25.空间四边形ABCD中E､F､G､H分别为AB､BC､CD､AD上的点（1）求证：当E､F､G､H分别为各边的中点时，四边形EFGH为平行四边形；（2）当E､F､G､H满足什么条件时，四边形EFGH为梯形？说明理由.26.如图，是△所在平面外一点，、为△和△重心，；（1）求的长；（2）若、的位置发生变化，的位置和长度会改变吗？27.（2021·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若，求证：四边