同济大学第五版高数第章节教学课件

第三章第四节函数的单调性与极值一、单调性的判别法二、单调区间的求法三、函数极值的定义四、函数极值的求法五、最大值的求法六、应用举例同济大学第五版高数第章节第三章第四节函数的单调性与极值一、单调性的判别法二、单调区间的求法三、函数极值的定义四、函数极值的求法五、最大值的求法六、应用举例一、单调性的判别法.Bfrf(x)brf(x)≥0f(x)≤0定理设函数y=f(x)在[ab上连续,在(a,b内可导(①如果在(a,b内f'(x)>0,那末函数y=f(x)在a,b上单调增加;(2)如果在(a,b)内∫"(x)<0,那末函数y=f(x)在[a,b]上单调减少证Vx1,x2∈(a,b),且x1<x2,应用拉氏定理得f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1)(x1<5<x2)∵x2-x1>0,若在(a,b内,f(x)>0,则f'(2)>0,∴f(x2)>f(x1).∴y=f(x)在a,bl单调增加若在(a,b内,f(x)<0,则f()<0,∴∫(x2)<f(x1)∴y=∫(x)在a,b单调减少一、单调性的判别法.Bfrf(x)brf(x)≥0f(x)≤0定理设函数y=f(x)在[ab上连续,在(a,b内可导(①如果在(a,b内f'(x)>0,那末函数y=f(x)在a,b上单调增加;(2)如果在(a,b)内∫"(x)<0,那末函数y=f(x)在[a,b]上单调减少证Vx1,x2∈(a,b),且x1<x2,应用拉氏定理得f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1)(x1<5<x2)∵x2-x1>0,若在(a,b内,f(x)>0,则f'(2)>0,∴f(x2)>f(x1).∴y=f(x)在a,bl单调增加若在(a,b内,f(x)<0,则f()<0,∴∫(x2)<f(x1)∴y=∫(x)在a,b单调减少例1讨论函数=e-x-1的单调性解∵y′=e2-1.又∵D:(-∞1)在(-∞,0)内,y2<0,∴函数单调减少在(0,+∞内,y>0,∴函数单调增加注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定,而不能用点处的导数符号来判别一个区间上的单调性二、单调区间求法问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的,但在各个部分区间上单调定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的分界点方法用方程∫(x)=0的根及∫(x)不存在的点来划分函数∫(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号例2确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间解∵D:(=∞,+∞).f(x)=6x2-18x+12=6(x-1(x-2)解方程'(x)=0得,x1=1,x2=2.当-∞<x<]时,∫'(x)>0,:在(-∞单调增加当1<x<2时,∫(x)<0,:在1,2上单调减少;当2<x<+∞时,∫(x)>0,:在2,+∞)上单调增加;单调区间为(-∞,1l1,2,[2,+∞)例3确定函数∫(x)=x2的单调区间解∵D:(-∞,+∞)f(x)=(x≠0)33x当x=0时,导数不存在当-∞<x<(时,∫(x)<0,∴在(-∞20上单调减少当0<x<+∞时,∫'(x)>0,∴在[0,+∞)上单调增加;单调区间为(∞,0,[0,+∞).注意区间内个别点导数为零不影响区间的单调性例如,y=x3,yx0=0,但在(-∞+∞)上单调增加例4当x>0时,试证x>hn(1+x减成立证设f(x)=x-Im(1+x),则f'(x)1+x∵f(x)在0,+∞)上连续,且(0,+∞)可导,f(x)>0,∴在0,+∞)上单调增加;f(0)=0,∴当x>0时,x-n(1+x)>0,即x>hn(1+x)三、函数极值的定义y=f(r)a0br4系定义设函数f(x)在区间a,b内有定义x是(a2b内的一个点如果存在着点x的一个邻域对于这邻域内的任何点x,除了点x外,f(x)<f(x0)均成立就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值如果存在