高中数学导数部分复习专题及详解

高中数学导数部分复习专题及详解

专题一：导数及其应用一、导数及其运算1.瞬时变化率设函数$y=f(x)$在$x$附近有定义，当自变量在$x=x$附近改变量为$\Deltax$时，函数值相应地改变$\Deltay=f(x+\Deltax)-f(x)$。如果当$\Deltax$趋近于$0$时，平均变化率$\dfrac{\Deltay}{\Deltax}$趋近于一个常数$c$（也就是说平均变化率与某个常数$c$的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数$c$称为函数$f(x)$在点$x$的瞬时变化率。2.导数当$\Deltax$趋近于$0$时，$\dfrac{\Deltay}{\Deltax}$趋近于常数$c$。可用符号“$\to$”记作：当$\Deltax\to0$时，$\dfrac{\Deltay}{\Deltax}\toc$或记作$\lim\limits_{\Deltax\to0}\dfrac{\Deltay}{\Deltax}=c$。函数在$x$的瞬时变化率，通常称作$f(x)$在$x=x$处的导数，并记作$f'(x)$。3.导函数如果$f(x)$在开区间$(a,b)$内每一点$x$都是可导的，则称$f(x)$在区间$(a,b)$可导。这样，对开区间$(a,b)$内每个值$x$，都对应一个确定的导数$f'(x)$。于是，在区间$(a,b)$内，$f'(x)$构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数$y=f(x)$的导函数。记为$f'(x)$或$y'$（或$y'(x)$）。4.导数的四则运算法则1）函数和（或差）的求导法则：设$f(x)$，$g(x)$是可导的，则$(f(x)\pmg(x))'=f'(x)\pmg'(x)$，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设$f(x)$，$g(x)$是可导的，则$[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设$f(x)$，$g(x)$是可导的，$g(x)\neq0$，则$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$。5.复合函数的导数设函数$u=\psi(x)$在点$x$处有导数$u'=\psi'(x)$，函数$y=f(u)$在点$x$的对应点$u$处有导数$y'=f'(u)$，则复合函数$y=f[\psi(x)]$在点$x$处有导数，且$y'=f'[\psi(x)]\cdot\psi'(x)$。6.几种常见函数的导数$(1)\(x^n)'=nx^{n-1}$，$(2)\(C)'=0$（$C$为常数），$(3)\(x^{-n})'=-nx^{-n-1}$（$n\in\mathbb{Q}$），$(4)\(\sinx)'=\cosx$，$(5)\(\cosx)'=-\sinx$，$(6)\(\lnx)'=\dfrac{1}{x}$。1.对于导数的定义，其实质是函数值相对于自变量的变化率。2.在运用复合函数的求导法则时，需要注意以下几点：（1）要将中间变量换成自变量的函数并层层求导，（2）要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，（3）求复合函数的导数关键在于分清楚函数的复合关系并选好中间变量。3.导数的几何意义通常指曲线的切线斜率，而导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度。4.f(x)表示f(x)在x处的导数，而f(x)表示函数f(x)在某给定区间(a,b)内的导函数，即f(x)是在(a,b)上x的函数。5.连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6.利用导数可以求曲线的切线方程，其中曲线在点P(x,f(x))处的切线方程为yyf(x)(xx)，如果曲线在该点导数不存在，则切线方程为xx，且切线平行于y轴。例1：已知y(1cos2x)，则y2sin2x。在求导数时，需要注意复合函数的求导法则，并分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆。正解：设y=u，u=1+cos2x，则y'=(2u)(-sin2x)(2)=-4sin2x(1+cos2x)。因此，y'=-4sin2x(1+cos2x)。已知函数f(x)={1/2(x+1)(x≤1)2/(x+1)(x>1)}判断f(x)在x=1处是否可导？分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导。因此，需要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数。解：对于x≤1，f'(x)=1/2；对于x>1，f'(x)=-2/(x+1)^2。因此，左极限为1/2，右极限为-2，不存在导数。因此，f(x)在x=1处不可导。注：当表示趋近于某个值时，使用“→”，如△x→0；当表示逐渐减小或逐渐增大时，使用“→”，如Δx→0。求y=2x+3在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。分析：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y'在x=1处的函数值；点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线。解：对于y=2x^2+3，y'=4x。因此，y'(1)=4，过点P的切线的斜率为4，故切线为y=4x+1。设过点Q的切线的切点为T(x,y)，则切线的斜率为4x，又kPQ=(y-9)/(x-2)，因此2x-6=4x(y-9)/(x-2)，解得x=1,3。因此，切线QT的斜率为4或12，从而过点Q的切线为y=4x-1或y=12x-15。点评：要注意所给的点是否是切点。若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标。求证：函数y=x+1/x的图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为1的切线方程。分析：要证函数y=x+1/x的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数y'=1-1/x^2的值都小于1即可。解：当y'=1-1/x^2=1/x^2(x>0)时，y'<1。因此，函数y=x+1/x的图象上各点处切线的斜率都小于1。当y'=1时，解得x=±1，因此斜率为1的切线方程分别为y=x+1和y=x-1。点评：在证明函数图象上各点处切线斜率的大小关系时，可以采用导函数的方法。在求斜率为1的切线方程时，需要先求出导数为1的点，再求出对应的切线方程。数的函数值都小于1，因此，我们需要先对函数求导，再进行论证和求解。（1）对于函数y=x+1/11，我们求导得到y'=1-2/(x+1)^2<1。因此，对于函数y=x+1在定义域内的任意x，其导数值都小于1。由导数的几何意义可知，函数y=x+1的图像上各点处切线的斜率都小于1。（2）令1-1/11x=1，解出x=±1。当x=1时，y=2；当x=-1时，y=-2。因此，曲线y=x+1的斜率为1，切线有两条，切点分别为(1,2)和(-1,-2)，切线方程分别为y=2x+3和y=-2x-1。需要注意的是，方程y'=k有多少个实根，就意味着有多少条相异实切线。已知a>0，函数f(x)=x-a，x∈[a,∞)，设x1>a，记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l。（1）我们需要求出切线的方程。对于函数f(x)，我们求导得到f'(x)=1，因此f'(x1)=1。根据切线的定义，我们可以得到切线l的方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，即y-x1+a=3x1(x-x1)。（2）我们需要证明两个结论。首先，根据切线方程，我们可以得到l与x轴的交点为(x2,0)，其中x2=x1-(x1-a)/(3x1^2)=2x1/3+a/(3x1^2)。因此，我们需要证明a^3<x2<x1。首先证明a^3<x2。因为x1>a，所以a/x1^2<1/x1，因此a/(3x1^2)<1/3。因此，x2=2x1/3+a/(3x1^2)>2x1/3>a^3。其次证明x2<x1。我们可以将x2化简为x2=x1-(x1-a)/(3x1^2)=2x1/3+a/(3x1^2)<x1。因此，我们证明了结论①a^3<x2和结论②若x1>a^3，则a^3<x2<x1。求抛物线y=x上的点到直线x-y-2=0的最短距离。我们可以设P(x,x)为抛物线上任意一点，则该点到直线的距离可以表示为函数d(x)=|x-(x+2)/sqrt(2)|*sqrt(2)/2。我们需要求出d(x)的最小值。另一种方法是，将直线向靠近抛物线方向平移，直到直线与抛物线相切。此时，切点到直线的距离即为所求的最短距离。设切点为Q(a,a^2)，则直线x-y-2=0在点Q处的斜率为-1，因此直线的方程为y=-x+a^2+a。将该直线与抛物线y=x相交，解得x=(2a^2+2a)/2=a(a+1)。因此，切点为Q(a,a^2)，最短距离为d(a)=(a-a^2)/sqrt(2)。我们需要求出d(a)的最小值。对d(a)求导，得到d'(a)=(1-2a)/sqrt(2)，令d'(a)=0，解得a=1/2。因此，最短距离为d(1/2)=1/4sqrt(2)。(2)在求可导函数的极值时，常常需要列出驻点附近的函数值的表格，这样可以清晰地看出函数在各个单调区间的增减情况。(3)在求实际问题中的最大值和最小值时，一般需要找出自变量和因变量，建立函数关系式，并确定其定义域。如果定义域是一个开区间，函数在定义域内一定可导（初等函数也是如此），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）值。记住这个定理很有好处）。然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。这一点非常重要，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点、求函数在端点处的值以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤。2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系极值是局部性概念，最大（小）值是整体性概念，因此在一般情况下，两者是有区别的。极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值。三、经典例题导讲[例1]已知曲线S:y=-2x^3+x^2+4x及点P(x,y)，求过点P的曲线S的切线方程。因为切线斜率k=y'，所以过点P的曲线S的切线斜率为k=-6x^2+2x+4。设过点P的切线与曲线S相交于点Q(x0,y0)，则k=y0'=(y-y0)/(x-x0)。将y=-2x^3+x^2+4x代入得k=-6x0^2+2x0+4。又因为k=y0'，所以-6x0^2+2x0+4=-2x0^3+x0^2+4x0。化简得x0=0或x0=3/2。若x0=0，则k=4，过点P的切线方程为y=4x；若x0=3/2，则k=3/2，过点P的切线方程为y=3/2x-9/4。因此，过点P的曲线S的切线方程为y=4x或y=3/2x-9/4。点评：本文的格式错误主要是缺少标点符号和换行符，需要进行修改。同时，文章表述较为简洁，需要进行补充和改写。三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例6】以下四图都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是（）。A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④解：由题意知导函数的图像是抛物线。当导函数