初高中数学衔接内容

初高中数学衔接教材专题一数及式的运算1.1绝对值1.2乘法公式1.3二次根式1.4分式专题二分解因式专题三一兀二次方程专题四函数4.1平面直角坐标系、一次函数、反比例函数4.2二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质3.二次函数的三种表示方式4.4二次函数的简单应用专题五方程及不等式1二元二次方程组解法2 一元二次不等式解法专题六相似形6.1.平行线分线段成比例定理2相似形专题七三角形的“四心”专题八圆8.1直线及圆，圆及圆的位置关系8.2点的轨迹专题一数及式的运算1.1绝对值【要点回顾】1.绝对值TOC\o"1-5"\h\z绝对值的代数意义： .即\o"CurrentDocument"Ia1= •[2]绝 对值的几何 意 义：的距禺.[3]两个数的差的绝对值的几何意义：a-b\表示的距禺.[4]两个绝对值不等式:lxl<a(a>0)o ；1xl>a(a>0)0••【例题选讲】例1解下列不等式：（1）x-2<1 ⑵x-1+x-3>4TOC\o"1-5"\h\z练习填空：（1） 若国=5，贝1Jx二 ；若国=|—4|，贝1Jx二 .（2） 女口負同+问=5,且a=—1，贝1Jb= ；若卩―c|=2,贝UC= .选择题：下 列 叙 述 正 确 的 是(A)右匕=问’贝a=b(C)右a<b，则|(2<|Z?|化简：x—5—2x—13

(E)右|°>网’则°>方(D)右阀二贝a=±b(x>5).4、解答题：已知—3|+J2b-4+(c+5)2=0‘求a+b+c的值.1.2.乘法公式乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：平方差公式： 完全平方和公式： 完全平方差公式： 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1]（°+b+C）2二[公式2] =a3+b3（立方和公式）[公式3] =a3-b3（立方差公式）【例题选讲】例1计算:(2)(Lm-—n)(—m2+—mn+—n2)5 2 25 10 4(X2+2xy+y2)(x2一厂+护)2练习］.填空:(1)打2(X2+2xy+y2)(x2一厂+护)2练习］.填空:(1)打2—打2=(L+打)9 4 2 3(4m+ )2-16m2+4m+((°+2Z?-C)2=02+4加+C2+(2.选择题:(1)若是)•);(A)加(2)不论个完全平方式，贝族等于1—m24为何实(B)(C)lm23数， (22+Z?2-2(2-4Z?+8的值(D)(A)总是正数是正数也可以是负数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以(X+l)(x-1)(x2-X+1)(x2+X+1)例2已矢|3d+b+c=4，ab+be+ac=4，求°2+Z?2+c2的值.1.3.二次根式式子^a(a>0)叫做二次根式，其性质如下:— ；(2) ;(3)yfab—平方根及算术平方根的概念： 叫做°的平方根,记作%=±Ja(a>0)?其中y/a(a>0)叫做a的算术平方根.立方根的概念： 叫做。的立方根，记为兀二祈"例1.将下列式子化为最简二次根式：(1)崗;Ja2b(o>0)； (3)(4x6y(x<0) (4)J2592(1)崗;例2例2计算:（1）(2) J(l-X)2+J(2-x)2(x>1)例3化简：（1）奸蒔； （2）练习1.填空:2.(1)右2.(1)右J(5-x)(x-3)2=(x-3)J5-x，则x的取值氾围是4炉-6何+3妳-二— ；若，贝ljJx+l-Jx-1*Jx+1+Jx-1二y/x~-f~T+JX—\Jx+1—QX—\选择题：等式成立的条件是(A)"2 (B)x>0若,求a+方的值(C)x>2(D)0<x<23、4、解答：设兀=1 ,J= 1 4、TOC\o"1-5"\h\zJ3-2 V3+21.4.分式分式的意义形如△的式子，若B中含有字母，且—o，则称△为分式•当B BBhO时，分式△具有下列性质： （1） ;B （2） .繁分式当分式△的分子、分母中至少有一个是分式时，△就叫做繁分式，B B分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程例1若,求常数人3的值.例2 (1)试证：(其中n是正整数)；计算：丄+丄++丄；TOC\o"1-5"\h\z1x2 2x3 9x10证明：对任意大于1的正整数n,有丄+丄++ 1 <1.2x3 3x4 71(/1+1) 2例3设，且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.练习填空题：对任意的正整数n, ()；选择题：若，则丄= ( )y(A)1 (B)2 (C)1 (D)04 5 5正数满足口―护=2厂，求的值.计算1^2+2^3+3^4+-+99^00专题检测(一)(2)x+3|+x-2<7；|2x-l|+x+l|>6•填空：(1)(2+^3)18(2-73)19=

TOC\o"1-5"\h\z若J(l-°)2+J(l+°)2=2，则a的取值范围是 ；丄+ + + + .1+^2Q+前后苗渥+逅W+&,,则 ；右兀2+厂一2护=0，贝U ；选择题：(])右yl~a-b-2^Jab= -，贝H(A)a<b (B)a>b (C)a<b<0 (D)b<a<0(2)计算等于(A)口 (B)品 (C) (D)—而求值(1)已知x+y=1^求兀3+戸+3xy的值•(2)已知：，求的值.5.角军方程20+丄)—3(兀+丄)—1=0・TOC\o"1-5"\h\zX2 X计算：丄+丄+丄++丄.1x3 2x4 3x5 9x11・・・1试证：对任意的正整数n,有1 + 1 ++ ! <7.1x2x32x3x4 n(n+l\n+2)4专题二因式分解…【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它及整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.公式法常用的乘法公式：TOC\o"1-5"\h\z平方差公式： ;完全平方和公式： ；完全平方差公式： .(°+b+c)2二°3+力二 (立方和公式)a3-b3= (立方差公式)由于因式分解及整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解.分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如ma+mb+na+nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.常见题型：(1)分组后能提取公因式 (2)分组后能直接运用公式十字相乘法(])X2+(p+q)x+pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数

项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和.•••兀2+(p+q)x+pq=X2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)，・・X2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.一般二次三项式ax^+bx+c型的因式分解由aa+(ac+ac)x+cc=(ax+c x+c)我们发现'—次项系数a分解成121221121122必，常数项C分解成CC，把a,a,c,c写成必】，这里按斜线交叉相乘，再相12121212a2C2加，就得到ac+ac，如果它正好等于皿2+bx+c的一次项系数方，那么ax2+bx+c1221就可以分解成(ax+c)(ax+c)，其中a,c位于上一行，a,c位于下一行.这种借11221122助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：(1)配方法(2)拆、添项法【例题选讲】例分解因式：(1)3<23/?-81Z?4 (2)a7-ab6 (3)x2-((2+b)xy+aby^;（4）xy-1+x-y•（（4）xy-1+x-y•（5）ab（c2-〃2）一（°2-Z?2）cd（6）2x2+4xy+2y^-8^2(7)x2+(7)x2+5x-24X2+兀y—6护(10)12%2—5%—2(11)(12)(X2+X)2一8(X2+x)+12练习1.分解因式：(1)CL3+1；(2)4x4-13x2+9；(3)加+c2+lab+lac+2bc；(4)3兀2+5厂一2y2+%+9y—4•(5)兀2—5x+3；(6)%2—2岳-3；(7)3x2+4xy一护；(8)(X2-2x)2-7(X2-2x)+12.3.AABC二边a，b，c满足 =ab+be+ca?试判定AABC的形状.4.分解因式：X2+x—(a2—a).专题三一兀二次方程【要点回顾】一元二次方程的根的判断式一元二次方程处2+加+20(心0)，用配方法将其变形为： .由于可以用b^-Aac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把b^-Aac叫做一兀—次方程ax^+bx+c=0(tz0)的根的判别式'表示为：A=Z?2—4ac对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0),有当A 0时，方程有两个不相等的实数根： ;当A 0时，方程有两个相等的实数根： ;当A_0时，方程没有实数根.一元二次方程的根及系数的关系(韦达定理)定理：如果一元二次方程ax^+bx+c=Q 的两个根为兀,兀，那么：12说明：一元二次方程根及系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是Ano.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程X2+px+q=0,若x,x是其12两根，由韦达定理可知x+x=—p,x•x=q,即 p=—(x+x),q=x•x,所以，方程x2+px+q=0oj化为X2—(x+x)x+x•x=0,由于J,x?是一元121212二次方程xz+px+q=0的两根，所以，x,x也是一元二次方程X2—(x+x)x「，1212+X]•X2=0.因此有攻两木数X,X为根的一元二次方程(二次项系数为1)是X2—(x+x)x1212+x•x=0.12【例题选讲】例1判定下列关于X的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根,写出方程的实数根.(1)X2—3x+3=0； (2)X2—ax—1=0；例2已知方程5x2+Ax-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.例3已知关于x的方程x2+2(m—2)x+ni2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.例5若X]和x?分别是一元二次方程2x2+5x—3=0的两根.(1)剝X—x|的值；12求的值；xs+x3.12一般规律：若X和X分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0),贝I]|x—x1212=愿(其中A=b2—4ac).IaI例6若关于x的一元二次方程x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a的取值范围.练习选择题：(1 )方程x2-2y/3kx+3k2=Q的根的情况是(A)有一个实数根(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根(2)若关于x的方程mx2+(2m+l)x+m=0有两个不相等的实数根，贝I］实数 m 的取值范 围是()(A)m<l(B)m>--144(C)m<l,且m#0(D)m>--丄，且m#0442.填空：若方程X2—3x—1=0的两根分别是x和x,贝lj= 方程mx2+x—2m=0(m#0)的根的槁况至以一3和1为根的一元二次方程是 3.已知J°2+8d+16+“-11=0,当殳取何值时，方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根？4.已知方程X2—3x—1=0的两根为x和x,求(x—3)(x—3)的值.1212专题检测

A组1.选择题：已知关于x的方程xz+kx—2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2下列四个说法：方程X2+2x—7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；方程X2—2x+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；方程3X2—7=0的两根之和为0,两根之积为—？；3方程3x?+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是 ()(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个关于x的一元二次方程ax2—5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()(A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或一](4)若关于x的方程X2+(k2—1)x+k+l=O的两根互为相反数，则k的值为()TOC\o"1-5"\h\z(A)1,或一1 (B)1 (C)-1 (D)0填空：方程kx2+4x—1=0的两根之和为一2,则k= .方程2x2—X—4=0的两根为a,B,贝I]a2+P2= .已知关于x的方程X2—ax—3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是 •方程2x2+2x—1=0的两根为x和x,贝川x—X= .1212 若m,n是方程x2+2005x—1=0的两个实数根，则mm+mrh—nin的值等于 .如果a,b是方程x2+x—1=0的两个实数根，那么代数式a3+a2b+ab2+bs的值是试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程ni2X2—(2m+l)x+l=0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？求一个一兀二次方程，使它的两根分别是方程X2—7x—1=0各根的相反数.5.已知关于x的方程X2—kx—2=0.求证：方程有两个不相等的实数根；设方程的两根为x和x,如果2(x+x)〉xx,求实数k的取值范围.1212126.一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的两根为x和x.求:,_12(1)IX—X|和；12(2)xs+x3.12

(1)则(1)则这个直角三角形的斜边(2)(A)73 (B)3 (C)6若x,x这个直角三角形的斜边(2)(A)73 (B)3 (C)6若x,x是方程2x2—4x+l=0的两个根，则的值为12(A)6 (B)4 (C)3(D)9(3)如果关于x的方程X2—2(1—m)x+ni2=0有两实数根a,取值范围为(A)a+B上丄2(D)12B,贝lja+P的(D)q+BW1(4)已知a,b,c是AABC的三边长，那么方程CX2+(a+b)x+£=0的根的4情况是( )(B)有两个不相等的实数根(D)有两个异号实数根(B)有两个不相等的实数根(D)有两个异号实数根x,且3x+2x=18,则m=212 x满足|x—x212=2,求实数m的(C)有两个相等的实数根2.填空：若方程X2—8x+m=0的两根为x,13.关于x的方程x2+4x+m=0的两根为x,值. 1已知x,x是关于x的一元二次方程4kx2—4kx+k+l=0的两个实数根.12是否存在实数反使(2x—x)(x—2x)=—1成立？若存在，求出殳的12122值；若不存在，说明理由；求使一2的值为整数的实数k的整数值；若k=—2,，试求九的值.已知关于x的方程.(1)求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；(2)若这个方程的两个实数根x,x满足|x|=|x|+2,求m的值及相应的x,12211X.26•若关于x的方程X2+x+a=0的一个大于1、另一根小于1,求实数&的取值范围.专题四函数4.1平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】1.平面直角坐标系[1] 组成平面直角坐标系。 叫做兀轴或横轴， 叫做y轴或纵轴，兀轴及y轴统称坐标轴，他们的公共原点。称为直角坐标系的原点。[2]平面直角坐标系内的对称点:对称点或对称直线方程对称点的坐标兀轴y轴原点点(a,b)直线直线y=b直线严X直线y=-X函数图象一次函数： 称y是兀的一次函数，记为：y=kx+b（k>b是常数，k#0）特别的，当b二0时，称y是兀的正比例函数。正比例函数的图象及性质：函数y=kx（k是常数，k#0）的图象是TOC\o"1-5"\h\z的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限,y随x的增大而 ；当 时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而 .一次函数的图象及性质：函数y=kx+b^b是常数，k#0）的图象是过点（0,b）且及直线y二kx平行的一条直线.设尸尬+方仇工0）,贝y当 时，y随x的增大而；当时，y随x的增大而 .反比例函数的图象及性质：函数（k#0）是双曲线，当 时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而 ；当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随X的增大而 .双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y=x及y=-x；又是中心对称图形，对称中心是原点.【例题选讲】例1已知4（2,y）、B（x,-3），根据下列条件，求出A、B点坐标.12（1）A、B关于X轴对称；（2）人、B关于y轴对称；（3）A>B关于原点对称.例2已知一次函数y=kx+2的图象过第一、二、三象限且及X、y轴分别交于A、B两点，0为原点，若AAOB的面积为2,求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数的图象及一次函数y=mx+b的图象交于A(l,3)，B(n,-1)两占八、、•求反比例函数及一次函数的解析式；根据图象回答：当兀取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值.【巩固练习】1.函数y=kx+m及在同一坐标系内的图象可以是( )如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知AB=6，AD=2®，求E,C,D点的坐标.如图，已知直线及双曲线交于A,B两点，且点A的横坐标为4.(1)求注勺值；(2)过原点o的另一条直线/交双曲线于尸，0两点(P点在第一象限)，若由点戶为顶点组成的四边形面积为24,求点戶的坐标.4.2二次函数【要点回顾】问题1函数y=&X2及y=X2的图象之间存在怎样的关系?通过研究，我们可以得到以下结论：二次函数丫=ax2(a#0)的图象可以由y=X2的图象各点的纵坐标变为原来的&倍得到.在二次函数y=ax2(aH0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2函数y=a(x+h)2+k及y=ax2的图象之间存在怎样的关系？通过研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a(x+h)2+k(aH0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且'眾正上移，殳负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图象的方法：y=ax2+bx+c(a#0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数丫=ax2+bx+c(a#0)具有下列性质：当&〉0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x=—_L；当x<__L时，y随着x的增大而减小；当x>__L时，y2a 2a 2a随着X的增大而增大；当X=__L时，函数取最小值y=.2a当&V0时，函数y=&X2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x=—_L；当x<__L时，y随着x的增大而增大；当x>__L时，y2a 2a 2a随着x的增大而减小；当x=__L时，函数取最大值y=.函数y=&x2+bx+c图象作图要领：确定开口方向：由二次项系数a决定.确定对称轴：对称轴方程为确定图象及x轴的交点情况，若则及x轴有两个交点，可由方程x2+bx+c二0求出;^A=0则及x轴有一个交点，可由方程x2+bx+c=0求出；若△〈()则及x轴有无交点.确定图象及y轴的交点情况，令x二0得出y二c,所以交点坐标为(0,c)由以上各要素出草图.练习：作出以下二次函数的草图：(I)y-X2-X-6 (2)y=X2+2x+1 (3)y--X2+1例1求二次函数y=—3x2—6x+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当X取何值时，y随X的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价X(元)及产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示：X/元130150165y/件705035若日销售量y是销售价X的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？练习1.选择题：TOC\o"1-5"\h\z下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 ()(A)y=2x2 (B)y=2x2—4x+2 (C)y=2x2—1 (D)y=2x2—4x函数y=2(x—1)2+2是将函数y=2x2 ()向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2.填空题(1)二次函数y=2x2—mx+n图象的顶点坐标为(1,—2),则m= ,n已知二次函数y=X2+(m—2)x—2m,当m= 时，函数图象的顶点在y轴上；当m=时，函数图象的顶点在x轴上；当m=时，函数图象经过原,函数y=—3(x+2)2+5的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ；当x= 时，函数取最 值y= ；当x 时，y随着x的增大而减小.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况，并画出其图象.(1)y=x2—2x—3；(2)y=l+6x—X2.已知函数丫=—X2—2x+3,当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：(1)xW—2；(2)xW2；(3)—2WxWl；(4)0WxW3.4.3二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：一般式：y=ax2+bx+c(aH0)；顶点式：y=a(x+h)2+k(a#0),其中顶点坐标是(一h,k).除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y=&X2+bx+c(aH0)的图象及X轴交点个数.当抛物线y=&X2+bx+c(aH0)及x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2+bx+c=0. ①并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c(aH0)及x轴交点的横坐标(纵坐标为零)，于是，不难发现，抛物线y=&X2+bx+c(aH0)及x轴交点个数及方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又及方程①的根的判别式A=b2—4ac有关，由此可知，抛物线y=ax2+bx+c(a#0)及x轴交点个数及根的判别式A=b2—4ac存在下列关系：(1)当A〉0时，抛物线y=ax2+bx+c(aH0)及x轴有两个交点；反过来,若抛物线y=&X2+bx+c(aH0)及x轴有两个交点，则A>0也成立.(2)当A=0时，抛物线y=&X2+bx+c(aH0)及x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线y=&X2+bx+c(aH0)及x轴有一个交点，则A=0也成立.(3)当AV0时，抛物线y=&X2+bx+c(aH0)及x轴没有交点；反过来,若抛物线y=&X2+bx+c@H0)及x轴没有交点，则AV0也成立.于是，若抛物线y=&X2+bx+c(aH0)及x轴有两个交点A(x,0),B(x,120),则X,X是方程ax2+bx+c=0的两根，所以12x+x=_匕,xx=£,1 2a12a即 £=—(x+x), £=xx.a 1 2a12所以，y=ax2+bx+c=a()=a[x2—(x+x)x+xx]=a(x—x)(x—x).由上面的推导过植可以得劲下面结论：若抛物线y=&X2+bx+c(aH0)及x轴交于A*,0),B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y=a(x—x)(x—x)(a#0). 2这样，也就得到了表示二次函藪的第三和方法：交点式：y=a(x—x)(x—x)(a#0),其中x,x是二次函数图象及x1212轴交点的横坐标.今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+l上，并且图象经过占(3,-1),求二次函数的解析式.例2已知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.例3已知二次函数的图象过点(一1,—22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.练习1.选择题：(1)函数y=—xz+x—1图象及x轴的交点个数是()(A)0个(B)1个(C)2个(D)无法确定(2)函数y：=_*(x+1)2+2的顶点坐标是()(A)(1,2)(B)(1,—2)(C)(—1,2)(D)(-1,-2)2.填空:(1)已知二次函数的图象及x轴交于点(一1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y=a (a#0).(2)二次函数y=—X2+2屮x+1的函数图象及x轴两交点之间的距离为 .根据下列条件，求二次函数的解析式.(1)图象经过点(1,—2),(0,一3),(—1,一6)；(2)当x=3时，函数有最小值5,且经过点(1,11)；(3)函数图象及x轴交于两点(1—萨，0)和(1+寸2,0),并及y轴交于(0,—2).4.4二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换及对称变换平移变换问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？例1求把二次函数y=x2-4x+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：(1)向右平移2个单位，向下平移1个单位；(2)向上平移3个单位，向左平移2个单位.对称变换问题2在把二次函数的图象关于及坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于及坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题.

x2-4y2,x,3y-1=0,2x-y-1=0;第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元图2.2图2.2—8 法来解．例1解方程组例2求把二次函数y=2x2—4x+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应函数解析式：直线x=—1； (2)直线y=1.例2解方程组为关为关练习把函数y=—(x—1)2+4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为()(A)y=(x+1)2+1 (B)y=—(x+1)2+1(C)y=—(x—3)2+4 (D)y=—(x—3)2+1函数y=2(x—1)2+2是将函数y=2x2()向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的专题五方程及不等式5.1二元二次方程组解法一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程.其中x2,xy,y2叫做这个方程的二次项，x,y叫做一次项,我们看下面的两个方程组：

练习1．下列各组中的值是不是方程组的解?(1) (2) (3) (4)2．解下列方程组:(1)(2)(3) (4)5.2不等式【要点回顾】1.[1]定义：形如 于x的一元一次不等式．一元一次不等式最终可以化为ax>b的形式.

当a€0时，不等式的解为：；当a<0时，不等式的解为：；当a，0时，不等式化为：0•x€b；若b€0，则不等式的解是全体实数；②若b„0，则不等式无解.—元二次不等式及其解法定义：形如 为关于X的一元二次不等式.—兀—次不等式ax2+bx+c€0(或<0)及—次函数y，ax2+bx+c(a丰0)及一一元—二次方程ax2+bx+c，0的关系(简称：三个二次).(i)一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：化为ax2+bx+c€0(或<0);并求方程ax2+bx+c，0的根画相应的二次函数图象，并观察．如果图象及x轴有两个交点(x,0),(x,0)，此时对应的一元二次方程有两个12不相等的实数根x,x(也可由根的判别式A>0来判断).贝U12★如店氐牴00》6a -如果图象及x轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根(也可由根的判别式A，0来判断).贝I」：

(or>0)0 /★HMcOfEA®<=>如果图象及x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式A<0来判断)•贝I」：OK? <0(0>(9<=> 3．简单分式不等式的解法解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.【例题选讲】例1解下列不等式：(1)x2+x-6€0 (2)(x一1)(x+2)>(x一2)(2x+1)例2解下列不等式：⑴x2-2x-8<0 (2)x2-4x+4„0 ⑶x2—x+2<0例3已知对于任意实数x，kx2-2x+k恒为正数，求实数k的取值范围.例4解下列不等式：(1)例5求关于兀的不等式mzx+2>2mx+m的解.1.解下列不等式:1.解下列不等式:(1) 2x2+x<0(2)兀2—(1) 2x2+x<0一兀2+x>3x+l⑷x(x+9)>3(x-3)2.解下列不等式:(1)(2)解下列不等式：(1)x2—2x>2x2+2 ⑵解关于兀的不等式(m-2)x>l-m-已知关于兀的不等式rwc2-x+m<0的解是一切实数，求肌的取值范围.若不等式的解是兀>3,求k的值.7.°取何值时，代数式(a+l)2+2(a-2)-2的值不小于0?8,已知不等式ax28,已知不等式ax2€bx€c<0(a,0)的解是x<2,或x>3求不等式bx2+ax+c>0的解专题六相似形6.1．平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例4在ABC中，AD为BAC的平分线，求证：例2在ABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE//BC，求证：.从上例可以得出如下结论：△平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边及原三角形的三边对应成比例.例3已知ABC，D在AC上，AD:DC„2:1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上.△如图3.1-2，l//l//l，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程123中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例例1如图3.1-2，i//1〃i，1 2 3且AB2,BC3,DF4,求DE,EF.例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11・如图3.1-6,A.B.使BD练习11・如图3.1-6,A.B.使BD=CE,DE延长线交BC的延长线于F.求证：.图3.1-10C.D.2.如图3.1-7,图3.1-6DE//BC,EF//AB,AD5cm,DB3cm,FC2cm,求6.2•相似形我们学过三角形相似的判定方法,想一想,有哪些方法可以判定两个三角图3.1-73•如图，在ABC中图3.1-73•如图，在ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似?例5如图3.1-11,四边形ABCD的对角线相交于点BACCDB，图图3.1-8求证：=ZDAC CBD・z=z月■///4.如图，在ABC中，BAC的外角平分线AD交BC的延二长线于点D，，求证：.Z5•如图，在abc的边AB、AC上分别取D、E两点，例6如图3.1-12，在直角三角形ABC中，bac为ADBC于D・求证；(1)AB2BDBC，AC2CDCB；(2)AD2BDCD图3.1-12例7例7在ABC中，ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F，求证：AEABAFAC•丄 丄 丄(3)EFGH是菱形？是正方形?4.已知：如图3.1-16,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.(1)请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，图3.1-16形,形,练习1•如图3.1-15,D是ABC的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3,则s:s等于ADE四边形BCDE△A.2:3B.4:9C.4:5 D4:21 图3・1-152.若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2,则梯形的上、下底长分别是 .5.如图3.1-17,点C、D在线段AB上，pcd是等边三当AC、CD、DB满足怎样的关系时，acpspdb?当ACPsPDB时，求APB的度数込 △△ △ / 图3.1-17习题习题A组3.已知：ABC的三边长分别是3，4，5，及其相似的A'B'C'的最大边长是15,求A'B'C'的面积S △

1.如图3.1T8,abc中，AD=DF=FB,AE二EG二GC,FG=4,贝I」( )A.DE=1,BC=7△B・DE=2,BC=6C.DE=3，BC=5 D.DE=2，BC=82.如图3.1-19,BD、CE是abc的中线,CE的中点，则PQ:BC等于（）A.1：3 B・1：4C・1：51.如图3.1-22，已知abc中,AD及CE相交于F则的值为（图3.1-19A.丄B.1C・322D.2图3.1-223.3.如图3.1-20,abcd中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F,已知BE：AB=2：3,s4,求SBEF CDF△△2.如图3.1-23,已知abc周长为1,连结abc三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（）4.如图3.1-21,在矩形ABCD中，E是CD的中点，beac交AC于F,过F作FG//AB交AE于G,求证：ag2affc±B.C.1D.122002220033.如图3.1-24，已知M为abcd的边AB的中点,CM交BD于点E,口则图中阴影部分的面积及ABCD面积的比是（图3・i-2iA・3B.4C.6曙122．如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且4.如图3.1-25,梯形ABCD中，AD//BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF//AD.(1)求证:OE=OF；/KX(2)求的值；3)求证：.图3.1-25

BACBDCDAE.求证：BE^DCDAE；根据图形的特点，猜想BC可能等于那两条线段的比(只须写出图中已有DE线段的一组比即可)？并证明你的猜想. 图3.1-27如图3.1-28,在RtABC中，AB=AC，a90o，点D为BC上任一点，df押于F，deAC于为BC的中C组1.如图3.1-26，ABC中，P是边AB上一点，连结CP.(1)要使ACPLABC，还要补充的一个条件是

点，试判断MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.人 图3.1-28 A ・△(2)若ACPsABC，且AP:PB2:1，贝UBC:PC= 图3.1-26图3.2-3如图3.2-1，在三角形€ABC中，有三条边AB,BC,CA，三个角ZA,ZB,ZC，例2已知€ABC的三边长分别为BCa,ACb,ABc，I为€ABC的内心，且I在€ABC的边BC、AC、AB上的射影分别」为D、E、F，求证：三个顶点A,B,C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3・2-2）是三角形中的三种重要线段.例的三种重要线段.例3若三角形的内心及重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形已知：0为€已知：0为€ABC的重心和内心求证：€ABC为等边三角形求证:AD、BE、CF交于1点，且都被该点分成2：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1已知:D、E、F分别为€ABC三边BC、CA、AB的中点，三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心。三角形的内心在三三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.例4在€ABC中,AB，AC，3,BC，2.求（（1）€ABC的面积S 及AC边上的高BE；€ABC（2） €ABC的内切圆的半径r；（3） €ABC的外接圆的半径R・怎样判断直线l和圆O的位置关系？2•在直线及圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆.[°\心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2,连结圆心 —「 ’-a? JO和弦AB的中点M的线段OM垂直于这条弦AB•且在RtOMA3'2中，OA为圆的半径r，OM为圆心到直线的距离d，MA为弦长AB的一半，根据练习1•求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2.（1）若€练习1•求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2.（1）若€ABC的面积为s,且三边长分别为a、b、c，则△的内切圆的半径是 。并请说明理由3•当直线及圆相切时，如图3.3-3,pa,pb为圆O的切线，可得PA=PB，OA丄PA.，且在RtPOA中，PO2=PA2+OA2・如图3.3-4，PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线，我△们可以证得PATPT