2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷-（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z在复平面内对应的点是(0,1)，则A.1+i B.1−i C.2.某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为(

)A.46 B.49 C.50 D.513.已知向量a=(2,2)A.a=−2b B.a=24.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是(

)A.若m//n，m//α，则n//α B.若m//β，m//α，则α/5.抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：Ai=“正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，BA.A0与B相互独立 B.A3与B对立 C.P(6.轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P−ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PA.30° B.45° C.60°7.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω

A.φ B.ω C.φω D.8.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为A.144π B.36π C.9π二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列等式成立的是(

)A.sin26°−cos26°=10.5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐.据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”.某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图.同比第一季度，下列说法正确的是(

)A.今年商品A的营收是去年的4倍

B.今年商品B的营收是去年的2倍

C.今年商品C的营收比去年减少

D.今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变11.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使点A到达点A′的位置，且二面角A′−BE−CA.BE⊥A′N

B.MN//平面A′DE

C.平面12.在△ABC中，D为BC的中点，点E满足BE=A.|AB|=2|AD|三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.函数f(x)=s14.某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为______米.15.已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，且满足x1+x2+x3+x416.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠B=π2，AB=四、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)

记a、b、c为平面单位向量，且|a−b|=1．

(1)求〈a,18.(本小题8.0分)

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为3，O1是上底面A1B1C1D19.(本小题8.0分)

为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AD=1，点E为BC上一点，且AE⊥DE，过点D作DF⊥AB于点20.(本小题8.0分)

第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x−，众数，中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1)

(2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将21.(本小题10.0分)

如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BC=CD=2．

(1)已知AB=2，且AC=AD，

(i)当cos22.(本小题10.0分)

如图，在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2A1B1=2AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点．

(1)证明：DE⊥平面BB1C1C；

(2)设P，Q

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵复数z在复平面内对应的点是(0,1)，∴z=i，

∴1+iz=1+2.【答案】C

【解析】解：数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10个数，

因为10×0.8=8，因此，该组数据的第80百分位数为49+512=50．

故选：3.【答案】D

【解析】解：向量a=(2,2)，b=(1,−1)，

对于A，−2b=(−2,2)，a≠−2b，A错误；

对于B，2b=(2,−2)，a≠2b，B错误；4.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，若m//n，m//α，则n//α或n⊂α，A错误；

对于B，平行于同一直线的两个平面可以平行，也可以相交，B错误；

对于C，由直线与平面垂直的判断方法可得C错误；

对于D，若m//α，则平面α存在直线l，满足l//m，由于5.【答案】D

【解析】解：总的可能有：

(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正反)，(反，反，正)，(反，反，反)，

故P(A0)=18,P(A1)=38，P(A2)=38，P(A3)=18，P(B)=34，

而P(A0∪B)=0，P(A0)⋅P(B)=332，故选项A错误；

P(A3)+P(B)=78≠1，故选项B错误；6.【答案】C

【解析】解：在直角圆锥P−ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，∠ACB=90°，

则PA=PB=22AB=AC=BC，

过点B作BD//AC交底面圆于点D，连接PD，AD，如图，

则∠PB7.【答案】A

【解析】解：函数f(x)=cos(ωx+φ)，ω>0的周期为2πω，

令f(x)=0，可得ωx+φ=kπ+π2，k∈Z，

所以x=kπ+π2−φω，即x=2kπ8.【答案】B

【解析】解：令长方体ABCD−A1B1C1D1的高为h，PD1=x，于是x2+h2=2(4−x)2+h2=10，解得x=h=1，

在△PAD中，∠PDA=∠DP9.【答案】BC【解析】解：对于A，sin26°−cos26°=−(cos26°−sin26°)=−cos12°，故A错误；

对于B，sin6°−cos10.【答案】AB【解析】解：设去年第一季度营收为a亿元，则今年第一季度营收为2a亿元，

由扇形图可得：

A款珍珠商品去年第一季度营收为0.1a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，A正确；

B款珍珠商品去年第一季度营收为0.2a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，B正确；

C款珍珠商品去年第一季度营收为0.5a亿元，则今年第一季度营收为0.8a亿元，C错误；

因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，

商品B，D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，

所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确．

故选：ABD．

由条件，根据扇形图分别计算11.【答案】AB【解析】解：连接AN交BE于点O，连接A′O，取BE的中点F，连接FM、FN，

对于A选项，在正方形ABCD中，因为AB=DA，AE=DN，∠BAE=∠ADN=90°，

所以，Rt△ABE≌Rt△DAN，则∠ABE=∠DAN，

所以，∠DAN+∠AEB=∠ABE+∠AEB=90°，则∠AOE=90°，即BE⊥AN，

翻折后，则有BE⊥A′O，BE⊥ON，

又因为A′O⋂ON=O，A′O、ON⊂平面A′ON，所以，BE⊥平面A′ON，

因为A′N⊂平面A′ON，所以，BE⊥A′N，A对；

对于B选项，因为M、F分别为A′B、BE的中点，所以，MF//A′E，

因为MF⊄平面A′DE，A′E⊂平面A′DE，所以，MF//平面A′DE，

因为DE//BC，BC=2DE，则四边形BCDE为梯形，

又因为F、N分别为BE、CD的中点，所以，FN//DE，

因为FN⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，则FN//平面A′DE，

因为MF⋂FN=F，MF、FN⊂平面FMN，则平面FMN//平面A′DE，

因为MN⊂平面FMN，故MN//平面A′DE，B对；

对于C选项，因为AO⊥BE，且AB=212.【答案】AB【解析】解：在△ABC中，D为BC的中点，BE=2ED，∠BAE=∠DAE=20°，如图，

对于A，ABAD=12AB⋅AEsin∠BAE12AD⋅AEsin∠DAE=S△ABES△ADE=BEDE=2，有|AB|=2|AD|，A正确；

对于B，13.【答案】π

【解析】解：函数f(x)=sin2x的最小正周期为2π2=π，

故答案为：π．

利用函数14.【答案】150【解析】解：令甲的位置为点C，如图，在△ABC中，AC=400，AB=500，BC=600，

由余弦定理得cosA=AB2+AC2−BC22A15.【答案】9

【解析】解：由题意可得，数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为x−=15(x1+x2+x3+x4+x5)=x5，

方差s2=15[(x1−x−)216.【答案】4【解析】解：如下图所示：

将面AB1C1、面AA1C1沿着AC1延展为一个平面，

将面AA1B1、面AA1C1沿着AA1延展为一个平面，连接BB1′，

此时，线段BB1′的长即为△B1PQ周长的最小值，

则AB1=AB2+BB12=1+1=2，AB=1，

由于AB1=AC=217.【答案】解：(1)由已知|a|=|b|=1，且|a−b|=1，

所以，|a−b|2=a2−【解析】(1)利用平面向量数量积的运算性质可求得cos〈a,b〉的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出〈a,18.【答案】解：(1)如图所示，根据题意得：

VA−O1BC=VO1−ABC=13⋅S△ABC⋅h=13×12×3×3×3=【解析】(1)利用等体积VA−O1B19.【答案】(1)证明：在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=β，AD=1，则DE=sinβ，AE=cosβ，

在Rt△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=α+β，AD=1，则DF=sin(【解析】(1)根据给定条件，利用直角三角形的边角关系推理作答．

(2)利用(1)20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知10(2a+0.025+0.045+0.020)=1，解得a=0.005，

x−=50×10×0.005+60×10×0.025+70×10×0.045+80×10×0.020+90×10×0.005=69.5，

众数为70，

因为前2组的频率和为10×0.005+10×0.025=0.3<0.5，前3组的频率和为10×0.005+10×0.025+10×0.045=0.75>0.5，

所以中位数在第3组，设中位数为m，

则0.3+0.045(m−65)=0.5，解得m≈69.4，

所以中位数为69.4．

(2)记3名男生分别为A，B，C，记2名女生分别为a，b，则所有抽签的情况有：

未中签AB，中签【解析】(1)由频率和为1列方程可求出a的值，根据平均数的定义可求出x−，由众数的定义可求得众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可；

(221.【答案】解：(1)(i)设AC=x，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD=2x2−42x2=23，解得x=6，

在△ABC中，AB=BC=2，则底边AC上的高h=AB2−(12AC)2=4−32=102，

所以△ABC的面积S△ABC=12AC⋅h=12×6×102=15【解析】(1)(i)利用余弦定理结合已知求出AC，再借助等腰三角形性质求出面积；(ii)利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答．

(222.【答案】解：(1)延长AA1，BB1，CC1交于点S，

因为AB=2A1B1=2AA1，

所以三棱锥S−ABC为正四面体，

连接SE并延长，分别交BC，BC1于点F，G，则G为等边△ABC的中心，

连接AG，则AG⊥面SBC，

所以SDSA=SESG=34，

所以DE//AG，

所以DE⊥面SBC．

(2)(i)证明：延长C1D