第四章 一次函数单元复习【新知探究+归纳总结】 八年级数学 上册备课精研（北师大版）

第四章一次函数单元复习函数概念判断方法在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其相对应.①一个变化过程；②两个变量；③数值对应的关系.函数自变量的取值范围概念判断方法使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围.①整式型；②分式型；③根式型；④零次型；⑤实际问题.函数解析式和函数值解析式函数值用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，b即为函数值.函数图象定义画法如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.①列表；②描点；③连线.正比例函数定义注意一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.①比例系数k是常数，且k≠0；②两个变量x，y的次数都是1.知识梳理正比例函数的图象和性质定义画法一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线.性质①

k>0，随着x的增大y也增大

；②k<0，随着x的增大y反而减小.一次函数定义注意一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.①k是常数，且k≠0；②正比例函数是特殊的一次函数.一次函数的图象定义画法一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.①两点法：两点确定唯一一条直线.②平移法：由直线y=kx向上或向下平移.一次函数的性质当k>0，b>0时，图象经过第一、二、三象限，y随x

的增大而增大当k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限，y随x

的增大而增大当k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小当k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限，y随x

的增大而减小一次函数的解析式待定系数法应用先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法.①设；②列；③解；④代.步骤①已知一次函数解析式②题目中未给出一次函数解析式1.常量和变量（1）在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.（2）判断一个量是常量还是变量的方法看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变（或者说是否会取不同的数值），若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量.2.函数的概念一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其相对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，也称y是因变量.3.函数自变量的取值范围（1）自变量的取值范围：使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围.（2）①整式型：等号右边是整式，自变量的取值范围是全体实数.②分式型：等号右边的自变量在分母的位置上，自变量的取值范围是使分母不为0的实数.3.函数自变量的取值范围（2）③根式型：等号右边是开偶次方的式子，自变量的取值范围是使根号下的式子的值大于或等于0的实数.④零次型：等号右边的自变量的零次幂或负整数次幂，自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数.4.函数解析式和函数值（1）函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.（2）函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a时，y=b，则b叫做当自变量的值为a时的函数值.5.函数的图象及画法（1）函数的图象：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.（2）函数图象的画法：①列表；②描点；③连线.6.函数的三种表示方法（1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.（2）解析式法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式法，其中的等式叫做函数解析式.（3）图象法：用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法.1.下列变量间的关系不是函数关系的是（）.A.圆的半径与圆的面积B.正方形的周长与正方形的边长C.在汽车速度一定的情况下，时间与路程D.等腰三角形的底边长与面积D重难点1：变量与函数重点解析分析：等腰三角形的面积等于底乘高，还有一个量不确定.

解得x>2.所以函数中自变量x的取值范围是x>2.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时间后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间t（单位：min）之间的函数关系的大致图象是（）.B重难点2：函数图象及其应用重点解析1.正比例函数（1）正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.（2）正比例函数必须满足两个条件：①比例系数k是常数，且k≠0；②两个变量x,y的次数都是1.2.正比例函数的图象（1）正比例函数的图象一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.（2）正比例函数图象的画法因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx（k≠0）的图象.一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即是正比例函数y=kx（k≠0）的图象.2.正比例函数的图象（3）正比例函数图象的性质一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象，当k>0

时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升，随着x的增大y也增大；当k<0时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.3.一次函数一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.说明：正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.4.一次函数的图象和性质（1）一次函数的图象一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.

4.一次函数的图象和性质（3）一次函数图象的画法

一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）k,b的符号k>0k<0b>0b<0b=0b>0b<0b=0图象性质经过的象限y随x的增大而增大y随x的增大而减小一、二、三xyOxyOxyOxyOxyOxyO一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四5.待定系数法求一次函数解析式（1）设：设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0）.（2）列：将已知的两组x，y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k

，b的二元一次方程组.（3）解：解所列的方程组，求出k

，b的值.（4）代：将求出k

，b的值代入所设解析式中，得到所求一次函数的解析式.1.下列所有解析式中，是一次函数但不是正比例函数的是（）

B

重难点3：正比例函数和一次函数重点解析既不是一次函数也不是正比例函数化简得y=2x，是正比例函数是一次函数但不是正比例函数是正比例函数2.正比例函数y=-2x的图象经过的象是

，一次函数y=2x+4的图象经过的象是

.解：正比例函数y=-2x中，-2<0，所以图象经过第二、第四象限；一次函数y=2x+4中，2>0且4>0，所以图象经过第一、第二、第三象限.第二、第四象限第一、第二、第三象限3.已知一次函数y=(m+3)x+2n经过点（0，4）和点（-1，0），求这个函数解析式.解：因为一次函数y=(m+3)x+2n经过点（0，4）和点（-1，0）,

2n=4,

-(m+3)+2n=0,

所以

n=2,

m=1.

解得所以一次函数解析式为y=4x+4.1.求下列函数的自变量的取值范围.

x≠0.x≠-1.x≥2.x为任意实数.深化练习2.周日下午，小红和小兰相约在某公交车站一起乘车回学校，小红从家出发先步行到车站，等小兰到车站后两人一起乘公交车回到学校.下图表示小红离开家的路程y（千米）和所用的时间x（分钟）之间的函数关系.下列哪个说法是错误的（）.A.小红从家到公交车站步行了2千米.B.小红乘坐公交车用了30分钟.C.小红在公交车站等小兰用了10分钟.D.公交车的平均速度是34千米/小时.y（千米）x（分）O203060217解：从图上来看，小红出发20分钟后小红从家走到了公交车站，路程变化为2千米；20分~30分之间小红离开家的路程未发生变化，说明此阶段是在公交车站等小兰；30分~60分小红和小兰一起乘坐公交车到达学校，用时30分钟，路程为15千米.公交车速度为15÷0.5=30（千米/时）.故选D.3.已知函数y=2x+3.（1）试判断点A（1，5）和点B（-1，3）是否在此函数图象上；（2）已知点C（m，m+3）在此函数图象上，求m的值.

2m+3=m+3，解得m=0将x=m，y=m+3代入函数解析式中点

B不在图像上点

A在图像上4.小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆邮寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg的部分按照每千克10元加收费用.设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x（kg）.（1）求y与x之间的函数解析式；（2）已知小李给外婆快递了2.5kg樱桃，请你求出这次快递的费用是多少元？解:（1）由题意得,当0<x≤1时，y=22+6=28；当x>1时，y=28+10(x-1)=10x+18；28（

0<x≤1）,10x+18（

x>1）.所以y与x之间的函数解析式为y=28（0<x≤1）,10x+18（

x>1）,（2）因为y=

所以小李此次的快寄费用是43元.5.下列图形中，表示一次函数y1=mx+n与正比例函数y2=mnx（m、n为常数，且mn≠0）的图象的是（）分析结论mn>0m>0,n>0y1图象经过第一、二、三象限;y2的图象经过第一、三象限D错误m<0,n<0y1图象经过第二、三、四象限;y2的图象经过第一、三象限B错误mn<0m>0，n<0y1图象经过第一、三、四象限;y2的图象经过第二、四象限C错误m<0，n>0y1图象经过第一、二、四象限;y2的图象经过第二、四象限A正确

k+1≠0，

所以解得k=1.

易错警示：易忽略隐含条件k+1≠0.

k-2≠0,

所以解得k=-2.

易错警示：易忽略隐含条件k-2≠0.7.根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知道在距离地面11km以上的高空，气温几乎不变.若地面气温为m(℃)，设距地面的高度为x(km)处的气温为y(℃).（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数解析式；解：由题意知，y=m-6x（0≤x≤11）.（2）上周日，小敏乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为-26℃时，飞机距地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当飞机距地面12km时，飞机外的气温.解：将x=7,y=-26代入y=m-6x,得-26=m-42，解得m=16,即当飞机外气温为-26℃时，飞机下方地面温度为16℃.因为12>11，所以此时飞机外的气温为16-6×11=50(℃).（2）将x=7时，y=-26代入y=m-6x，得-26=m-42，解得：m=16.所以当时这架飞机下方地面的气温为16℃.因为12>11，所以y=-50℃，则假如当飞机距地面12km时，飞机外的气温为-50℃.8.某家电集团生产某种型号的新家电，前期投资200万元，每生产1台这种新家电，后期还需其他投资0.3万元，已知每台新家电可实现产值0.5万元.（1）分别求出总投资额y1（万元）和总利润y2（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数解析式；（2）当新家电的总产量为900台时，该公司的盈亏情况如何？（3）请你利用（1）中y2和x的函数解析式，分析该公司的盈亏情况.解：（1）根据题意可得：y1=0.3x+200，y2=0.5x-（0.3x+200）=0.2x-200.技巧点拨：提取等量关系列函数解析式本题中，与y1，x有关的等量关系为“总投资=前期投资+后期投资”；与y2，x有关的等量关系为“总利润=总产值-总投资”.（2）把x=900代入y2=0.2x-200，可得y2=-20<0.所以当新家电的总产量为900台时，公司会亏损，亏损的金额为20万元.（3）由（1）得y2=0.2x-200，令y2<0，解得x<1000.说明总产量小于1000台时，公司会亏损.令y2>0，解得x>1000.说明总产量大于1000台时，公司会盈利.令y2=0，解得x=1000.说明总产量等于1000台时，公司既不盈利也不亏损.利用一次函数、一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题的策略解决此类实际应用问题，一定要结合实际问题，提取等量关系，建立数学模型；二要结合所求，建立方程或不等式，进而解方程或不等式；三要结合求得的结果来回答实际问题，且要注意实际问题中自变量的取值范围.9.在“美丽家乡，清洁乡村”活动中，李家村村长提出两种购买垃圾桶的方案，方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用为250元；方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用为500元.设方案一的购买费和垃圾处理费共y1

元，方案二的购买费和垃圾处理费共y2元，交费时间为x个月.（2）在同一平面直角坐标系中，画出函数y2，y2

的图象；（3）在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案更省钱？解：（1）

由题意可得