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文档简介

第七讲数列（上首先是中所教的等比和等差数列的通项，这是不殆言的。一阶递推数列：an+1=pan+q(𝑝≠1,𝑞≠0) 𝑥=𝑝𝑥+𝑞 解得其特征根𝑥=(1)-(2),得𝑎𝑛+1−𝑥=𝑝(𝑎𝑛−

−𝑞

p

=𝑝𝑛−1

−1−

)+1−例一已知a1=1,an+1=2an−1,求二阶递推数列：𝑎𝑛+2=𝑝𝑎𝑛+1+𝑞𝑎𝑛(𝑝≠0,𝑞≠0) 那契数列就是二阶递推数列𝑝=𝑞=1的情形。此数列对应的特征根方程是：𝑥2=𝑝𝑥+ 由根与系数关系有：𝑠+𝑡=𝑝𝑠𝑡=−𝑞把这两个结果代入（3）中，有𝑎𝑛+2=(𝑠+𝑡)𝑎𝑛+1− (5)𝑎𝑛+2−𝑠𝑎𝑛+1=𝑡(𝑎𝑛+1−可 𝑎𝑛+1−𝑠𝑎𝑛=𝑡𝑛−1(𝑎2− 同理 𝑎𝑛+1−𝑡𝑎𝑛=𝑠𝑛−1(𝑎2−两式相减，有

=𝑎2−𝑠𝑎1𝑡𝑛−1−𝑎2−𝑡𝑎1

𝑎𝑛+1−𝑡𝑎𝑛=𝑡𝑛−1(𝑎2− 在上式两边同时除以𝑡𝑛+1,𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=

可 𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)

整理有 𝑎= +(𝑛− )

由（7）t,s𝑎𝑛=𝑐1𝑡𝑛+𝑐2𝑠𝑛 的形式，其中𝑐1,𝑐2n=1n=2，就得到方程组{𝑎1=𝑐1+𝑎2=𝑐1𝑡+然后由此算出𝑐1,𝑐2由（9）x=t𝑎𝑛=(𝑐1+𝑐2𝑛)𝑡𝑛 的形式。其中的𝑐1𝑐2同样可以利用初始值列方程组求出。（11自己列方程组算出，不必。已知a1=5,a2=13,an+2=5an+1−6an求已知a1=1,a2=1,𝑎𝑛+2=𝑎𝑛+1+𝑎𝑛求：提示那契数列的例子。特征根和最后求出来的系数都有根号，但是这个数列的每一项都记得我特征根不要求为实数吗？如果有一个数列的特征方程没有实根那么它的两个通：已知a1=2,a2=3,an+2=4an+1−4an求(4)已知a1=1,a2=11,an+2=2an+1+3an+4,求

=它对应的特征方程是𝑥=

的话不妨研究一下怎么利用这个方程的根求出数列的例三数列{an}中，a1=1,an+1=3an−2n2+4n+4,n=1,2,求数列{an}例四已知a1=√2,an=√2+an−1求数列{an}的通项首先并不是任何数列的前n项和都能求出我们可以很轻松地写出一大堆以递推形式给出法。比如这个数列𝑎𝑛=𝑛2𝑛n项和就可以用错位相减的办法求出。例 求(1)12+22+⋯+(2)13+23+⋯+提示：(𝑛+1)3−𝑛3=3𝑛2+3𝑛+ (𝑛+1)4−𝑛4=4𝑛3+6𝑛2+4𝑛+例六求和𝑐𝑜

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